УДК 330.46

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА НОРМАЛИЗАЦИИ КРИТЕРИЕВ

Наумов Анатолий Александрович1, Баженов Руслан Иванович2
1Центр прикладных математических исследований, г.Новосибирск, кандидат технических наук, доцент
2Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой информатики и вычислительной техники

Аннотация
В работе приведены результаты исследования свойств решений многокритериальных задач найденных методом нормализации критериев (МНКР). Показано, что МНКР находит решения, зависящие от ограничений, которые не образуют Парето-множество задачи и, таким образом, является неустойчивым относительно изменений этих ограничений. Такое свойство сильно отличает метод нормализации критериев от других методов многокритериальной оптимизации. В связи с тем, что при решении многих реальных задач оптимизации систем, а экономических – в особенности, их многокритериальность – характерная их особенность, то отмеченное выше свойство неустойчивости решений приводит к выводу: следует аккуратно относиться к выбору метода для решения задач данного класса и, по возможности, избегать использования МНКР.

Ключевые слова: задачи линейного программирования, метод нормализации критериев, многокритериальные задачи, устойчивость решений


ABOUT INSTABILITY OF NORMALIZATION CRITERIA METHOD

Naumov Anatoly Aleksanrovich1, Bazhenov Ruslan Ivanovich2
1Center of Applied Mathematical Research, Novosibirsk, PhD, associate professor
2Sholom-Aleichem Priamursky State University, candidate of pedagogical sciences, associate professor, Head of the Department of Computer Science

Abstract
The paper presents the results of a study of multi-criteria decision problems found by the normalization criteria method (NCM). It is shown that the NCM-method finds solutions that depend on the constraints that do not form a Pareto-set of the problem. This property distinguishes the NCM-method in a number of multi-objective optimization methods. In solving of many real optimization problems (and economic as a particular) their multicriteriality is a characteristic feature of them. Therefore the above-noted property of solutions instability moves to the conclusion that the choice of solutions method for problems of this class should be done carefully.

Keywords: linear programming problems, multicriteria problems, normalization criteria method, sustainability solutions


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Наумов А.А., Баженов Р.И. О неустойчивости метода нормализации критериев // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 11. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/11/40408 (дата обращения: 29.09.2017).

Многокритериальность является свойством многих задач моделирования и управления экономическими системами. Разработкой методов решения многокритериальных задач занимаются многие ученые и практики. Так, наиболее известными и часто используемыми при решении многокритериальных оптимизационных задач являются: метод свертки критериев, метод уступок, метод последовательной оптимизации и многие другие [1-4]). К сожалению, до сих пор не предложено универсальных методов решения таких задач, и в каждом конкретном случае при решении задач данного класса выбирается (причем, достаточно субъективно) тот или иной метод. Все перечисленные выше и хорошо зарекомендовавшие себя на практике методы опираются в своей реализации на простую и ясную идею: искать решение многокритериальной задачи среди элементов Парето-множества [1-4]. 
В данной работе приведены результаты исследования свойств решений метода нормализации критериев, основы которого подробно изложены в работе [5], и в последнее время используемый при решении экономических задач [6-9]. 
Рассмотрим метод нормализации критериев.
Пусть необходимо решить многокритериальную задачу линейного программирования, заданную в общем виде:
,
, (1)
,
при ограничениях:
 (2)
Задача линейного программирования выбрана нами для упрощения выкладок и рассуждений. Сделанные в работе выводы по поводу свойств решений задач линейного программирования, найденных методом нормализации критериев, справедливы (с некоторыми оговорками) и для решений, найденных этим методом для других классов оптимизационных задач (нелинейного программирования, целочисленного программирования и т.д.).
Предположим, что область допустимых решений задачи (1)-(2) (область ), образованная ограничениями (2), является непустой и ограниченной так, что на этой области существуют решения для каждого из критериев (1). 
Идея метода нормализации критериев состоит в переходе от многокритериальной (векторной) задачи (1)-(2) к однокритериальной (скалярной) задаче [5-9]. Для этого сначала критерии (1) нормализуют в соответствии с формальными записями:
,
,

,
а затем записывают однокритериальную максиминную задачу в виде:
, (3)
при ограничениях:
 (4)
Здесь
;
, – 
это наименьшие и наибольшие значения соответствующих критериев из множества (1) на области допустимых решений , они получаются в результате решения  скалярных оптимизационных задач. Таким образом, нормализация критериев – это некоторый искусственный прием, сводящий задачу векторной оптимизации (с множеством критериев) к скалярной задаче (с одним критерием). В этом случае новая задача представляет собой, так называемую максиминную задачу линейного программирования (3)-(4). 
К сожалению, у данного метода имеется множество недостатков. Перечислим некоторые из них. 
1. Нормализованные критерии () не имеют размерностей. Для экономических задач это обстоятельство представляется очень важным и означает, что происходит обезличивание целевых функций, нивелирование (затушевывание) их особенностей. Нормализованные критерии принимают значения в интервале [0, 1], хотя каждый из исходных критериев может принимать значения как очень большие (например, для показателя прибыли значения могут измеряться в млн. руб.), так и небольшие, меньшие единицы (например, для такого показателя, как коэффициент рентабельности). 
2. Переход к нормализованным критериям использует величины , которые оказывают влияние на решение максиминной задачи, но прямого отношения к решению исходной задачи могут не иметь. 
Отсюда может быть сделан вывод: использовать метод нормализации критериев для решения экономических задач нежелательно, так как полученные при этом решения не могут быть логично интерпретированы в терминах исходной задачи. 
Введем основные обозначения и определения для исходной задачи (1)-(2). 
Целевые функции задачи (1) в виде вектора обозначим через

