В научном сообществе доминирует убеждение о том, что атом водорода является самым простым. И существующие теории на основе уравнений Шредингера и Дирака полностью описывают все тонкости поведения электрона в атоме водорода.
В данной работе и в следующих статьях будет показано, что кроме известных состояний основанных на решениях уравнений Шредингера и Дирака , существуют состояния которые небыли изучены и небыли известны. Или часто просто отбрасывались с формулировкой “не имеют физического смысла”. 
Далее будет показано, что существующие уравнения квантовой механики а именно уравнение Дирака, уравнение Клейна-Гордона и тем более уравнение Шредингера, не могут точно описывать все тонкости поведения электрона в атоме водорода. 
В результате будут приведены достаточно оснований для целесообразности экспериментального поиска или целенаправленного синтеза новых неизвестных состояний атома водорода.

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - https://portalnp.snauka.ru/wp-content/uploads/2016/06/ExoticHatom1.pdf

Решение уравнения М2 для атома водорода

В работе [1] приведен вывод нового релятивистского уравнения М2 (1.1). Далее приводится решение уравнения для водорода и для изоэлектронного ряда в основном состояний при значении квантового числа .

 (1.1)

Теперь приведем решение уравнения М2 с учетом всех возможных значений квантового числа .
Для решения уравнения (1.1) применим стандартную методику разделения переменных в сферической системе координат.
В центральном поле ядра атома водорода потенциальная энергия электрона зависит только от одной координаты, расстояния от центра.  (1.2)

Представим волновую функцию в виде произведения радиальной и угловой частей  (1.3)
Оператор Лапласа в сферических координатах выглядит следующим образом:   (1.4) Подставим произведение (1.3) и потенциальную энергию (1.2) в исходное уравнение (1.1).
 Умножим полученное уравнение на дробь . 
 (1.5) Как можно заметить левая часть уравнения (1.5) зависит только от переменной , а правая от переменных  и . Следовательно, обе части равны некоторому постоянному числу . Что позволяет отделить радиальную часть уравнения от угловой части.
 (1.6)  (1.7) Далее представим функцию  в виде произведения  (1.8). Угловая часть оператора Лапласа имеет следующий вид:  (1.9). Подставим произведение (1.8) в угловое уравнение (1.7) получим:  (1.10).
Умножив уравнение (1.10) на дробь  получим:  (1.11). Левая часть уравнения (1.11) зависит только от переменной  а правая часть только от переменной . Следовательно, обе части равны некоторому постоянному числу, которую обозначим (не спутать с массой электрона). В итоге получим два уравнения:  (1.12) и  (1.13)
Решение уравнения (1.13) хорошо известно  (1.14). Так как при тождественных значениях угла  ( и ) функция должна иметь одно и то же значение, то  и . Используя формулу Эйлера для комплексных чисел: , получим  Таким образом,  может принимать только целочисленные значения. Константа находится из условия нормировки функции .
 (1.15) откуда следует  и  окончательно получим нормированную функцию в виде  (1.16)
Для решения уравнения (1.12), воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/ 
Решение дает:  (1.17)
То есть, решением является, сумма присоединенных функций Лежандра первого и второго рода.
Сделаем обозначение  (1.18). Переменная  у нас будет ассоциироваться с азимутальным квантовым числом. Определим область возможных значений квантового числа . Из формулы (1.18) следует, что  следовательно  (1.19). Переписав зависимость (1.18) относительно  получим  (1.20) как и следовало ожидать. Таким образом угловая часть волновой функции будет иметь вид:
 (1.21)

При традиционном описании орбитального углового момента квантовые числа  и принимают целые значения. В этом случае функция  имеет особенности. Поэтому принимается . Кроме того считается, что квантовое число  не может принимать отрицательное значение. Такой подход автоматический исключает рассмотрение возможных решений уравнения при значении квантового числа . Которое согласно соотношению (1.19) не является запрещенным.
Теперь мы поднимем этот вопрос и покажем, что при надлежащем подходе можно получить неразрывную волновую функцию (1.21) при значениях квантовых чисел  и .
Функция  при значениях  и  имеет сингулярность на полюсе при . А функция  при значениях  и  имеет сингулярность на полюсе при . Поэтому поступим следующим образом: Разделим область возможных значений переменной  на два интервала  и 
В первом интервале поведение электрона будет подчиняться функции Лежандра первого рода  а во втором интервале поведение электрона будет подчиняться функции Лежандра второго рода .
А соответствующее переключение между функциями будет осуществлено посредством выбора констант интегрирования  и . То есть в первом интервале   а во втором интервале  .
В результате получим следующую картину:

Рис.1 График функции  при  и  в интервале 

Рис.2 График функции  при  и  в интервале 

Теперь объединим вместе оба графика на одном рисунке. Рис. 3

Рис. 3 График угловой части волновой функции (1.21) при соответствующем выборе констант интегрирования и интервалов для переменной .

Таким образом, как было сказано, при надлежащем подходе можно получить гладкую, неразрывную функцию в качестве угловой части волновой функции (1.21). 
Образно говоря, электрон не зайдет в зону сингулярного поведения волновой функции а совершит “обходный маневр”. 
Другим аргументом в пользу рассмотрения состояния с квантовыми числами  и  является то обстоятельство, что несмотря на наличие сингулярностей на полюсах, угловая волновая функция (1.21) квадратично интегрируема. То есть интеграл от квадрата модуля  сходится.
Поскольку в сферической системе координат элемент телесного угла , то на полюсах при  и  получим . Следовательно умножение на  устраняет сингулярность.
Приведем для наглядности график функции  при  и ,,  Рис.4.

Рис.4. График функции  при  и ,, 

График приведен в частично разрезанном виде чтобы было заметно поведение функции во внутренней области. Как видим, представляет из себя полую тороидальную поверхность без какой либо сингулярности. Точно такой же график получается для функции Лежандра второго рода  и для их суммы.
Перейдем к решению радиального уравнения М2 (1.6). Для этого воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/ 
Перепишем уравнение (1.6) с учетом обозначения (1.20).
 (1.22)
Далее будем применять атомную систему единиц Хартри. Перепишем уравнение (1.22) в атомных единицах Хартри.

 (1.23)
Решение уравнения (1.23) представляет из себя сумму двух линейно независимых частей. Обобщенных полиномов Лагерра и вырожденной гипергеометрической функции второго рода.
Воспользуемся первым линейно-независимым решением. Который имеет вид:

 где обобщенный полином Лагерра, константа интегрирования.  где  квантовое число.
Как известно, первый параметр обобщенного полинома Лагерра является радиальным квантовым числом . Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния и возбужденных состояний водородоподобных ионов в следующем виде: 
(1.24)
Решая уравнение (1.24) с параметрами  определим энергию исследуемого состояния атома водорода. Решение дает значение энергии  в атомных единицах Хартри. Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это, определим энергию исследуемого состояния и преобразуем ее в электрон-вольты.  а.е. В электрон-вольтах получим .
Определим константу интегрирования пользуясь условием нормировки 
 Используя формулу для радиальной волновой функции, построим график нормированной радиальной плотности вероятности Рис. 5.

Рис.5 Нормированная радиальная плотность вероятности при 

Определим орбитальный радиус, то есть расстояние от начала координат до точки максимума плотности вероятности.  в атомных единицах. Умножив полученное значение на радиус Бора  получим . И соответствующий максимум получим .
Таким образом путем решения уравнения М2 была доказана возможность существования неизвестного до настоящего времени состояния для атома водорода со следующими параметрами: Значение квантовых чисел , , . Значение энергии состояния . Значение орбитального радиуса .
Обозначим полученное состояние атома водорода символом  и назовем “Водород с нулевой валентностью” [2], так как полученные характеристики не позволяют вступать  в химические соединения.
Построим график радиальной волновой функции  Рис.6.

