;

(1)

где

, ;

- матрицы размерности   соответственно;

.

Преобразуем систему (1) и приведем к виду

,

(2)

где
;

.
Матрица  и столбец  будут иметь блочную структуру

,

где  - единичная матрица.
С учетом высоких требований к вибрации конструктивных элементов от работы электропривода при синтезе целевая функция принимается в виде

,

где  и  - максимальные амплитуды и соответствующие им частоты в разложении в ряд Фурье ошибки системы:

;

 - коэффициенты Фурье.
Синтез производился по приводимому ниже алгоритму.1. По результатам эскизно-технического проекта выбираются структурная схема САУ и конструктивная схема (конструктивные подсистемы и параметры упругодемпфирующих связей между ними).
2. Составляются уравнения движения (математическая модель).
3. По предварительным конструктивным и динамическим проработкам
определяется область изменения параметров c .
4. По результатам линейного синтеза определяется исходная точка в пространстве параметров.
5. Методом Бокса-Уилсона определяются

, 

и точка , в которой , 
где .6. Если требуемая точность САУ не достигается, производится уточнение структурной схемы САУ при прежней конструктивной схеме и далее выполняются п.п. 2-5.
7. Если требуемая точность и тогда не достигается, то производится коррекция конструктивной схемы с использованием вибрационной карты конструкции, и выполняются п.п.2-6.Итерационная процедура продолжается до достижения требуемой точности.
Значения  определяются в результате интегрирования уравнений движения с параллельным разложением в ряд Фурье ошибки САУ в интервале ; промежуток времени , как и весь диапазон рассматриваемых частот, определяется из конструктивных соображений (для изучаемых систем  с, ).
Сначала в пространстве параметров решалась задача

,

(3)

где - реальные части корней  характеристического уравнения. 
Точка в пространстве параметров, полученная в результате решения задачи (3), принималась в качестве исходной. Далее методом Бокса-Уилсона [1] производилась оптимизация параметров линейной системы по критерию

,

где  - отобранные резонансные частоты колебаний системы и соответствующие им амплитуды. Отбор требует большой осторожности при близких парциальных частотах (сложность сопоставления конструктивных подсистем с имеющимися на виброкарте частотами) и в связи с наличием нелинейностей в работе конструктивных элементов [2…6].
Точка, оптимальная в смысле минимума , принималась за исходную точку при нелинейном синтезе. 
Эффективность предложенного подхода неоднократно подтвердилась при синтезе ряда систем управления объектами на подвижном основании.

Ручные машины ударного действия получили широкое применение в самых различных областях деятельности человека: в строительстве, в машино- и судостроении, в горном деле и др.
Преимущества ручных машин ударного действия: увеличение производительности в 5-10 раз по сравнению с работой вручную; повышение качества выполнения технологических операций; улучшений условий труда человека, производящего работы; экономичность.
Недостатки ручных машин ударного действия: большой вес; малая мощность; высокий уровень шума на рабочей площадке; дополнительное приложение усилий на рукоятку механизма; влияние вибраций на рабочего.
Анализ эксплуатации машин ударного действия показал, что они относятся к наиболее виброопасной технике. До 90 % машин, используемых в различных отраслях производства, являются небезопасными, вследствие чрезмерного воздействия вибраций. Статистика несчастных случаев за период с 2009 по 2013 год показала, что 70 % виброзаболеваний возникает в результате использования ручных машин ударного действия [3].
В связи с этим разрабатывается множество различных инженерных решений по повышению виброзащиты человека.
В основном проблема уменьшения вибрации решается путем применения различных схем соединения элементов инструмента. 
Например, принцип действия виброгасящей рукоятки (рис.1), содержащей виброгасящие элементы, которые выполнены в виде эластичных трубок с дросселями на концах, является следующим: в рукоятке вибрация гасится за счет реактивного сопротивления упругого материала трубок и воздуха в их полостях, а также за счет активного сопротивления полости при перекачивании воздуха между полостями трубок и атмосферой [4]. Переменная толщина эластичных трубок с наружной стороны не дает возможности им пережаться, помимо этого, внутри эластичных трубок расположены перегородки с дросселями, которые делят трубку на несколько камер, что создает равномерное распределение активного сопротивления, за счёт чего обеспечивается равномерная защита от вибраций по всей длине рукоятки.
Однако, недостатком такой рукоятки является недостаточная эффективность гашения вибрации, так как эластичные трубки ориентированы относительно корпуса инструмента.

