УДК 51

ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ И ПРАВИЛ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ ФОРМУЛИРОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Велиховский Олег Владиславович
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
инженер, бакалавр кафедры «Электрические сети и системы»

Аннотация
В статье представлено описание некоторых свойств и правил построения числовых последовательностей для формулировки и решения задач общей теории чисел.

Ключевые слова: общая теория чисел, построение числовых последовательностей


DESCRIPTION OF SOME PROPERTIES AND RULES OF NUMBER SEQUENCES FOR THE FORMULATION AND SOLUTION OF PROBLEMS OF THE GENERAL THEORY OF NUMBERS

Velihovskiy Oleg Vladislavovich
National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute»
engineer, bachelor of science, Department "Electrical networks and systems"

Abstract
This article provides description of some properties and rules of number sequences for the formulation and solution of problems of the general theory of numbers.

Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ, 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Велиховский О.В. Описание некоторых свойств и правил построения числовых последовательностей для формулировки и решения задач общей теории чисел // Современные научные исследования и инновации. 2012. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2012/12/19372 (дата обращения: 02.06.2017).

Предмет исследования

Некоторое любое, произвольно взятое, положительное чётное число  A возможно представить, как сумму двух целых положительных чисел, или двух чётных, или двух нечётных:

 A = an + am = bn + bm                                                                                                      (1)                                                                                              

( A, an ,am ) = 2k ; ( bn , bm ) = 2k + 1 ; ( k, n, m ) = 1, 2, 3, . . .                                      (2)

Свойства предметов исследования

Так как слагаемые числа  an , am , bn , bm  возможно выбирать произвольно, тогда эти числа всегда возможно представить, или в виде разности одного простого и одного нечётного числа, или в виде суммы одного простого и одного нечётного числа:

an = pi - bn                                                                                                                                                                                                          (3)

am = bm + pj                                                                                                                                                                                                       (4)

Или

bn = pi - an                                                                                                                                                                                                           (5)

bm = am + pj                                                                                                                       (6)

Где:  pi , pj  есть некоторые простые положительные числа .

Правила построения числовых последовательностей

Таким образом, некоторое любое, произвольно взятое, положительное чётное число А возможно представить в виде суммы числовой последовательности :

A = ( pi - bn) + am                                                                                                               (7)

A = ( pi - bn) + (bn - b1)+ (b1 - b2) +…+ (bm -1 - bm) + (bm + pj)                                          (8)

Или :

A = ( pi - an) + bm                                                                                                                                                                                         (9)

A = ( pi - an) + (an - a1) + (a1 - a2) + … + (am -1 - am) + (am + pj)                                      (10)

Или в некотором смешанном виде:

 

A = (pi - an) + (an - b1) + (b1 - a1) + (a1 - b2) + (b2 - a2) +…+ (bm + pj )                           (11)

Некоторые примеры числовых последовательностей

Пример 1.

Выберем некоторое положительное чётное число:  А = 30 .

Представим это число А в виде суммы некоторой числовой последовательности:

A = (pi - an) + bn = (pi  - an) + (an + pj ) .                                                                         (12)

A = 30 = (23 - 10) + 17 = (23 - 10) + (10 +7) = 23 + 7 .

Или :

A = (pi - a1) + (a1 - b1) + (b1 - a2) + (a2 - b3) + (b3 + pj ) .                                                (13)

A = 30 = (13 - 10) + 27 = (13 - 10) + (10 – 7) + 24 = (13 – 10) + (10 - 7) + (7 - 4) + 21 =

            = (13 – 10) + (10 – 7) + (7 - 4) + (4 - 1) + 18 =

            = (13 – 10) + (10 - 7) + (7 – 4) + (4 - 1) + (1 + 17) = 13 + 17 .

Пример 2.

Выберем некоторое другое положительное чётное число: А = 48 .

Представим это число А так же в виде суммы некоторой числовой

последовательности:

A = (pi - a1) + (a1 - b1) + (b1 - a2) + (a2 - b2) + (b2 - a3) + (a3 - b3) + (b3 + pj )                 (14)     

A = 48 = (31 – 26) + 43 = (31 – 26) + (26 – 21) + 38 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + 33 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + 28 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + (11 – 6) + 23 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + (11 – 6) + (6 – 1) + 18 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + (11 – 6) + (6 – 1) + (1+17) =

            = 31 + 17 .                                                                                                        

Некоторые следствия

Из примеров  1 и 2 можно сделать вывод о том, что некоторое любое положительное чётное число А возможно представить в виде суммы двух положительных простых чисел  pi  и  pj  , если только для такого числа А найдётся такое простое число  p, для которых     будет выполняться следующее условие:

                                       A < 2pi                                                                                       (15)

A = an + am = ( pi - ( pi - 2)) + ( A - 2) = ( pi - (2k + 1)) + ((2k + 1) + pj )                      (16)

Или:

A = an + am = ( pi - ( pi - 3)) + ( A - 3) = ( pi - 2k) + ( 2k + pj )                                       (17)

Или :

A = an + am = ( pi - ( pi - 3)) + ( A - 3) = ( pi - (2k + 1)) + ((2k + 1) + pj )                      (18)

Или:  

A = an + am = ( pi - ( pi - 2)) + ( A - 2) = ( pi - 2k) + ( 2k + pj )                                       (19)

Особые случаи

Некоторые положительные чётные числа возможно представить в виде сумм числовых последовательностей, состоящих исключительно из простых чисел, например:

Пример 3.

Выберем некоторое положительное чётное число:  А = 36 .

Далее представим это число в виде числовой последовательности, состоящей из       простых чисел:

A = (pi - p1) + (p1 - p2) + …+ (pj-2 - pj-1 ) +  (pj-1 + pj )                                                      (20)

A = 36 = (19 – 17) + 34 = (19 – 17) + (17 – 13) + 30 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + 28 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + 24 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + (7 – 5) + 22 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + (7 – 5) + (5 – 3) + 20 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + (7 – 5) + (5 – 3) + (3 – 2) + 19 =

   = (19-17) + (17-13) + (13-11) + (11-7) + (7-5) + (5-3) + (3-2) + (2-1) + 18 =

   = (19-17) + (17-13) + (13-11) + (11-7) + (7-5) + (5-3) + (3-2) + (2-1) + (1 + 17) =

   = 19 + 17 .

A = 19 + 17 = 36 .

Выводы

Таким образом, на основании примеров 1 и 2 можно пологать, что  процесс сходимости или сближения некоторого простого числа  pi  c некоторым другим простым числом  pj , или алгоритм сближения суммы простых чисел:

PrimeNumbersSumConvergenceAlgorithm                                                                                         Иначе говоря:

AlgConv: PNS(pi , pj )                                                                                                     (21)              

 будет выполняться для некоторого любого положительного чётного числа  an , если только существует или найдётся, такое простое число  pi , для которых будет выполняться следующее соотношение:

2pi > an                                                                                                                              (22)

                                                                                                                                                                                                   Тогда будет справедливо следующее равенство:            

                                                                                                                                            

AlgConv:(PNS(pi , pj ); 2pi > an ) =  pi + pj = an                                                             (23)

Где:  an  есть некоторое любое положительное чётное число:

an = 2k ;  k = 1 , 2 , 3 , …  

И где: pи  pj  некоторые простые числа. 

Дополнение

Из теоремы о распределении простых чисел не явно следует, что всегда найдётся такое простое число pдля которого:   2pi > an

Если только:

n > 2                                                                                (24)

То есть:

m / lnm - n / lnn > 0 ; 2n = m ; ( m , n ) = 1, 2, 3, …  

2nlnn - nln2n > 0

n( 2lnn - ln2 - lnn ) > 0

n( lnn - ln2 ) > 0

lnn - ln2 > 0

n > 2 .

где:  ( i , n , m ) = 1, 2, 3, . . .


Библиографический список
  1. Матиасевич Ю. В.  Десятая проблема Д. Гильберта.  М. : Наука, 1993.
  2. Нестеренко Ю. В.  Алгоритмические проблемы теории чисел.  П., 2001.
  3. Курант Р., Робинс Г.  Что такое математика ?  М., 2001.
  4. Диамонд Г., Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 1990.


Все статьи автора «Oleg Velikh»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: