РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ГЕЛИЯ И ГЕЛИЙ ПОДОБНЫХ ИОНОВ В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ

Гелий. Эпизод 2

Введение

Работа посвящена решению уравнения Шредингера для атома Гелия и гелий подобных ионов в основном состоянии. Принята модель для основного состояния атома так называемой конфигурации eZe . В этой модели полагается что два электрона в атоме из за сил кулоновского отталкивания занимают преимущественно диаметральное положение. Теоретическое обоснование данной модели можно найти в работе [1].

Рассмотрим схематическое изображение атома Гелия приведенное на Рис.1

Рис. 1

Будем рассматривать плоскую задачу. Для этого введем подвижную систему координат и направим полюс в центр дуги между электронами. В этом случае при любом движении электронов координатная система принимает соответствующее положение и волновая функция становится зависящей только от переменной и угла отклонения электрона от равновесного диаметрального положения. Будем считать среднее значение расстояния электронов от ядра равным друг другу при таком допущении среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электронов не меняется. Обоснование есть в [1].

Заметим что потенциальная энергия взаимодействия двух электронов имеет минимальное значение при диаметральном расположении:

А это означает что в этом положении электроны находятся в квантовой потенциальной яме. Очевидно что в таком случае электроны должны совершать по крайней мере нулевые колебания. Нулевые колебания могут быть только противофазные т.е. когда электроны движутся навстречу друг другу и обратно. А синфазные колебания когда электроны движутся в одном направлении т.е. один электрон догоняет другого невозможны, потому что в этом случае при отклонении не возникает возвращающей силы.

Найдем уравнение потенциальной энергии взаимодействия электронов в зависимости от угла отклонения от равновесного диаметрального положения. Как заметили колебания могут быть только противофазные а это означает что при отклонении одного электрона на угол второй электрон тоже отклоняется навстречу на тот же угол запишем это условие в виде:
. При этом расстояние между электронами будет равно: и соответственно потенциальная энергия будет равна : перепишем уравнение в виде :

Запишем уравнение Шредингера для описанной колебательной системы. В силу принятых допущений и получим:

(0.1) 

Разделим уравнение 0.1 на две части

(0.2) 

(0.3) 

Уравнение 0.2 описывает собственно осциллятор а 0.3 это постоянная компонента энергии взаимодействия электронов.

Перепишем уравнение 0.2 в атомных единицах Хартри где принимается

(0.4) 

Будем искать решение уравнения 0.4 с целью нахождения энергии нулевых колебаний

Рис.2 Вид потенциальной ямы при орбитальный радиус Гелия в атомных единицах.

Сначала найдем решение уравнения 0.4 численным методом пользуясь программным пакетом для решения систем дифференциальных уравнений FlexPDE.

По оси X разместим переменную в радианах . По оси Y разместим энергию в атомных единицах Хартри (одна единица энергии равна 27.2 эВ). Значение для радиуса примем это табличное (расчетное а не экспериментальное) значение орбитального радиуса гелия в атомных единицах . Граничные условия для волновой функции: Результат численного решения приведен на Рис.3. Анализируя решение видим, что вид волновой функции соответствует нулевому квантовому состоянию осциллятора т.е. имеет один максимум в середине и спадает до нуля на краях области. А энергия имеет положительное значение и находится в интервале от 78.22269эВ до 80.16008 эВ.

Полученное значение почти точно совпадает с экспериментальным значением энергии оболочки атома Гелия -79.000519 эВ. Такое точное совпадение можно интерпретировать следующим образом: Поскольку нулевые колебания это самый низкий энергетический уровень и ниже этой энергии ничего быть не может, то это означает только одно: в основном не возбужденном состоянии атома Гелия все другие виды кинетической энергии равны нулю.

Рис.3 Результат численного решения уравнения осциллятора 0.4.

В частности равна нулю радиальная кинетическая энергия и фактически наша подвижная координатная система на самом деле неподвижна т.к. ее движение будет означать прибавку энергии, что уже невозможно при этом атом перейдет в возбужденное состояние. Заметим еще, что нулевые противофазные колебания электронов происходят в одной плоскости.

Сделав этот важный вывод нам только остается для получения полного уравнения Шредингера для Гелия и гелий подобных ионов, добавить к уравнению осциллятора все виды потенциальной энергии. Т.е. потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядром и энергию 0.3 опять вернуть в уравнение. Тогда получим:

(0.5) 

Перепишем уравнение 0.5 в атомных единицах Хартри:

(0.6) 

Теперь перейдем к аналитическому решению уравнения осциллятора 0.4.

Для решения уравнения применим Метод Галёркина (метод Бубнова — Галёркина)

Выберем одну базисную функцию которая удовлетворяет граничным условиям Такой функцией является найдем вторую производную подставим значения функции и второй производной в уравнение 0.4 и получим невязку: далее выдвигается требование ортогональности невязки :

Рассчитав определенные интегралы получим: подставим полученное значение энергии осциллятора в уравнение 0.6 получим:

как можно заметить волновая функция сокращается и уравнение для энергии оболочки Гелия принимает вид:

(0.7)  

График уравнения 0.7 для Гелия при приведен на Рис.4

Рис.4 график уравнения энергии 0.7. для Гелия. Энергия имеет минимальное значение при в атомных единицах.

Теперь необходимо найти минимальное значение энергии т.к. атом в основном состоянии должен иметь минимальную энергию. Для нахождения минимума приравниваем к нулю первую производную функции от переменной .

решение дает:

подставим полученное значение в уравнение энергии 0.7 получим:

(0.8) 

Получена простая формула для расчета энергии оболочки Гелия и гелий подобных ионов. На Рис.5 приведены для сравнения данные экспериментальных и рассчитанных по формуле 0.8 значений энергии гелий подобных оболочек первых 29 элементов.

Рис.5. Экспериментальные и теоретические значения энергии гелий подобных ионов.

Результаты

для Гелия получим:

для Гелия получим:

для Гелия получим: умножив на 27.2 получим в электрон-вольтах:

1. Назарян А.Х “Многоэлектронные атомные оболочки” 2006 г.

Все статьи автора «Дангян Араик Эмильевич»