С целью решения данной проблемы была изобретена рукоятка (рис. 2), виброгасящие элементы которой выполнены в виде шнуров, нити которых выполнены из различных материалов (резина, капрон, лен, шерсть, хлопок) и не ориентированы между собой и относительно ручки инструмента [5].

Рис. 1. Продольный разрез рукоятки с перегородками
1 – эластичная трубка, 2 –перегородка, 3 – дроссель, 4 – камера

Чаще всего стараются достичь независимости движения корпуса и рукоятки или скомпенсировать возникающие колебания с помощью использования различных демпфирующих и изолирующих устройств. 
Примером тому является алгоритм действия пневматического молотка (рис. 3) с пружиной, соединяющей рукоятку и подвижный корпус таков: по штуцеру в молоток поступает сжатый воздух, затем он через воздуховод подается в камеру сжатого воздуха. Оттуда через золотниковую коробку поступает в ствол, где поршень-ударник под действием сжатого воздуха двигаясь возвратно-поступательно, совершает удары по рабочему инструменту, прикрепленному к неподвижному корпусу, который соединен с рукояткой пружиной. Возникающая при этом вибрация подвижного корпуса передается на рукоятку через камеру сжатого воздуха, неподвижный корпус и пружину, которые поочередно присоединены к подвижному корпусу.

При возвратно-поступательном движении поршня-ударника подвижный корпус совершает движения в обратном направлении. Динамическое равновесие системы можно выразить уравнением:

,       (1)

где – масса корпуса;
– скорость массы корпуса;
– масса поршня-ударника;
– скорость поршня-ударника;
P – сила импульса;
t – время импульса.
Кинетическая энергия, передаваемая бойку-ударнику для нанесения удара по рабочему инструменту, создается за счет воздействия на него сжатого воздуха, поступающего из компрессора для пневматических машин [6], и передается в кинетическую энергию движения корпуса. 
Кинетическая энергия движения корпуса частично преобразуется в потенциальную энергию пружины, частично расходуется на преодоление сил внутреннего трения пружины, и лишь малая часть передается на рукоятку. Сжатие пружины происходит пропорционально ее жесткости. Но так как работа ручных машин может происходить при разных частотах, то и виброизолятор должен быть способен гасить вибрации в широком диапазоне частот. Для этого предлагается использовать виброизоляторы, обладающие непостоянной жесткостью. 
На основе принципиальной схемы устройства ручного пневматического отбойного молотка, рассмотренной выше, предложено следующее устройство отбойного молотка с резино-демпифирующим элементом (рис. 4). Принцип действия остаётся прежним, однако с целью уменьшения вибрации использован демпфирующий элемент. Для уменьшения высокочастотных вибраций используют мягкие покрытия, имеющие динамический модуль упругости порядка 10 Мпа, к ним относятся мягкие резины, пластмассы и различные мастики. В качестве данного демпфирующего элемента предложена резина, также возможно использование различных марок резины, что, в свою очередь, увеличит или уменьшит динамический модуль упругости. Для закрепления резино-демпфирующего элемента к рукоятке использован хомут.

С целью решения проблемы линейности упругих характеристик используются устройства виброизоляторов в виде конической винтовой пружины (рис. 5). Пружина препятствует передаче вибрации от корпуса на рукоятку [5]. Но такое устройство обладает недостаточными диссипативными свойствами, связанными с малым внутренним трением, возникающим при деформации.