Рис.6 График радиальной волновой функции при 

Как видим волновая функция стремится к бесконечности при . Но такое поведение нельзя считать не физическим. Потому что, это следствие бесконечного роста в отрицательную сторону Кулоновского потенциала при  . В реальности же, потенциал отличается от чисто Кулоновского при  и является ограниченным снизу, так как ядро не является точечным а имеет размеры. 
Отметим, что и другие уравнения квантовой механики тоже имеют аналогичные решения. Приведем в виде таблицы эти данные для сравнения, без подробного изложения соответствующих решений.

Как можно заметить, результаты решений в основном достаточно точно совпадают для уравнений Дирака, Клейна-Гордона и Шредингера. Для уравнения М2 имеется довольно ощутимое различие. Возможно в дальнейшем, при экспериментальном поиске, именно это различие позволит правильно идентифицировать состояние водорода .

Уравнение М2 в цилиндрических координатах

Приведенные в первом разделе аргументы в пользу неразрывности угловой части волновой функции, могут быть недостаточно убедительными. Поэтому в этом разделе попытаемся предоставить дополнительные доказательства существования экзотического состояния атома водорода с полученными выше параметрами.
Перепишем уравнение М2 (1.1) в цилиндрических координатах. Оператор Лапласа в цилиндрических координатах выглядит следующим образом: 
 (2.1) Потенциальная энергия в цилиндрических координатах имеет вид  (2.2) . Подставляя полученные выражения в уравнение (1.1) получим: 
 (2.3)
Представим волновую функцию в виде произведения  (2.4). Подставим произведение (2.4) в исходное уравнение (2.3).

 (2.5)
Умножим полученное уравнение на дробь . 

 (2.6)
Далее будем применять атомную систему единиц Хартри. Перепишем уравнение (2.6) в атомных единицах Хартри.
 (2.7)
Как можно заметить левая часть уравнения (2.7) зависит только от переменных  и а правая от переменной . Следовательно, обе части равны некоторому постоянному числу которое обозначим  (не спутать с массой электрона). Что позволяет отделить радиальную часть уравнения от угловой части. В итоге получим два уравнения: 

 (2.8)  (2.9)
Полученное уравнение (2.9) совпадает с уравнением (1.13) поэтому имеем решение  (2.10) и значения для 
Поскольку мы анализируем состояние с квантовым числом , то получим значение волновой функции . А уравнение (2.8) примет вид:

 (2.11) Полученное уравнение не содержит угловую часть в явном виде. Поэтому проблема неразрывности угловой части снимается автоматический. Но при этом необходимо убедиться в сходимости решения уравнения (2.11) при значении энергии состояния .
Решить уравнение (2.11) аналитическими методами будет затруднительно. Поэтому применим для решения численные методы. Будем пользоваться пакетом программ для численного решения систем дифференциальных уравнений FlexPDE http://www.pdesolutions.com/
В результате численного решения получены следующие значения параметров водорода в состоянии .   
Что достаточно хорошо согласуется с данными аналитического решения.
Численное решение показало:1. Уравнение для состояния водорода  имеет достаточно высокую сходимость. 
2. Беспокойства по поводу сингулярного поведения угловой части волновой функции беспочвенны.
3. Следовательно имеются достаточно оснований для целесообразности экспериментального поиска водорода в состоянии .Ниже приведем результаты решения в виде двумерных и трехмерных графиков волновой функции и радиальной плотности вероятности.

