.   (1)

Рис. 1. Гнутый элемент профиля

Однако теория Е.А. Попова не учитывает изменение толщины полосы, и определяемый ею радиус нейтральной поверхности зависит от исходной толщины заготовки и радиуса загиба. Поэтому фактически возникающее утонение, обусловленное перераспределением деформируемого металла гнутого элемента, будет приводить к «излишку» металла, вынуждая более тщательно подбирать ширину исходной заготовки.
Некорректным также является использование формулы (1) при определении ширины заготовки для различных технологических процессов изготовления гнутых деталей с определенными требованиями по геометрии, например, с регламентированным внутренним или наружным радиусом, что также может сказаться погрешностью определения длины нейтральной линии [8, 9].
Романовский В.П. в своей теории используя равенство площадей изогнутой полосы в растянутой и сжатой зонах, установил свои зависимости изменения этих зон. Однако у него уменьшение одной зоны (растянутой) компенсируется увеличением другой (сжатой). Таким образом, здесь также отсутствует изменение толщины полосы.
Е.А. Поповым и В.П. Романовским был освящен вопрос об утонении, но он рассматривался отдельно от основной теории.
Указанные недостатки вынудили искать другой подход к теории гибки, обеспечивающий более точное определение ширины исходной заготовки. В результате моделью угловой гибки было выбрано равенство тангенциальных деформаций, действующих в растянутой () и сжатой () зонах полосы [10]

.    (2)

При допущении плоского напряженного состояния (предполагается, что длина заготовки несоизмеримо больше ее ширины) и равенства радиальных () и тангенциальных () деформаций

,

а также принимая во внимание деформационное изменение радиусов

    (3)

определяем выражения для тангенциальных деформаций в различных слоях заготовки [11]

 и .                      (4)

значения радиальных деформаций

;     (5а)
.     (5б)

Совместное решение уравнений (4) и (3) в соответствии с равенством тангенциальных деформаций (2), определяет нейтральную поверхность

,     (6)

где  – относительное положение радиуса нейтральной поверхности  при изгибе.
Исследуем кинематические параметры гибки для отношения наружного и внутреннего радиусов . Методом итерации устанавливается , что проверяется равенством тангенциальных деформаций (2) и (6) [12]

;
.

Радиальные деформации (5)

;
.

Деформационное изменение радиусов (3)

Положение нейтральной поверхности отмечается выше средней линии

.

Кинематика очага деформации определяет равенство растянутых и сжатых слоев металла

;
.

В результате коэффициент утонения материала

.

При угловой гибке возможны три варианта контакта полосы с деформирующим инструментом: свободная гибка, и гибка по какому-либо фиксированному радиусу – наружному или внутреннему (рис. 2). Соответствующее выражение тангенциальной деформации (5) будет определяться отношением данного радиуса к нейтральной поверхности

 и .

Рис. 2. Схемы угловой гибки полосы:

а) свободная гибка; б) гибка с фиксированным верхним радиусом ; в) гибка с фиксированным внутренним радиусом 

Таким образом, в зависимости от конструктивного решения деформирующего инструмента, нейтральная поверхность может быть расположена как по средней линии, так выше или ниже ее (рис. 3). Утонение может изменяться от 17% до 25% (рис. 4) [13-15].

Рис. 3. Положение нейтральной поверхности гнутого элемента

Здесь следует заметить, что определяемый по формуле Хилла-Ренне (1) радиус нейтральной поверхности смещен в сторону сжатых слоев материала, т.е. в сторону внутреннего радиуса. В то время как по представленным зависимостям, он может находиться как выше, так и ниже срединной поверхности.

Рис. 4. Утонение листового материала при изгибе

Таким образом, пренебрежение технологией гибки и конструкцией рабочего инструмента может привести к существенным ошибкам при выборе заготовки и соответственно браку профиля, вызываемого неоднородностью накопленной деформации по толщине сжатых и растянутых слоев материала и отмечаемому в виде трещин и задиров на поверхности детали, причем в некоторых случаях они были настолько велики, что представляли отслоившиеся слои металла [16, 17].
Про прокатке-профилировании ошибочно определенная длина заготовки может привести к значительному увеличению ширины полосы, вызвать ее выпучивание нарушая происходящие деформационные процессы при формообразовании полосы в рабочих клетях [18-21].
Вывод. Использование модели равенства тангенциальных деформаций в сжатых и растянутых слоях материала, с учетом конструктивных особенностей деформирующего инструмента, позволило определить радиус нейтральной поверхности, протяженности растянутой и сжатой зон, что в совокупности обусловило утонение, а также деформационное изменение наружного и внутреннего радиусов вследствие утонения. Данная модель пластического изгиба позволила уточнить кинематические и геометрические параметры процессов гибки.