Рис. 5. Пневматический молоток

Возможным путем увеличения диссипативных свойств системы может быть применение комбинированных устройств, части которых изготовлены из двух разных по упругим характеристикам элементов. Такие системы обладают как виброизоляционными, так и демпфирующими свойствами. Например, в патенте № 34112 предлагается пневматический инструмент ударного действия (рис. 6), между подвижным корпусом и рукояткой которого размещены пружина и упругий элемент, состоящий из двух частей: верхней, имеющей коническую форму и нижней, имеющей цилиндрическую форму, изготовленных из резины разных марок [8].

Рис. 6. Пневматический инструмент ударного действия
1 – подвижный ствол, 2 – рукоятка, 3 – амортизационная камера, 4, 5 – конические раструбы, 6 – пружина, 7 – упругий элемент, 8 – регулировочный конус, 9 – конус гайки, 10 – каналы.

Такая система обладает высокими демпфирующими, но низкими виброизолирующими свойствами. Это связано с тем, что цилиндрическая пружина, предложенная в данном устройстве, обладает постоянной жесткостью, что не обеспечивает виброизоляции в широком диапазоне частот. Это особенно проявляется при возникновении ударных нагрузок, поэтому решение данной проблемы актуально именно для машин ударного действия. 
Для того, чтобы исключить данные недостатки, рационально использовать виброизолятор такой конструкции, упругие характеристики которой будут обладать более высокими свойствами нелинейности.
С этой целью возможно применение виброизолятора (рис. 7), который выполнен из пружины в форме однополостного гиперболоида вращения. Особенность конструкции заключается в том, что по всей длине пружины к ней прикреплен демпфирующий элемент, поперечное сечение которого имеет форму ромба с большой диагональю перпендикулярной оси пружины (рис. 7), а также в уменьшающемся от центра к торцам шаге витков пружины [9].

Рис. 7. Продольный разрез пружинного виброизолятора и поперечный разрез витка пружинного виброизолятора

Механизм работы данного виброизолятора заключается в следующем: при приложении нагрузки вдоль оси пружины, пружина начинает сжиматься, нагрузка передается через внутренние стороны витков пружины. По мере того, как пружина сжимается, уменьшается фокусное расстояние и эксцентриситет гиперболоида, за счет чего постепенно увеличивается площадь контакта витков демпфирующего элемента и, соответственно, возрастают диссипативные силы, рассеивающие механическую энергию. То, что шаг витков пружины постепенно уменьшается, позволяет эффективно гасить колебания в большем диапазоне частот: в начальный момент колебания происходят на низких частотах, жёсткость виброизолятора уменьшается, за счет чего повышается эффективность гашения низкочастотных колебаний. С увеличением хода виброизолятора жёсткость пружины увеличивается, гасятся колебания, происходящие на высоких частотах. Также использование пружин с переменным шагом позволяет избежать резонансных явлений. 
Предположим, что F (x) – нелинейная характеристика упругого элемента, выражающая зависимость восстанавливающей силы от деформации х, отсчитываемой от положения статического равновесия (рис. 9). Диссипативная сила, как правило, пропорциональна скорости деформации [9].
Уравнение движения одномассовой системы запишется в следующей форме

       (2)

где  – масса объекта;
 – гармоническое воздействие.
Введя обозначения:

, ,       (3) 

приводим уравнение (2) к форме

       (4)

Решение уравнения (4) обычно оказывается близким к гармоническому процессу и может поэтому в первом приближении определяться в следующей форме

        (5)

где  – смещение середины размаха колебаний от положения статического равновесия;
– амплитуда колебаний;
– сдвиг по фазе между колебаниями и вынуждающей силой.
Связь между  и  получается из условия равенства нулю постоянной составляющей силы, которое может быть приведено к форме:

        (6)

Из уравнения (6) можно определить зависимость . Амплитуда колебаний выразится:

        (7) 

Решив уравнение (7) при различных значениях частоты , строится резонансная кривая системы . Одна из возможных форм резонансной кривой показана на рис. 11.