Рис.7 Двумерный график волновой функции

Рис.8 Трехмерный график волновой функции

Рис.9 Двумерный график радиальной плотности вероятности
Рис.10 Трехмерный график радиальной плотности вероятности

Рис.11 Проекция трехмерной радиальной плотности вероятности

Результаты и обсуждения

Споры вокруг атома водорода не утихают до сих пор. Казалось бы, после создания квантовой механики и решения уравнений Шредингера и Дирака все вопросы должны были бы исчезнуть уже давно. Однако время от времени возникают гипотезы относительно существования у атома водорода энергетических состояний с энергией ниже так называемого основного состояния. В частности такую гипотезу развивает в своих теориях и экспериментах 
доктор Randell Mills основател компании Brilliant Light Power, Inc. (BLP). 
Существуют многочисленные работы за и против. Также существуют экспериментальные результаты с высвобождением огромных количеств энергии, необъяснимые с позиции современной науки. Примером такого эксперимента может служить устройство изобретателя Аракелян Г.Г. [2]. 
Настоящая работа показывает, что все эти разговоры не беспочвенны. Существование состояний атома водорода с энергией ниже основного состояния в математическом отношении вполне возможно. Может быть против этого существуют другие чисто физические причины? Но то что имеются достаточно оснований чтобы основательно разобраться в этом вопросе, не вызывает сомнения. 
Теоретические работы в этом направлении будут продолжены.

При изучении атома водорода, с целью выявления всех тонкостей поведения электрона, одним из главных условий является применение правильных, адекватных уравнений. До последнего времени, для этого применялись уравнения Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака. Уравнение Шредингера анализировать не будем, так как оно не релятивистское и поэтому не может претендовать на полное и точное описание в диапазоне высоких энергий и скоростей.
Далее будет показано, что и уравнение Клейна-Гордона тоже неприемлемо, по причине допущенной, глубоко замаскированной ошибки, при выводе этого уравнения.
Поскольку, в связи с поставленной целью, мы будем анализировать поведение электрона в состояниях с энергией ниже основного состояния, то будет показано, что в этой области к результатам решений уравнения Дирака тоже нужно относиться с неким подозрением.
В итоге, единственным приемлемым уравнением остается уравнение М2 [1].

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - https://portalnp.snauka.ru/wp-content/uploads/2016/06/ExoticHatom2.pdf

Анализ уравнений квантовой механики 

В работе [1] приведен краткий вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона (УКГ). Ключевой особенностью уравнения Клейна-Гордона является то обстоятельство, что оно отражает, в форме дифференциального уравнения, соотношение энергии и импульса Специальной Теории Относительности (СТО)  (1.1) 
Далее в работе [1] приводится аналитическое решение УКГ для изоэлектронного ряда водорода в основном состоянии. В результате решения получена формула для энергии основного состояния в следующем виде:

 эВ (1.2) Сравнительный анализ полученных решений с экспериментальными данными показал, что по мере увеличения заряда ядра  отклонения сильно увеличиваются. Посмотрев на формулу (1.2) можно заметить, что под квадратным корнем находится выражение:  Следовательно можно записать  откуда следует неравенство (1.3) где  заряд ядра водородоподобного иона,  скорость света в атомных единицах Хартри. Следовательно из неравенства (1.3) получим . А это означает, что при превышении заряда ядра  решения УКГ срываются и под квадратным корнем получается отрицательное значение. 
Приведенный расчет доказывает ошибочность уравнения Клейна-Гордона, так как такая ситуация должна была случиться при  а не при .
Теперь посмотрим по какой причине возникла данная ошибочная ситуация и к чему приведет устранение этой ошибки.
Когда при выводе уравнения Клейна-Гордона, в выражение связи энергии и импульса СТО (1.1) подставляем выражение квадрата импульса через волновую функцию  то думаем, что получили релятивистский квадрат импульса. То есть думаем что  (вернее так думали Клейн и Гордон при выводе уравнения).
Но на самом деле, уравнение воспринимает выражение  (1.4) как обычный квадрат импульса  
Почему так? Оставим этот вопрос глубоким теоретикам. А нас интересует практическая сторона вопроса. То есть устранение ошибки в уравнении Клейна-Гордона.
Одним словом, релятивистский квадрат импульса не определяется выражением . И поэтому получаем ошибочное уравнение Клейна-Гордона.
Теперь, если переписать выражение (1.1) в развернутом виде  и сделать необходимые преобразования:  и подставить уже обычный квадрат импульса  на свое место. То получим:  (1.5). Переписав выражение (1.5) в удобной форме получим:  (1.6), что соответствует выражению (2.5) в статье “Новое уравнение релятивистской квантовой механики” [1].
Таким образом, при правильном понимании выражения для квадрата импульса (1.4), вместо ошибочного уравнения Клейна-Гордона, получаем правильное уравнение М2.
 (1.7)
Замечания по поводу уравнения Дирака приведем позже, при сравнении решений с решениями уравнения М2.

