по основаниям  МА, где ; ,  – наименьший неотрицательный вычет числа  по модулю ; .
Это позволяет разбить последовательности данных, представленных комбинациями двоичного кода, на блоки данных, далее кодировать их и отправить на отдельные физические диски (хранилища) по каждому основанию МА отдельно.
Полученная система в МА является расширенной, где , и охватывает полное множество состояний, представляемых  вычетами системы. Эта область будет являться полным диапазоном МА  и состоять из рабочего диапазона , определяемого неизбыточными основаниями МА, и диапазона , определяемого контрольными (избыточными) основаниями МА и представляющего недопустимую область.
Это будет означать, что операции над числом  выполняются в диапазоне , и если результат операции МА (деструктивного воздействия) выходит за пределы , то следует вывод о нарушении целостности данных (возникновении ошибки). Проверка этого правила позволяет локализовать блок (блоки) данных с признаками нарушения целостности.
За счет вводимой избыточности данных, хранящихся по основаниям , производится реконфигурация между целыми дисками и дисками, подверженными деструктивным воздействиям, что позволяет восстановить целостность искаженных данных в отдельных дисках. Выполнение этой функции возложено на систему управления СХД (рисунок 1).

Рисунок 1. Схема, иллюстрирующая порядок функционирования СХД

Операция реконфигурации выполняется за счет вычисления  из системы:

по «правильным» основаниям МА (с учетом исключения «неправильного» основания МА):

,

где  – ортогональный базис; ;  – целое положительное число (вес ортогонального базиса), подбираемое так, чтобы имело место следующее сравнение: ; ; ; .
Таким образом, в представленном решении обеспечена возможность восстановления целостности данных в условиях высокой интенсивности деструктивных воздействий при отказе более двух дисков (с необходимостью введения для этого избыточности соизмеримой с избыточностью, вводимой в существующих решениях даже при увеличении разрядности данных в СХД).

В настоящее время перед пользователями различных информационных систем стоят задачи по защите содержащихся и обрабатываемых в них данных. Одной из мер обеспечения защищенности данных, содержащихся и обрабатываемых в информационных системах, является защита их целостности [1-3]. Известны способы восстановления целостности данных за счет применения различных видов резервирования (с использованием программно-аппаратной или программной реализации технологии Redundant Array of Independent Disks (RAID-массивы) [4-6]. Недостатками данных способов являются: высокая избыточность, а также отсутствие возможности восстановления целостности данных в условиях высокой интенсивности деструктивных воздействий при отказе более двух дисков [7, 8].
Целью статьи является разработка и исследование модели восстановления целостности данных в условиях высокой интенсивности деструктивных воздействий при отказе более двух дисков.
Данные, подлежащие защите, отправляемые на хранение в систему хранения данных (СХД) в виде комбинаций двоичного кода, интерпретируют как целые неотрицательные числа – блоки данных . Для обеспечения возможности восстановления целостности данных полученные блоки данных  представляют в виде наименьших неотрицательных вычетов  по основаниям  модулярной арифметики (МА). При этом для блока данных – числа  по попарно простым основаниям  вычисляют контрольные (избыточные) вычеты  так, чтобы число  можно было однозначно представить:

по основаниям  МА, где

;

,  – наименьший неотрицательный вычет числа  по модулю ; .
Это позволяет разбить последовательности данных, представленных комбинациями двоичного кода, на блоки данных, далее кодировать их и отправить на отдельные физические диски (хранилища) по каждому основанию МА отдельно (рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема, иллюстрирующая порядок представления данных
для их отправки на отдельные физические диски

