Определение проекций вектора нормали к профилю изделия при проектировании зуборезного обкатного инструмента для обработки эвольвентных зубчатых колес внутреннего зацепления

Кирютин Алексей Сергеевич — Tue, 20 Oct 2015 12:26:51 +0000

При решении задач проектирования зуборезного обкатного инструмента [1-2] предполагается, что его режущие кромки располагаются на некоторой инструментальной поверхности (ИИП), при этом ИИП и обрабатываемая поверхность изделия в точке контакта имеют общую касательную, а соответственно и общую нормаль. Тогда, если контакт двух сопряженных поверхностей непрерывен, в точках контакта нормальная составляющая скорости относительного движения поверхностей равна нулю. Аналитически это выражение записывается так [4-6]:

(1)

На основе уравнения (1) базируется кинематический метод определения уравнения поверхности, огибающей боковую поверхность зуба зубчатого колеса (ЗК).

Ранее, в работе [3], были определены проекции вектора относительной скорости V . В настоящей работе рассмотрим вывод зависимостей вектора нормали N к профилю ЗК. Для чего необходимо задать параметры зубчатой дели.

В общем случае, параметры зубчатого колеса внутреннего зацепления будем определять следующими параметрами:

R_y – радиус текущей точки;
δ_y – полярный угол относительно выбранного начального положения;
α_y – угол между радиус-вектором и касательной к профилю.

Значения δ_y и α_y имеют положительные значения профиля, как указано на рис.1. Для противоположной стороны профиля значения этих углов изменяются на противоположные.

Рисунок 1 – Параметры зубчатого колеса внутреннего зацепления

Тогда уравнение профиля зубчатого колеса в торцовой плоскости в подвижной системе детали O₁x₁y₁z₁, ось z₁ которой жестко связанна с осью ЗК, будет записана в виде системы уравнений (2).

(2)

Теперь перейдем от торцового профиля к определению винтовой поверхности. Образование эвольвентной винтовой поверхности схематически показано на рис. 2. Для определенности будем считать, что профиль располагается на правой винтовой поверхности. Введем координату l_y, определяющую расстояние от торцовой плоскости до рассматриваемой точки в направлении оси z₁.

(3)

Рисунок 2 – Образование эвольвентной винтовой поверхности зуба колеса

Дадим профилю винтовое движение относительно оси z₁ с параметром P₁. При этом, поворот профиля на некоторый угол φ_y обусловит перемещение вдоль оси z₁ на величину (4).

(4)

Тогда уравнение винтовой поверхности можно записать в виде:

(5)

Или с учетом формулы (4), из которой следует, что:

то:

(6)

Учитывая широкое распространение прямозубых колес, параметр P₁ удобно заменить на обратную ему величину:

(7)

где β₁ – угол наклона винтовой линии зубьев изделия.

Тогда при значении β₁ = 0 отпадает необходимость определения значения P₁ = ∞.

(8)

Определим координаты вектора нормали к боковой поверхности зубьев зубчатого колеса. Вектор нормали определяется по формуле (9).

(9)

cчитая винтовую поверхность векторной функцией криволинейных координат R_y и l_y:

(10)

(11)

Найдем входящие в определитель частные производные, учитывая что:

(12)

(13)

(14)

Отсюда следует:

(15)

Упростим уравнения, учитывая при этом, что:

(16)

Тогда получим:

(17)

Полученные расчетные зависимости для определения вектора нормали к профилю изделия необходимы для решения задачи профилирования обкаточного резца – определения кинематическим методом уравнения поверхности, огибающей боковую поверхность зуба ЗК.

Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » вектор нормали