Радиальное уравнение М2 для атома водорода

В работе [2] достаточно подробно было приведено решение угловой части уравнения М2. Поэтому сразу перейдем к решению радиального уравнения. Для нас важно, что квантовое число  может принимать как целые так и полуцелые значения, включая значение  Обоснование есть в работах [2] и [4]. Особый случай  будем рассматривать отдельно.
Запишем радиальное уравнение М2 для водородоподобных ионов с зарядом ядра  :

 (2.1)
Далее будем применять атомную систему единиц Хартри. .
Перепишем уравнение (1.1) в атомных единицах Хартри:
 (2.2) 
Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/ 
Решение уравнения (2.2) представляет из себя сумму двух линейно независимых частей. Обобщенных полиномов Лагерра и вырожденной гипергеометрической функции второго рода.
Воспользуемся вторым линейно-независимым решением. Который имеет вид:

где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, константа интегрирования.  где  орбитальное квантовое число.
Как известно, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом со знаком минус .
Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния и возбужденных состояний водородоподобных ионов в следующем виде: 
(2.3)
Сначала найдем решения уравнения М2 для обычных водородных состояний. Решая уравнение (2.3) с параметрами  и  получим формулу энергий основного состояния водородоподобных ионов в атомных единицах Хартри в следующем виде:  (2.4) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электрон-вольтах. 
эВ (2.5) Полученная формула энергии основного состояния водородоподобного ряда, точно совпадает с соответствующей формулой Дирака. 
Определим энергии атома водорода для основного состояния и первого возбужденного состояния с орбитальным моментом .
Подставляя значения  в формулу (2.5) получим энергию основного состояния:
эВ
Решая уравнение (2.3) с параметрами  получим энергию первого возбужденного состояния: эВ.
На основании полученных энергий, построим графики нормированной радиальной плотности вероятности для основного состояния и первого возбужденного состояния Рис.1.
Из уравнения (2.3) можно получить достаточно компактную универсальную формулу для расчета энергий водородоподобного ряда, в основном и в возбужденных состояниях, для уравнения М2, при условий равенства радиального и орбитального квантовых чисел: .
 (2.6) 
Квантовое число  принимает значения из ряда  с шагом . Имеются некоторые различия в интерпретации квантовых чисел уравнения Дирака и уравнения М2. На этом подробно останавливаться в рамках данной работы не будем. При значении квантового числа  формула (2.6) переходит в формулу энергии основного состояния (2.4) как и следовало ожидать.
Будем пользоваться только положительными значениями энергий, хотя уравнение М2 дает симметричные решения. Решения по формуле (2.6) очень хорошо согласуются с экспериментальными значениями.

Рис.1. Нормированная радиальная плотность вероятности основного состояния и первого возбужденного состояния в атомных единицах Хартри. 

Экзотические, сильно локализованные, компактные состояния водорода

Построим график зависимости энергии от радиального квантового числа для сферически симметричных состояний с орбитальным моментом  согласно уравнению (2.3) Рис.2. На том же рисунке построим соответствующий график  уравнения Дирака для сравнения. На графике точка 1 соответствует основному состоянию . Точка 2 соответствует первому возбужденному состоянию. 
Как можно заметить, в области энергий выше основного состояния, то есть выше точки 1, решения уравнений Дирака и М2 точно совпадают. Это область обычных возбужденных состояний. Однако в области энергий ниже основного состояния, поведение уравнений в корне отличаются. В этой области уравнение М2 имеет характерный изгиб. В результате такого поведения образуется точка 3. Это точка пересечения графика энергии с линией . Точка 3 это потенциально возможное решение с высокой локализацией электрона у ядра и с высокой энергией связи. Как видим подобные решения у уравнения Дирака отсутствуют. Поэтому, как было сказано, в области энергий ниже основного состояния, к решениям уравнения Дирака приведенным в различных работах [5],[6],[7],[8], надо относиться с осторожностью.

 
Рис.2. График зависимости энергии от радиального квантового числа  при  для уравнений Дирака и М2.

Предположение о существовании компактных локализованных состояний атома водорода, полагает наличие высокой энергии связи. Энергия связи должна быть выше чем принятого основного состояния. А это в свою очередь предполагает смещение радиального или орбитального квантового числа в сторону отрицательных значений  или . Посмотрев на график зависимости энергии от квантового числа  Рис.2. можно понять, что таким значением является . Случай когда  особенный и будет рассмотрен отдельно. При этом единственно возможное отрицательное значение .
Определим энергию локализованного состояния 3 решая уравнение (2.3) с параметрами . Решение дает  (3.1) Подставляя в полученную формулу значение скорости света  и значение заряда ядра  получим энергию  в атомных единицах Хартри. Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона .Учитывая это определим энергию связи и преобразуем в электрон-вольты  эВ.
Построим график нормированной радиальной волновой функции для состояния 3. Рис. 3.

Рис.3. Нормированная радиальная волновая функция для состояния 3 при , ,эВ

Как видим волновая функция стремится к бесконечности при . Но такое поведение нельзя считать не физическим. Потому что, это следствие бесконечного роста в отрицательную сторону Кулоновского потенциала при  . В реальности же, потенциал отличается от чисто Кулоновского при  и является ограниченным снизу, так как ядро не является точечным а имеет размеры. 
Построим график нормированной радиальной плотности вероятности для состояния 3. Рис. 4.
Таким образом, мы показали возможность существования у атома водорода сильно локализованных, компактных состояний с высокой энергией связи. 

Рис.4. Нормированная радиальная плотность вероятности состояния 3 

Манипулируя значениями квантовых чисел  и  в допустимых пределах, можно получить семейство таких решений. Покажем это в виде семейства графиков Рис.5. А затем приведем таблицу соответствующих значений энергий и квантовых чисел.

Рис.5 Семейство графиков зависимости энергии от радиального квантового числа  при различных значениях квантового числа 

Энергии связи компактного атома водорода в зависимости от квантовых чисел эВ
ln	-1/2	-1	-3/2	-2	-5/2	-3	-7/2	-4	-9/2	-5
0	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
1/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
3/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
5/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
3	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
7/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
4	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
9/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

Компактный атом водорода и аннигиляционный пик

В различных природных явлениях, в излучении солнечной короны, в космических излучениях, при исследовании грозовых облаков, часто наблюдаются гамма фотоны с энергией  кэВ. Такое излучение обычно объясняется аннигиляцией электрон-позитронной пары. Но во многих случаях, объяснить наличие антивещества в наблюдаемой зоне, просто невозможно. 
Исследователь J.Va’vra [5] выдвигает гипотезу о том, что излучение  кэВ может быть следствием захвата электрона протоном на низкую орбиту, в процессе образования компактного атома водорода. 
Мы сейчас проверим эту гипотезу.
Излучение с энергией  означает, что вся энергия электрона излучена и следовательно в уравнении надо подставить значение энергии . Запишем уравнение М2 с энергией  (4.1) В работе [2] достаточно подробно было приведено решение угловой части уравнения М2. Поэтому сразу перейдем к решению радиального уравнения. Запишем радиальное уравнение М2 в атомных единицах Хартри с учетом , .
 (4.2) Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/
Решение имеет вид:
 (4.3)
То есть является суммой двух линейно независимых частей. Вырожденной гипергеометрической функции второго рода и обобщенных полиномов Лагерра.
Воспользуемся первым линейно независимым решением. 
 (4.4) 
Где вырожденная гипергеометрическая функция второго рода и  константа интегрирования.
Поскольку мы рассматриваем случай когда вся энергия электрона излучена, то естественно энергию состояния получим  в единицах Хартри. Преобразуем в электрон-вольты эВ. Теперь пришло время рассмотрения особого случая когда . Подставим это значение в уравнение (4.4) и определим константу интегрирования  из условия нормировки  (4.5).  Построим график нормированной радиальной волновой функции (4.4) при  Рис. 6.