Рис. 10. Амплитудно-частотная характеристика с сопротивлением

Показателем эффективности виброизоляции является коэффициент передачи, который показывает какая доля динамической возмущающей силы передаётся через виброизолятор [10].

,        (8)

где  – амплитуда передаваемой динамической силы; 
 – амплитуда возмущающей силы.
Если пренебречь затуханием в виброизоляторах, коэффициент передачи, можно рассчитать по формуле

,        (9)

где  – частота возмущающей силы;
 – собственная частота колебаний системы.
При  коэффициент передачи стремится к бесконечности, а вибрация, возникающая на рукоятке, резко возрастает. Такое явление носит название резонанса. Для обеспечения надежной виброзащиты необходимо избегать резонансных частот. Виброизоляция начинает уменьшать передаваемую динамическую силу при отношении , то есть при . 
Для построения упругой характеристики (рис. 12) конической винтовой пружин используют следующие зависимости осевой упругой силы Р от x, которые установлены ГОСТ 16271-70 [11].
Продольная жесткость находится как производная осевой упругой силы

,        (10)

где  - смещение подвижного торца упругого элемента от положения равновесия, м. 

Цилиндрические пружины (рис. 11) имеют линейную характеристику. Для цилиндрической винтовой пружины растяжения-сжатия:

        (11)

Жесткость цилиндрической пружины постоянна и равна:

      (12)

где D – средний диаметр пружины, м;
d – диаметр пружинной проволоки, м;
i – число рабочих витков; 
G_т – модуль упругости при сдвиге, Н/м².

Для конической винтовой пружины (рис. 12) растяжения-сжатия с постоянным осевым шагом на линейном участке сжатия или растяжения:

        (13)

        (14)

где  QUOTE   – наименьший радиус рабочих витков пружины, м;
 – наибольший радиус рабочих витков пружины, м.
На нелинейном участке при сжатии:

         (15)

где  – осевая длина пружины в несжатом состоянии, м;

 – смещение при сжатии, соответствующее началу просадки витков (конец линейного участка), м.

        (16)

      (17)

Из графика видно, что цилиндрической пружине характерна линейность упругой характеристики. Такая пружина обладает постоянной жесткостью и не способна гасить вибрации в широком диапазоне частот. Коническая же пружина, так же как и пружина в форме однополосного гиперболоида вращения, обладает нелинейной характеристикой и ее жесткость, начиная с определенного момента, которому соответствует , начинает уменьшаться с увеличением частоты вибрации. Но силы внутреннего трения, возникающие в такой системе, значительно ниже, чем силы, возникающие в виброизоляторе, имеющем форму однополосного гиперболоида вращения и закрепленный по всей длине упругий демпфирующий элемент, поперечное сечение которого имеет форму ромба. Поэтому применение второго варианта конструкции более эффективно.

Нами рассмотрено три возможных вариант устройства вибрационной защиты с помощью пружин виброизоляторов: конической, цилиндрической и в виде однополосного гиперболоида вращения. Построены графики их упругих характеристик. На основе сравнения сделаны выводы о том, что наиболее эффективной конструкцией защиты оператора от механических вибраций является пружина в форме однополостного гиперболоида вращения с прикрепленным к ней по всей длине демпфирующим элементом, поперечное сечение которого имеет форму ромба с большой диагональю перпендикулярной оси пружины, а также с уменьшающимся от центра к торцам шагом витков пружины. Так как такое устройство обеспечивает эффективное гашение колебаний ручного инструмента в широком диапазоне частот внешнего возмущающего воздействия, за счет того, что обладает наиболее нелинейными упругими свойствами. На основе рассмотренных вариантов был предложен собственный вариант виброзащиты ручного пневматического отбойного молотка с применением резино-демпфирующего элемента.

В ООО «НПП ВартПро» разработан и создан датчик вибрации, который, имея самую низкую на рынке цену в расчете на измерительный канал, обладает возможностями на уровне самых дорогих специализированных комплексов вибрационной диагностики.
Датчик родился не на пустом месте — наша команда длительное (более 20 лет) время занималась разработкой стационарных комплексов виброзащиты и вибромониторинга для крупных промышленных роторных агрегатов (турбин, компрессоров, насосов), работающих в различных отраслях российского ТЭК. За это время мы достаточно хорошо изучили рынок как со стороны спроса, так и предложения. Постепенно росло убеждение, что потенциал рынка существенно превосходит его освоенный объем и на рынке имеются пустующие ниши. Проблема — в отсутствии подходящего продукта. Надеемся, что таким продуктом и является наш iVP3, описание которого считаем нужным предварить краткой характеристикой рынка, без которой понять продукт затруднительно.

2. Про рынок со стороны предложения

Трудно найти промышленное предприятие, на котором бы ничего не слышали про измерение вибрации. Энергетика, добыча, транспорт и переработка энергоносителей, металлургия и металлообработка, химическое производство — везде системы контроля вибрации находят свое применение.

На нижеследующем рисунке приведена упрощенная классификация основных типов применяемых систем в зависимости от четырех критериев:

• Применяется ли система для противоаварийной защиты.
• Является ли система стационарной или переносной
• Осуществляет ли система измерения в непрерывном или периодическом режиме
• Обладает ли система диагностическими возможностями

Если спуститься по дереву системы к конкретному ее листу, записывая номера узлов через точку, – получим сокращенное обозначение того или иного типа. Так, 1.1.1.1 — это «Система виброзащит стационарная непрерывного действия с функциями диагностики». Чем меньше сумма цифр в условном обозначении — тем система дороже (тем выше ее стоимость в расчете на один измерительный канал).

Самыми дорогими являются системы 1.1.1.Х. Ими оснащаются ответственные дорогостоящие агрегаты, отказ которых может привести к тяжелым последствиям. Как видно из диаграммы и следует из самого смысла их применения, такие системы всегда стационарные и непрерывного действия. В подавляющем большинстве случаев — это системы вида 1.1.1.1.

На другом конце ценового спектра находятся системы 2.2.2.2 — это дешевые переносные виброметры. Такие приборы применяются линейным персоналом для измерения общего уровня в процессе контрольных обходов оборудования.

Промежуточное положение с точки зрения цены занимают системы 2.1.2.Х — беспроводные измерительные системы с автономным питанием, и системы 2.1.1.Х — стационарные измерительные системы без функции защит.

3. Про рынок со стороны спроса

Принимая решение в пользу той или иной системы, менеджмент предприятия рассуждает приблизительно следующим образом:

•  Если оборудование ответственное (либо его оснащение предписано нормативными документами в сфере промышленного надзора) — его оснащают системами 1.1.1.X.
• Если оборудование дешевое и выход его из строя не ведет к сколь-нибудь ощутимым финансовым последствиям — его не контролируют вовсе либо осуществляют периодические замеры системами 2.2.2.Х
• В остальных случаях пытаются оценить целесообразность оснащения при помощи критерия оптимальность/применимость, звучащего так: «Если затраты на оснащение меньше, чем выгоды, даваемые им, то следует оснащать». При этом под затратами понимают не только цену покупки системы, но пытаются оценить стоимость всего ее жизненного цикла. Выгода также может быть различна. Так, системы класса 2.1.Х.2 позволяют предотвратить внезапный отказ и связанные с ним издержки, но не позволяют выявить корневую причину возможного отказа и имеют малый временной горизонт, исчисляемый сутками, что не позволяет, к примеру, оптимизировать ремонтную политику.

4. Про рыночные ниши

Разработанный нами продукт предполагается использовать для оснащения агрегатов, которые не нужно защищать по вибрации, но отказ которых может привести к ощутимым проблемам. В качестве примера приведем так называемые агрегаты собственных нужд тепловой электрической станции. Отказ таких агрегатов ведет к ограничению отпускаемой станцией мощности и связанным с этим потерям в виде упущенной выгоды от недовыработанной электроэнергии и штрафов, уплачиваемых системному оператору — регулирующей рынок электроэнергии организации.

Для предотвращения вышеописанных неприятностей у менеджмента есть следующие варианты:

• Выполнять периодические замеры с применением оборудования группы 2.2.2.1. силами квалифицированного персонала, умеющего применять оборудование этой группы и владеющего приемами диагностики. Применение такого подхода практически решает вышеуказанную задачу при условии, что замеры выполняются с требуемой периодичностью. Однако с этим имеется серьезная проблема — уменьшение численности линейного персонала и кадровый голод на этом рынке не позволяют выдержать требуемую периодичность измерений.
• Оснащать оборудование системами 2.1.X.1. Это практически не получило распространения в связи с тем, что цена подобных систем оказывается экономически неоправданной.

В итоге идут либо на периодические замеры системами 2.2.2.2 силами низкоквалифицированного линейного персонала, либо в относительно редких случаях оснащают системами 2.1.Х.2. Эти решения, будучи бюджетными, если и решают задачу, то только отчасти — заблаговременное диагностирование дефекта оказывается невозможным.

На основании вышеизложенного и возникла идея — нужно дать рынку продукт, который по своим ценовым параметрам был бы на уровне категории 2.1.Х.2, а по возможностям — на уровне 2.1.X.1.

5. Про продукт

Центральная идея iVP3— это «one size fits all», где «all» относится как к решаемой задаче, так и к потребителю продукта. Поясним эту идею:

• При помощи iVP3 можно решать практически любую задачу в области вибрационных измерений — от простого мониторинга общего уровня до продвинутых систем предиктивной аналитики. При этом даже в случае простейших систем измерения общего уровня решение будет самым бюджетным из возможных альтернатив. Цена за измерительный канал будет в диапазоне 20-30 тыс. рублей, что находится на уровне самых бюджетных решений, измеряющих общий уровень вибрации
• Системы на базе iVP3 можно строить по принципу «progressive enhancement», последовательно наращивая возможности по мере накопления опыта работы и появления дополнительных «хотелок». При этом расширение возможностей системы не будет требовать дополнительных инвестиций в аппаратное обеспечение — в датчике все необходимое поддержано в базовой комплектации.
• Датчик интересен и конечному пользователю, и интеграторам, строящим комплексные информационно-измерительные системы и заинтересованным в создании подсистем контроля технического состояния в их составе, и дистрибьюторам специализированных измерительных систем.
• Датчик идет с бесплатным набором кроссплатформенных программных продуктов, упрощающих интеграцию в измерительные системы заказчика. Это ModbusProxy сервер, OPC-UA сервер, локальный архив в базах данных MariaDB либо PostreSQL, GraphQL-точка доступа.

И в заключение — несколько слов про аппаратно-программную реализацию датчика. Датчик является «edge computing» изделием и обладает следующими характеристиками:

• Датчик оснащен высокопроизводительным сигнальным процессором BlackFin-518, работающим под управлением многопоточной операционной системы реального времени.
• Измерения выполняются при помощи трехканальной MEMS-микросхемы ADXL-357. Полоса пропускания по уровню — 3дБ — 1 кГц.
• Питание — PoE 802.3af 10/100 Mixed DC & Data (метод A).
• Датчик в реальном времени рассчитывает СКЗ, пиковые значения и размахи виброускорения, виброскорости и виброперемещения, выполняет спектральную обработку с извлечением из спкетра диагностических признаков дефектов оборудования
• Вся измерительная информация доступна по Modbus TCP/IP и/или Modbus UDP. Помимо этого, датчик оснащен встроенным WEB-сервером.
• Электроника заключена в герметичном корпусе IP-67, имеются два варианта исполнения — обычный и взрывозащищенный (вид взрывозащиты — 0ExibdIICT5).

6. Заключение

Надеемся, что рынок по достоинству оценит нашу разработку и она послужит делу повышения безопасности и рентабельности промышленных производств, эксплуатирующих роторное оборудование.