Полученная система в МА является расширенной, где

,

и охватывает полное множество состояний, представляемых  вычетами системы. Эта область будет являться полным диапазоном МА  и состоять из рабочего диапазона , определяемого неизбыточными основаниями МА, и диапазона , определяемого контрольными (избыточными) основаниями МА и представляющего недопустимую область.
Это будет означать, что операции над числом  выполняются в диапазоне , и если результат операции МА (деструктивного воздействия) выходит за пределы , то следует вывод о нарушении целостности данных (возникновении ошибки). Проверка этого правила позволяет локализовать блок (блоки) данных с признаками нарушения целостности.
Коррекция искаженных и утраченных данных, возникших в результате деструктивных воздействий на отдельные диски СХД, осуществляется после преобразования данных из системы вычетов (МА) в позиционную систему счисления посредством системы управления СХД.
В условиях высокой интенсивности деструктивных воздействий при отказе более двух дисков требуется увеличение числа контрольных (избыточных) оснований  системы в МА в соотношениях, представленных и исследуемых в работе [9], что обеспечит возможность восстановления целостности данных.
При этом при сравнении объема избыточности контрольных данных, вводимой для реализации разработанной модели, в сравнении с современными СХД, подобными по возможностям исправления ошибок и отказов дисков, установлено, что по большинству характеристик сравниваемые решения сопоставимы друг с другом.
В качестве решения для сравнения близким к разрабатываемой на основе МА модели является RAID 6, использующий для формирования избыточной части контроль четности подобно RAID 5, а также кода Рида-Соломона, что позволяет поддерживать работоспособность СХД при выходе из строя до 2-х дисков.
В таблице 1 представлены основные характеристики описанной выше технологии RAID 6 и системы в МА.

Таблица 1 – Характеристики сравниваемых решений

Тип	Кол-во дисков	Эффективная емкость*	Допустимое количество вышедших из строя дисков	Надежность	Скорость чтения	Скорость записи
RAID 6	От 4		2 диска	высокая	высокая	низкая
МА	От 4		2 диска	высокая	высокая	средняя

Для двоичных последовательностей данных отправляемых на хранение в СХД различной длины: k₁ = 32 бит, k₂ = 64 бит, k₃ = 128 бит, k₄ = 256 бит, сравнительный анализ вводимой избыточности представлен в таблице 2.

Таблица 2 – Таблица с результатами сравнительной оценки

Для СХД с данными, представленными с использованием МА, это означает, что набор оснований системы в МА будет перекрывать диапазоны представления двоичных чисел соответствующей разрядности. Для технологии RAID 6 эти последовательности определяют число накопителей в системе, при условии длины блока данных в страйпе 1 байт. Так RAID 6 при k₁ = 32 бит необходимо 4 диска для данных, а также 1 диск контроля четности и 1 диск синдромов кода Рида-Соломона.
Заключение
Таким образом, в представленном решении обеспечена возможность восстановления целостности данных в условиях высокой интенсивности деструктивных воздействий при отказе более двух дисков (с необходимостью введения для этого избыточности соизмеримой с избыточностью, вводимой в существующих решениях даже при увеличении разрядности данных в СХД).

Избыточность хранимых данных напрямую зависит от корректирующей способности используемых кодов: при улучшении последней увеличивается объем зашифрованного сообщения. Значительное увеличение объемов хранимой информации приводит к росту количества необходимых носителей информации. Причем эта проблема становится все более значимой.
Для решения этой проблемы было предложено большое количество путей на аппаратном и программном уровне. Однако большинство предложенных путей решения проблемы имеют свои недостатки. Например, аппаратные варианты влекут за собой увеличение материальных затрат и нагрузки на аппараты носители. Программные варианты такого недостатка не имеют, за исключением затрат на разработку, но стоит отметить, что их развитие невозможно без развитой аппаратной базы. Также создание программных решений невозможно без совершенствования, существующего и разработки нового математического аппарата, применяемого для кодирования информации.
Для кодирования делим сообщение на блоки. Представим каждый блок в виде числа из поля Галуа . При расчетах будет использоваться арифметика полей Галуа.
Порождающий многочлен для кода Рида-Соломона строится по формуле:

, (1)

