УДК 517.926

ЗАДАЧА СТЕКЛОВА ПЕРВОГО КЛАССА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО СМЕШАННО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Желдашева Анна Олеговна
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
г. Нальчик, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений

Аннотация
В настоящей работе предлагается решение задачи Стеклова для нагруженного уравнения смешанного типа путем редукции к системе интегральных уравнений Вольтерра II рода. Из разрешимости полученной системы интегральных уравнений следует, что задача первого класса по терминологии Стеклова имеет единственное непрерывное решение.

Ключевые слова: доказательство разрешимости, задача Стеклова, нагруженное уравнение, система интегральных уравнений


FIRST CLASS STEKLOV PROBLEM FOR LOADED MIXED PARABOLIC EQUATION

Zheldasheva Anna Olegovna
Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova
Nalchik, Senior Lecturer, Department of Differential Equations

Abstract
In this paper we propose a solution to the Steklov problem for mixed-type equations loaded through the reduction to a system of integral equations of Volterra type II. From the solvability of the resulting system of integral equations, it follows that the task of the first class at the Steklov terminology has a unique continuous solution.

Keywords: loaded equation, proof of solvability, Steklov problem, system of integral equations


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Желдашева А.О. Задача Стеклова первого класса для нагруженного смешанно-параболического уравнения // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/03/65015 (дата обращения: 20.11.2016).

Введение. Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа (впервые термин “нагруженное уравнение” появился, применительно к интегральным уравнениям, в исследованиях А. Кнезера [1]). 
Нагруженные дифференциальные уравнения и краевые задачи к ним являются объектом исследования многих авторов [2-4]. Повышенный интерес к исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их важными практическими приложениями.
Постановка задачи. В односвязной области , где , рассмотрим уравнение

. (1)

Для нагруженного уравнения (1) исследуется следующая задача А:
Найти регулярное решение уравнения (1) в области i, i= 1,2 непрерывное в  и непрерывно – дифференцируемое по х в вплоть до прямых  и  и удовлетворяющее условиям:

 (2)
 (3)
 (4)
 (5)

где  и  - заданные непрерывные функции, - заданные достаточно гладкие функции .
Для доказательства существования и единственности решения данной краевой задачи, редуцируем ее к системе интегральных уравнений.
Рассмотрим сначала решение задачи (1)-(5) в области O2. В области  х>0, поэтому уравнение (1) будет иметь вид:
 (1/)
Левая часть нагруженного уравнения (1/) представляет собой уравнение теплопроводности. Рассмотрим для него нелокальную задачу (3), (4) и  в области , решение которой обозначим как .Используя дифференциальные и конструктивные свойства функции

которая является фундаментальным решением уравнения ФурьеL0u = u– uxx = f1(x,t),нетрудно доказать справедливость леммы:
Лемма: Пусть существует регулярное в решение u(х,t) уравнения (1), которое непрерывно в  и имеет непрерывную при , производную по переменной х. Тогда u(х,t) является решением интегрального уравнения:

 (7)
 

где


.

Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 6.3.1. [5] при условии, что .
Выпишем теперь общее решение задачи (1)-(5) в области . Здесь уравнение имеет вид: 
 . (1//)
Невырожденной заменой независимых переменных по формулам получаем задачу, аналогичную задаче (1/), (3), (4) и  в терминах х1 и t1, решение которой дается формулой (7). Переходя к прежним переменным, получаем общее решение задачи (1//) , (2), (5) и  в области , которое обозначим через :

 (8)

,

где



.

В уравнении (7)переходя к пределу при получаем:

 
. (9)

В уравнении (8 )переходя к пределу при получаем:

 
 . (10)

С учетом краевых условий Стеклова первого класса (2) и (3) из (9) и (10) получим:

 
 , (11)
 
. (12)

Вводя обозначения
,

 ,из (11) получим:

 . (13)

Если в уравнении (12) положить

 ,
то данное уравнение примет вид:

. (14)

Найдем теперь следы решения u(x,t) из областей O1 и O2 при х=0:






.

Т.к. требуется найти регулярное в  решение u(x,t) уравнения (1),
то u+(0,t) =u(0,t) и с учетом условий (2) , (3), получим:





.

С учетом условий (2) и (3) получим:






.

Вводя обозначения



получим:


. ( 15)

Находя u+(х,t) и u-(х,t), затем устремляя х к 0 и в силу регулярности решения u(x,t) задачи (1) – (5), , с учетом краевых условий типа Стеклова первого класса (2) и (3), получим:


. (16)

, (17)

где

 

 ;
 .

Следовательно, для определения неизвестных функций , и  получена система интегральных уравнений (13), (14), (15) и (17). Уравнения (13), (14), (15) представляют собой интегральные уравнения Вольтерра II рода, ядра которых содержат слабые (интегрируемые особенности) порядка .
Уравнение (17) не интегрируемо в обычном смысле, т.к. его ядра содержат особенность . Будем понимать интеграл, стоящий в левой части (16) в смысле конечной части по Адамару [3].
Таким образом задача Стеклова первого класса для нагруженного уравнения параболического типа редуцирована к нахождению решения системы (13), (14), (15) и (17), из разрешимости которой следует, что задача первого класса по терминологии Стеклова (2)-(5) для уравнения (1) имеет единственное непрерывное решение.


Библиографический список
  1. Kneser A. Rendicon ti del Circolo Matematico di Palermo. 1914, t.37 -P.169-197.
  2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука, 2012. – 232 с.
  3. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. №2. – С.230-237.
  4. Лайпанова А.М Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Доклады АМАН. – 2003. Т.6. №2. – С.57-59.
  5. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – 301 с.


Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация