Предмет исследования

Некоторое любое, произвольно взятое, положительное чётное число  A возможно представить, как сумму двух целых положительных чисел, или двух чётных, или двух нечётных:

 A = an + am = bn + bm                                                                                                      (1)                                                                                              

( A, a_n ,a_m ) = 2k ; ( b_n , b_m ) = 2k + 1 ; ( k, n, m ) = 1, 2, 3, . . .                                      (2)

Свойства предметов исследования

Так как слагаемые числа  a_n , a_m , b_n , b_m  возможно выбирать произвольно, тогда эти числа всегда возможно представить, или в виде разности одного простого и одного нечётного числа, или в виде суммы одного простого и одного нечётного числа:

a_n = p_i - b_n                                                                                                                                                                                                          (3)

a_m = b_m + p_j                                                                                                                                                                                                       (4)

Или

b_n = p_i - a_n                                                                                                                                                                                                           (5)

b_m = a_m + p_j                                                                                                                       (6)

Где:  p_i , p_j  есть некоторые простые положительные числа .

Правила построения числовых последовательностей

Таким образом, некоторое любое, произвольно взятое, положительное чётное число А возможно представить в виде суммы числовой последовательности :

A = ( p_i - b_n) + a_m                                                                                                               (7)

A = ( p_i - b_n) + (b_n - b₁)+ (b₁ - b₂) +…+ (b_{m -1} - b_m) + (b_m + p_j)                                          (8)

Или :

A = ( p_i - a_n) + b_m                                                                                                                                                                                         (9)

A = ( p_i - a_n) + (a_n - a₁) + (a₁ - a₂) + … + (a_{m -1} - a_m) + (a_m + p_j)                                      (10)

Или в некотором смешанном виде:

A = (p_i - a_n) + (a_n - b₁) + (b₁ - a₁) + (a₁ - b₂) + (b₂ - a₂) +…+ (b_m + p_j )                           (11)

Некоторые примеры числовых последовательностей

Пример 1.

Выберем некоторое положительное чётное число:  А = 30 .

Представим это число А в виде суммы некоторой числовой последовательности:

A = (p_i - a_n) + b_n = (p_i  - a_n) + (a_n + p_j ) .                                                                         (12)

A = 30 = (23 - 10) + 17 = (23 - 10) + (10 +7) = 23 + 7 .

Или :

A = (p_i - a₁) + (a₁ - b₁) + (b₁ - a₂) + (a₂ - b₃) + (b₃ + p_j ) .                                                (13)

A = 30 = (13 - 10) + 27 = (13 - 10) + (10 – 7) + 24 = (13 – 10) + (10 - 7) + (7 - 4) + 21 =

            = (13 – 10) + (10 – 7) + (7 - 4) + (4 - 1) + 18 =

            = (13 – 10) + (10 - 7) + (7 – 4) + (4 - 1) + (1 + 17) = 13 + 17 .

Пример 2.

Выберем некоторое другое положительное чётное число: А = 48 .

Представим это число А так же в виде суммы некоторой числовой

последовательности:

A = (p_i - a₁) + (a₁ - b₁) + (b₁ - a₂) + (a₂ - b₂) + (b₂ - a₃) + (a₃ - b₃) + (b₃ + p_j )                 (14)     

A = 48 = (31 – 26) + 43 = (31 – 26) + (26 – 21) + 38 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + 33 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + 28 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + (11 – 6) + 23 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + (11 – 6) + (6 – 1) + 18 =

            = (31 – 26) + (26 – 21) + (21 – 16) + (16 – 11) + (11 – 6) + (6 – 1) + (1+17) =

            = 31 + 17 .                                                                                                        

Некоторые следствия

Из примеров  1 и 2 можно сделать вывод о том, что некоторое любое положительное чётное число А возможно представить в виде суммы двух положительных простых чисел  p_i  и  p_j  , если только для такого числа А найдётся такое простое число  p_i  , для которых     будет выполняться следующее условие:

                                       A < 2p_i                                                                                       (15)

A = a_n + a_m = ( p_i - ( p_i - 2)) + ( A - 2) = ( p_i - (2k + 1)) + ((2k + 1) + p_j )                      (16)

Или:

A = a_n + a_m = ( p_i - ( p_i - 3)) + ( A - 3) = ( p_i - 2k) + ( 2k + p_j )                                       (17)

Или :

A = a_n + a_m = ( p_i - ( p_i - 3)) + ( A - 3) = ( p_i - (2k + 1)) + ((2k + 1) + p_j )                      (18)

Или:  

A = a_n + a_m = ( p_i - ( p_i - 2)) + ( A - 2) = ( p_i - 2k) + ( 2k + p_j )                                       (19)

Особые случаи

Некоторые положительные чётные числа возможно представить в виде сумм числовых последовательностей, состоящих исключительно из простых чисел, например:

Пример 3.

Выберем некоторое положительное чётное число:  А = 36 .

Далее представим это число в виде числовой последовательности, состоящей из       простых чисел:

A = (p_i - p₁) + (p₁ - p₂) + …+ (p_j-2 - p_j-1 ) +  (p_j-1 + p_j )                                                      (20)

A = 36 = (19 – 17) + 34 = (19 – 17) + (17 – 13) + 30 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + 28 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + 24 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + (7 – 5) + 22 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + (7 – 5) + (5 – 3) + 20 =

   = (19 – 17) + (17 – 13) + (13 – 11) + (11 – 7) + (7 – 5) + (5 – 3) + (3 – 2) + 19 =

   = (19-17) + (17-13) + (13-11) + (11-7) + (7-5) + (5-3) + (3-2) + (2-1) + 18 =

   = (19-17) + (17-13) + (13-11) + (11-7) + (7-5) + (5-3) + (3-2) + (2-1) + (1 + 17) =

   = 19 + 17 .

A = 19 + 17 = 36 .

Выводы

Таким образом, на основании примеров 1 и 2 можно пологать, что  процесс сходимости или сближения некоторого простого числа  p_i  c некоторым другим простым числом  p_j , или алгоритм сближения суммы простых чисел:

PrimeNumbersSumConvergenceAlgorithm                                                                                         Иначе говоря:

AlgConv: PNS(p_i , p_j )                                                                                                     (21)              

 будет выполняться для некоторого любого положительного чётного числа  a_n , если только существует или найдётся, такое простое число  p_i , для которых будет выполняться следующее соотношение:

2p_i > a_n                                                                                                                              (22)

                                                                                                                                                                                                   Тогда будет справедливо следующее равенство:            

AlgConv:(PNS(p_i , p_j ); 2p_i > a_n ) =  p_i + p_j = a_n                                                             (23)

Где:  a_n  есть некоторое любое положительное чётное число:

a_n = 2k ;  k = 1 , 2 , 3 , …  

И где: p_i  и  p_j  некоторые простые числа. 

Дополнение

Из теоремы о распределении простых чисел не явно следует, что всегда найдётся такое простое число p_i  для которого:   2p_i > a_n

Если только:

n > 2                                                                                (24)

То есть:

m / lnm - n / lnn > 0 ; 2n = m ; ( m , n ) = 1, 2, 3, …  

2nlnn - nln2n > 0

n( 2lnn - ln2 - lnn ) > 0

n( lnn - ln2 ) > 0

lnn - ln2 > 0

n > 2 .

где:  ( i , n , m ) = 1, 2, 3, . . .

1. Матиасевич Ю. В.  Десятая проблема Д. Гильберта. – М. : Наука, 1993.
2. Нестеренко Ю. В.  Алгоритмические проблемы теории чисел. – П., 2001.
3. Курант Р., Робинс Г.  Что такое математика ? – М., 2001.
4. Диамонд Г., Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 1990.

Все статьи автора «Oleg Velikh»