где .
Для построения систематического кода полином исходного сообщения необходимо сдвинуть на  коэффициентов влево: . Порождающую матрицу систематического кода строят следующим образом: исходя из числа информационных разрядов , составляется единичная матрица . К ней справа приписывают матрицу контрольных символов , которая находится с помощью следующего формального приема. Единица с рядом нулей делится на образующий полином, и выписываются  промежуточных остатков деления. Эти остатки, записанные в обратном порядке, образуют матрицу контрольных символов.
Далее необходимо перемножить матрицу  и строку коэффициентов информационного многочлена. В результате получим строку коэффициентов кодового слова .
Информация, обрабатываемая и подлежащая защите в рассматриваемых ИС, представляется в виде многомерного массива данных , который фрагментируется на подблоки данных  () и  () фиксированной длины. В подблоки данных  заносятся более важные данные. Этим данным требуется наиболее высокая степень защиты. В подблоки данных  заносится вся остальная информация. Каждый подблок данных  и  представляется как число из расширения поля Галуа . Далее подблоки данных объединяются в один массив.
Пусть  – линейный () – код с минимальным расстоянием ,  – информационная последовательность, кодовое слово.  – порождающая матрица кода , а  – переходная матрица. Тогда  и .
Пусть  – принятое слово и  – слово-ошибка. Слово-ошибку обозначим вектором: .
Для систематических кодов , так же как и , . Считается, что -ый символ  информационной последовательности  кода  имеет степень защиты , если какие бы  () ошибок не произошли в кодовом слове , этот символ будет декодирован правильно даже в случае, если слово в целом будет декодировано неверно.
Пусть даны две прямоугольные матрицы  и , размерности которых равны  и  соответственно. Обозначим через  и  матрицы размерности  и , получающиеся из матриц  и  вычеркиванием некоторого числа строк и столбцов. При этом соединение первого типа матриц  и  есть прямоугольные матрицы вида:

; . (2)

Нулевые матрицы  и  выбираются из условия прямоугольности матриц  и . Размерность матрицы  есть , где  и  , размерность матрицы  – , где  и .
Соединение второго типа матриц  и  есть прямоугольные матрицы вида:

; . (3)

Размерность матрицы  есть , где  
и , размерность матрицы  – , где  и . Оба типа соединения матриц могут быть использованы для построения кодов, исправляющих ошибки различного вида. С помощью соединений матриц, как первого, так и второго типа можно построить линейные коды с неравной защитой информационных символов.
Рассмотрим частный вид соединения первого типа матриц  и :

, (4)

где  – максимальное соединение матриц  и.
Пусть даны  и  – линейные ()- и ()- коды над 
с минимальными расстояниями  и  соответственно,  и  – порождающие матрицы кодов  и . Минимальное соединение  матриц  и  порождает линейный ()-код  с минимальным расстоянием. Максимальное соединение  матриц  и  порождает линейный ()-код 
с минимальным расстоянием . Таким образом, матрица  порождает линейный ()- код  над  с минимальным расстоянием ,  информационных символов которого имеют степень защиты . Первые  символов кодового слова кода  – это информационные символы, а последние  символов – проверочные. Среди  информационных символов  имеют степень защиты , а остальные информационные символы, а также проверочные имеют степень защиты по крайней мере .
В качестве кодов  и  выбран код Рида-Соломона. Для возможности осуществления контроля целостности данных выполняется кодирование, при котором вычисляется кодовое слово . Кодирование сообщения осуществляется путем умножения исходного сообщения на порождающий многочлен : . Порождающую матрицу  строим способом, описанным выше:

. (5)

Соединение порождающих матриц  и  линейных кодов 
и  соответственно порождает линейный -код  с минимальным расстоянием . Соединение порождающих матриц в таком случае будет выглядеть следующим образом:

 (6)

При декодировании правильно определяются  информационных символов, если произошло не более  ошибок, и все информационное слово при условии, если произошло не более  ошибок.
Допустим, что в данных при хранении возникли ошибки. Принятое слово  разобьем на два слова  и . Для обнаружения и исправления ошибки разделим  на  и получаем полином ошибки. После составим матрицу  и вектор , найдем обратную матрицу и полином локаторов ошибок. Таким образом, остается скорректировать полином  и получить исходный полином .
Для обнаружения и исправления ошибки разделим  на . Так как  делится на  без остатка, это означает, что в сообщении ошибки не произошло. Чтобы найти соответствующее информационное слово нужно выделить  старших коэффициентов. Далее требуется сравнить первые  составляющие слов ,  и получим, что они совпадают. Следовательно, декодирование произошло правильно.
Таким образом, был описан принцип комбинационного кодирования с учетом анализа ценности информационных символов, приведена методика кодирования комбинационным способом.