Рис. 6 График радиальной волновой функции (4.4) при  эВ 

Построим график нормированной радиальной плотности вероятности при  Рис. 7.

Рис. 7 Радиальная плотность вероятности при  и эВ

Определим орбитальный радиус, то есть расстояние от начала координат до точки максимума плотности вероятности.  в атомных единицах. Умножив полученное значение на радиус Бора м получим м. 
Таким образом, путем решения уравнения М2, была доказана возможность существования, неизвестного до настоящего времени состояния, для атома водорода со следующими параметрами: Значение квантового числа . Значение энергии состояния эВ. Значение орбитального радиуса м. При образовании данного состояния выделяется энергиякэВ, что подтверждает гипотезу J.Va’vra [5] о происхождении аннигиляционного пика связанного с образованием компактного атома водорода.

Численное решение в цилиндрических координатах

Как и в предыдущий раз [2], при применении нестандартного значения квантового числа , желательно дополнительное подтверждение полученного аналитического решения. В предыдущей работе [2] этот вопрос подробно изложен. Поэтому сразу запишем уравнение М2 в цилиндрических координатах со значением энергии , и со значением квантового числа . Это означает, что энергия связи равна эВ. Для водорода .
 (5.1)

Для решения уравнения (5.1) будем пользоваться пакетом программ для численного решения систем дифференциальных уравнений FlexPDE http://www.pdesolutions.com/
В результате численного решения получены следующие значения параметров водорода в состоянии . Энергия связи эВ, орбитальный радиус м. 
Что достаточно хорошо согласуется с данными аналитического решения.
Численное решение показало:1. Уравнение для состояния водорода с энергией связи эВ имеет достаточно высокую сходимость. 
2. Беспокойства по поводу сингулярного поведения угловой части волновой функции беспочвенны.
3. Следовательно имеются достаточно оснований для целесообразности экспериментального поиска водорода в состоянии с эВ и м.Ниже приведем результаты решения в виде двумерных и трехмерных графиков радиальной плотности вероятности.

Рис.8 Двумерный график радиальной плотности вероятности

Рис.9 Трехмерный график радиальной плотности вероятности
 
Рис.10 Проекция трехмерной радиальной плотности вероятности

Результаты и обсуждения

Найдена и устранена ошибка в уравнении Клейна-Гордона. В результате, подтверждена правильность уравнения М2. Следовательно, тему о многолетних спорах о противоречии СТО и квантовой механики, можно считать исчерпанной.
Применение уравнения М2 к атому водорода, выявило дополнительные тонкости в поведении электрона. Было получено семейство сильно локализованных состояний с высокой энергией связи. Получены значения энергий в зависимости от квантовых чисел. Во многих работах [5],[6],[7],[8], приведены подобные решения уравнения Дирака. Однако, во втором разделе было показано, что уравнение Дирака не имеет подобного поведения. И без дополнительной манипуляции с Кулоновским потенциалом, подобных решений не получится.
Далее аналитическим и численным решением уравнения М2, была доказана гипотеза J.Va’vra [5] о происхождении аннигиляционного пика связанного с образованием компактного атома водорода. Были получены параметры этого состояния: энергия связи эВ и орбитальный радиус м.
Думаем представлено достаточно теоретических оснований, для организации экспериментального поиска описанных состояний атома водорода.