(1)

где  – область ограниченная отрезками АВ, ВС, СО и ОА прямых , , ,  соответственно;  – характеристический треуголь­ник, ограниченный отрез­­ком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АD: , ОD:  уравнения (1), выходящими из точек А, О и пересекающимися в точке D;  и – заданные коэффициенты, ; .
Задача 1. Найти регулярное в , , решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее краевым условиям ,

, (2)
 (3)

и условиям сопряжения:

  (4)

где , , , , , причем .
Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме условия (5), которое заменено условием

где , , , , причем .
На отрезке АО имеем функциональное соотношение принесенное из области 

. (5)

Соотношение же между  и , принесенное на отрезок АО из гиперболической части  смешанной области  легко получить выписав решение соответствующей задачи Коши, а затем удовлетворив его краевому условию (3). В результате этих преобразований, находим

, (6)

где

.

Подставляя  из первого уравнения условий (4) во второе, получим

или

,

где

, ,
.

Отсюда, с учетом (5), следует, что

. (7)

Теперь, подставляя  из первого уравнения условий (4) в соотношение (6), будем иметь

или

, (8)

где

, , .

Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (8) через резольвенту  ядра , получим

или

, (9)

где

, .

Подставляя равенство (9) в соотношение (7), будем иметь

.

Отсюда, в результате ряда элементарных преобразований, получим

.

Полагая здесь

, ,

приходим к равенству

.

Интегрируя полученное равенство, будем иметь

.

Меняя порядок интегрирования в третьем слагаемом последнего равенства, получим

или

, (10)

где

, .

Интегрируя равенство (10), будем иметь

.

Вновь меняя порядок интегрирования, но теперь, во втором слагаемом, приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции :

, (10)

где

,


.

Заметим, что  зависит от двух неизвестных постоянных , , первая из которых легко находится из условия (2). В самом деле, из этого равенства, имеем .
Теперь, обращая интегральное уравнение (10), через резольвенту  ядра , будем иметь

. (11)

Очевидно, что функция  представима в виде

,

где

.

Отсюда, с учетом (11), будем иметь

.

Полагая в этом равенстве , получим

.

Таким образом, отсюда находим искомую постоянную , при условии, что . Тогда, функция  однозначно определяется равенством (11), функции же  находятся из соотношения (9), а  – из условий сопряжения (4). Теперь, очевидно, что решение задачи 1, легко найти как решение соответствующей задачи Коши в области  и первой краевой задачи в области , для уравнения (1).
В заключении отметим, что условие  в задаче 1 не является необходимым, так как при его нарушении, условия (4), как легко заметить, представляют собой частный случай условий сопряжения задачи 2, которая исследуется аналогично задаче 1.