а ограничения (2) – как 

Парето-множество оптимизационной задачи P=<F, S> обозначим через , а множество определяющих его ограничений – через  (это множество активных ограничений задачи P). Кроме этого, множество ограничений из  не вошедших во множество  назовем пассивными ограничениями задачи  и обозначим это множество как . Очевидно, выполняются равенства:  и .
Задачи P1 и P2 являются -эквивалентными, если их Парето-множества совпадают, т.е. выполняется равенство . Факт эквивалентности задач обозначается как . Очевидно, -эквивалентные задачи P1 и P2 в общем случае имеют не совпадающие критерии, то есть выполняется неравенство  и ограничения (). Аналогично определяются -,  -, -эквивалентные задачи.
Если множество ограничений  зафиксировано (и, следовательно, область  тоже), то для  и  выполняются отображения:  и, аналогично, . Эти записи означают, что критерии задачи оптимизации определяют во множествах ее ограничений и области определения Парето-множества  и .
Назовем методом решения оптимизационной задачи  отображение () пары  в некоторую область (точку)  области , формально это можно записать как 
 (для точки ).
Метод решения задачи () является -устойчивым, если решение задачи не меняется при изменении элементов множества , при этом предполагается, что вектор  и множество  являются фиксированными. Формально это свойство можно записать таким образом:
  .
Заметим, что большинство методов решения многокритериальных задач оптимизации [1, 2] являются -устойчивыми. Свойство устойчивости методов оптимизации представляется очевидным, так как было бы нелогично, если бы решения задач зависели от множеств их пассивных ограничений .
Рассмотрим пример.
Заданы две задачи линейного программирования с одним и тем же множеством критериев 
 (5)

и отличающиеся своими ограничениями: 
 (6)
и
 (7)
Требуется найти решения двух задач (5), (6) (задача А) и (5), (7) (задача В) методом нормализации критериев.
Прежде всего следует заметить, что ограничения (6) и (7) были подобраны в примере таким образом, чтобы области, которым принадлежат максиминные решения для задач А и В совпадали, а решения этих задач были различны: 
 (для задачи А) 
и 
 (для задачи В). 
Этот пример иллюстрирует зависимость решений задач, найденных по методу нормализации критериев, от параметров задачи, которые непосредственно на область их решений (в данном случае – на область максиминных решений) не влияют. 
Могут быть доказаны следующие утверждения.
Утверждение 1. Метод нормализации критериев не является -устойчивым [10 -12], то есть является -неустойчивым.
Утверждение 2. Пусть для некоторой многокритериальной задачи линейного программирования  зафиксированы множество критериев  и Парето-множество . Кроме этого, пусть точки области , соответствующие значениям критериев 
, i=1, 2, 3, …, p, 
не принадлежат . Тогда можно построить бесконечное множество новых задач линейного программирования, для которых эти два множества ( и ) будут совпадать, а решения на основе метода нормализации критериев для них будут различны и отличаться от решения исходной задачи 
Таким образом, решения многокритериальных задач, найденные методом нормализации критериев, являются неустойчивыми по отношению к изменению пассивных (не влияющих на Парето-множество ) ограничений этих задач.
Можно сделать следующие выводы:
1. Предложенный в работах [6-9] к практическому использованию для решения многокритериальных экономических задач метод нормализации критериев не является устойчивым по отношению к изменениям ограничений задач, не влияющих на множество их максиминных решений (к изменениям так называемых пассивных ограничений задач). 
2. Использование метода нормализации критериев на практике может приводить к решениям, которые трудно интерпретировать в терминах постановок исходных задач.
3. Ни один из хорошо известных и успешно используемых на практике методов решения многокритериальных задач [1-4]) свойствами, отмеченными в пп. 1 и 2, не обладает.


Библиографический список
  1. Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М: Радио и связь, 1981. 560 с.
  2. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992. 504 с.
  3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 255 с.
  4. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2002. 176 с.
  5. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986. 140 с.
  6. Кириллов Ю.В., Назимко Е.Н. Многокритериальная модель оптимизации структуры капитала // Экономический анализ: теория и практика. 2011. № 32 (239). С. 57–63.
  7. Кириллов Ю.В., Назимко Е.Н. Многокритериальная задача оптимизации структуры капитала и ее решение в системе Maple // Экономика и менеджмент систем управления. 2013. Т. 8. № 2.1.  С. 149-160.
  8. Кириллов Ю.В., Досужева Е.Е. Многокритериальная экономико-математическая модель оценки коммерческой эффективности инвестирования// Финансовая аналитика: Проблемы и решения. 2013. № 32.  С. 18-24.
  9. Кириллов Ю.В., Досужева Е.Е. Экономико-математическая модель поддержки принятия решений по инвестированию в совместные инвестиционные проекты// Финансовая аналитика: Проблемы и решения. 2013. № 27. С. 33-39.
  10. Наумов А.А. К проблемам метода нормализации критериев в задачах векторной оптимизации // Theoretical & Applied Science. 2013. № 8 (4). С. 24-27.
  11. Наумов А.А. К S_P-неустойчивости метода нормализации критериев решения многокритериальных задач оптимизации // Theoretical & Applied Science. 2013. № 9. С. 14-17.
  12. Наумов А.А. К свойству S_P-инвариантности методов решения многокритериальных задач оптимизации // Theoretical & Applied Science. 2013. № 10 (6). С. 1-4.


Все статьи автора «Баженов Руслан Иванович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: