В работе проводится анализ аналитического решения стационарного уравнения Клейна-Гордона для атома водорода и водородоподобных ионов (изоэлектронный ряд водорода). На основании сравнения энергии связи водородоподобных ионов, полученных при аналитическом решении, с соответствующими экспериментальными значениями, делается вывод о том, что решения уравнения  Клейна-Гордона все более значительно отклоняются от экспериментальных значений при увеличении заряда ядра Z.

Предлагается новое релятивистское уравнение более адекватно описывающее атом водорода и изоэлектронный ряд водорода.

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - http://r-lib.snauka.ru/2013/12/1118

1. Анализ решений уравнения Клейна-Гордона

Приведем кратко вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона.

Используя выражения релятивистской энергии (1.1) и релятивистского импульса (1.2)

  (1.1) ,          (1.2)

Получается соотношение связи энергии и импульса :      (1.3)

Откуда   (1.4)

В стационарном потенциальном поле  выражение (1.4) принимает вид :    (1.5)    откуда    (1.6)

Подставляя в (1.6) выражение для квадрата импульса   (1.7) приходим к стационарному уравнению Клейна-Гордона:    (1.8)

В центральном поле ядра атома водорода потенциальная энергия электрона зависит только от одной координаты, расстояния от центра.     (1.9)

Оператор Лапласа в сферических координатах выглядит следующим образом:     (1.10)

Волновую функцию  представим в виде  (1.11)  Подставляя  (1.9), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.8) с учетом   получим радиальное уравнение Клейна-Гордона в системе СИ.   (1.12)

В рамках данной работы будем рассматривать сферически симметричные состояния с нулевым орбитальным моментом . С учетом сказанного уравнение (1.12) примет вид  (1.13)

Далее будем использовать систему атомных единиц Хартри. В этой системе приняты следующие единицы:

За единицу длины принято среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода (радиус Бора) м.

За единицу массы принята масса покоя электрона кг.

За единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона Кл.

За единицу действия принята постоянная Планка Дж*с.

За единицу энергии принята удвоенная энергия основного состояния электрона в атоме водорода, называемая Хартри. 1 Хартри=Дж=27.21138386эВ.

За единицу скорости принята скорость электрона на внутренней орбите боровской модели атома водорода.

Скорость света в атомных единицах Хартри равна .

Все сказанное можно записать следующим образом: 

Запишем радиальное уравнение Клейна-Гордона (1.13) в атомных единицах Хартри  () (1.14)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha   http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

 (1.15)  где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода,  константа интегрирования.

Как известно, из аналогичных решений уравнения Шредингера, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом . И для основного состояния радиальное квантовое число принимается равным нулю . Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов в следующем виде:

                                        (1.16)

Решая уравнение (1.16) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:  (1.17) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах. эВ  (1.18)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии полученных аналитическим решением (формула (1.18)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.1 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения Клейна-Гордона.

Как видно из диаграммы, полученные при решении уравнения Клейна-Гордона значения энергии, плохо согласуется с экспериментальными значениями по мере увеличения заряда ядра . Эти значения даже хуже чем соответствующие решения нерелятивистского стационарного уравнения Шредингера  . То есть при приближении к релятивистским скоростям отклонения увеличиваются . Хотя логично было бы ожидать обратное.

                            2. Вывод нового релятивистского уравнения

Сделаем предположение, что в атоме водорода имеют место следующие соотношения энергии и импульса:

  (2.1)     (2.2)

Формулу энергии (2.1) преобразуем следующим образом:   (2.3)

Подставим квадрат импульса в формулу энергии (2.3)    (2.4)  возведя в квадрат и перегруппировав, получим новое соотношение энергии и импульса в виде:   (2.5)  Действуя по аналогии с уравнением Клейна-Гордона получим следующее уравнение:  

                                        (2.6)

Условно назовем полученное уравнение .

Дальнейшее преобразование дает радиальное уравнение для сферически симметричных состояний с  нулевым орбитальным моментом  в виде:

                                          (2.7)  

Перепишем уравнение (2.7) в атомных единицах Хартри

                                             (2.8)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha   http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

  (2.9)  где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода,  константа интегрирования.

 Для нахождения формулы энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, приравниваем к нулю первый параметр гипергеометрической функции:         (2.10)

Решая уравнение (2.10) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:

  (2.11)  Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах.

  эВ  (2.12)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии, полученных аналитическим решением (формула (2.12)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.2 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения М2.

Как видно из диаграммы полученные при решении уравнения М2 значения энергии хорошо согласуется с экспериментальными значениями.

Отметим, что в рамках данной работы не анализируются причины такого поведения электрона в атоме водорода и в водородоподобных ионах. Возможно этой проблеме будет посвящена отдельная статья.

При изучении атома водорода, с целью выявления всех тонкостей поведения электрона, одним из главных условий является применение правильных, адекватных уравнений. До последнего времени, для этого применялись уравнения Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака. Уравнение Шредингера анализировать не будем, так как оно не релятивистское и поэтому не может претендовать на полное и точное описание в диапазоне высоких энергий и скоростей.
Далее будет показано, что и уравнение Клейна-Гордона тоже неприемлемо, по причине допущенной, глубоко замаскированной ошибки, при выводе этого уравнения.
Поскольку, в связи с поставленной целью, мы будем анализировать поведение электрона в состояниях с энергией ниже основного состояния, то будет показано, что в этой области к результатам решений уравнения Дирака тоже нужно относиться с неким подозрением.
В итоге, единственным приемлемым уравнением остается уравнение М2 [1].

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - https://portalnp.snauka.ru/wp-content/uploads/2016/06/ExoticHatom2.pdf

Анализ уравнений квантовой механики 

В работе [1] приведен краткий вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона (УКГ). Ключевой особенностью уравнения Клейна-Гордона является то обстоятельство, что оно отражает, в форме дифференциального уравнения, соотношение энергии и импульса Специальной Теории Относительности (СТО)  (1.1) 
Далее в работе [1] приводится аналитическое решение УКГ для изоэлектронного ряда водорода в основном состоянии. В результате решения получена формула для энергии основного состояния в следующем виде:

 эВ (1.2) Сравнительный анализ полученных решений с экспериментальными данными показал, что по мере увеличения заряда ядра  отклонения сильно увеличиваются. Посмотрев на формулу (1.2) можно заметить, что под квадратным корнем находится выражение:  Следовательно можно записать  откуда следует неравенство (1.3) где  заряд ядра водородоподобного иона,  скорость света в атомных единицах Хартри. Следовательно из неравенства (1.3) получим . А это означает, что при превышении заряда ядра  решения УКГ срываются и под квадратным корнем получается отрицательное значение. 
Приведенный расчет доказывает ошибочность уравнения Клейна-Гордона, так как такая ситуация должна была случиться при  а не при .
Теперь посмотрим по какой причине возникла данная ошибочная ситуация и к чему приведет устранение этой ошибки.
Когда при выводе уравнения Клейна-Гордона, в выражение связи энергии и импульса СТО (1.1) подставляем выражение квадрата импульса через волновую функцию  то думаем, что получили релятивистский квадрат импульса. То есть думаем что  (вернее так думали Клейн и Гордон при выводе уравнения).
Но на самом деле, уравнение воспринимает выражение  (1.4) как обычный квадрат импульса  
Почему так? Оставим этот вопрос глубоким теоретикам. А нас интересует практическая сторона вопроса. То есть устранение ошибки в уравнении Клейна-Гордона.
Одним словом, релятивистский квадрат импульса не определяется выражением . И поэтому получаем ошибочное уравнение Клейна-Гордона.
Теперь, если переписать выражение (1.1) в развернутом виде  и сделать необходимые преобразования:  и подставить уже обычный квадрат импульса  на свое место. То получим:  (1.5). Переписав выражение (1.5) в удобной форме получим:  (1.6), что соответствует выражению (2.5) в статье “Новое уравнение релятивистской квантовой механики” [1].
Таким образом, при правильном понимании выражения для квадрата импульса (1.4), вместо ошибочного уравнения Клейна-Гордона, получаем правильное уравнение М2.
 (1.7)
Замечания по поводу уравнения Дирака приведем позже, при сравнении решений с решениями уравнения М2.

Радиальное уравнение М2 для атома водорода

В работе [2] достаточно подробно было приведено решение угловой части уравнения М2. Поэтому сразу перейдем к решению радиального уравнения. Для нас важно, что квантовое число  может принимать как целые так и полуцелые значения, включая значение  Обоснование есть в работах [2] и [4]. Особый случай  будем рассматривать отдельно.
Запишем радиальное уравнение М2 для водородоподобных ионов с зарядом ядра  :

 (2.1)
Далее будем применять атомную систему единиц Хартри. .
Перепишем уравнение (1.1) в атомных единицах Хартри:
 (2.2) 
Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/ 
Решение уравнения (2.2) представляет из себя сумму двух линейно независимых частей. Обобщенных полиномов Лагерра и вырожденной гипергеометрической функции второго рода.
Воспользуемся вторым линейно-независимым решением. Который имеет вид:

где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, константа интегрирования.  где  орбитальное квантовое число.
Как известно, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом со знаком минус .
Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния и возбужденных состояний водородоподобных ионов в следующем виде: 
(2.3)
Сначала найдем решения уравнения М2 для обычных водородных состояний. Решая уравнение (2.3) с параметрами  и  получим формулу энергий основного состояния водородоподобных ионов в атомных единицах Хартри в следующем виде:  (2.4) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электрон-вольтах. 
эВ (2.5) Полученная формула энергии основного состояния водородоподобного ряда, точно совпадает с соответствующей формулой Дирака. 
Определим энергии атома водорода для основного состояния и первого возбужденного состояния с орбитальным моментом .
Подставляя значения  в формулу (2.5) получим энергию основного состояния:
эВ
Решая уравнение (2.3) с параметрами  получим энергию первого возбужденного состояния: эВ.
На основании полученных энергий, построим графики нормированной радиальной плотности вероятности для основного состояния и первого возбужденного состояния Рис.1.
Из уравнения (2.3) можно получить достаточно компактную универсальную формулу для расчета энергий водородоподобного ряда, в основном и в возбужденных состояниях, для уравнения М2, при условий равенства радиального и орбитального квантовых чисел: .
 (2.6) 
Квантовое число  принимает значения из ряда  с шагом . Имеются некоторые различия в интерпретации квантовых чисел уравнения Дирака и уравнения М2. На этом подробно останавливаться в рамках данной работы не будем. При значении квантового числа  формула (2.6) переходит в формулу энергии основного состояния (2.4) как и следовало ожидать.
Будем пользоваться только положительными значениями энергий, хотя уравнение М2 дает симметричные решения. Решения по формуле (2.6) очень хорошо согласуются с экспериментальными значениями.

Рис.1. Нормированная радиальная плотность вероятности основного состояния и первого возбужденного состояния в атомных единицах Хартри. 

Экзотические, сильно локализованные, компактные состояния водорода

Построим график зависимости энергии от радиального квантового числа для сферически симметричных состояний с орбитальным моментом  согласно уравнению (2.3) Рис.2. На том же рисунке построим соответствующий график  уравнения Дирака для сравнения. На графике точка 1 соответствует основному состоянию . Точка 2 соответствует первому возбужденному состоянию. 
Как можно заметить, в области энергий выше основного состояния, то есть выше точки 1, решения уравнений Дирака и М2 точно совпадают. Это область обычных возбужденных состояний. Однако в области энергий ниже основного состояния, поведение уравнений в корне отличаются. В этой области уравнение М2 имеет характерный изгиб. В результате такого поведения образуется точка 3. Это точка пересечения графика энергии с линией . Точка 3 это потенциально возможное решение с высокой локализацией электрона у ядра и с высокой энергией связи. Как видим подобные решения у уравнения Дирака отсутствуют. Поэтому, как было сказано, в области энергий ниже основного состояния, к решениям уравнения Дирака приведенным в различных работах [5],[6],[7],[8], надо относиться с осторожностью.

 
Рис.2. График зависимости энергии от радиального квантового числа  при  для уравнений Дирака и М2.

Предположение о существовании компактных локализованных состояний атома водорода, полагает наличие высокой энергии связи. Энергия связи должна быть выше чем принятого основного состояния. А это в свою очередь предполагает смещение радиального или орбитального квантового числа в сторону отрицательных значений  или . Посмотрев на график зависимости энергии от квантового числа  Рис.2. можно понять, что таким значением является . Случай когда  особенный и будет рассмотрен отдельно. При этом единственно возможное отрицательное значение .
Определим энергию локализованного состояния 3 решая уравнение (2.3) с параметрами . Решение дает  (3.1) Подставляя в полученную формулу значение скорости света  и значение заряда ядра  получим энергию  в атомных единицах Хартри. Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона .Учитывая это определим энергию связи и преобразуем в электрон-вольты  эВ.
Построим график нормированной радиальной волновой функции для состояния 3. Рис. 3.

Рис.3. Нормированная радиальная волновая функция для состояния 3 при , ,эВ

Как видим волновая функция стремится к бесконечности при . Но такое поведение нельзя считать не физическим. Потому что, это следствие бесконечного роста в отрицательную сторону Кулоновского потенциала при  . В реальности же, потенциал отличается от чисто Кулоновского при  и является ограниченным снизу, так как ядро не является точечным а имеет размеры. 
Построим график нормированной радиальной плотности вероятности для состояния 3. Рис. 4.
Таким образом, мы показали возможность существования у атома водорода сильно локализованных, компактных состояний с высокой энергией связи. 

Рис.4. Нормированная радиальная плотность вероятности состояния 3 

Манипулируя значениями квантовых чисел  и  в допустимых пределах, можно получить семейство таких решений. Покажем это в виде семейства графиков Рис.5. А затем приведем таблицу соответствующих значений энергий и квантовых чисел.

Рис.5 Семейство графиков зависимости энергии от радиального квантового числа  при различных значениях квантового числа 

Энергии связи компактного атома водорода в зависимости от квантовых чисел эВ
ln	-1/2	-1	-3/2	-2	-5/2	-3	-7/2	-4	-9/2	-5
0	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
1/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
3/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
5/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
3	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
7/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
4	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
9/2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

Компактный атом водорода и аннигиляционный пик

В различных природных явлениях, в излучении солнечной короны, в космических излучениях, при исследовании грозовых облаков, часто наблюдаются гамма фотоны с энергией  кэВ. Такое излучение обычно объясняется аннигиляцией электрон-позитронной пары. Но во многих случаях, объяснить наличие антивещества в наблюдаемой зоне, просто невозможно. 
Исследователь J.Va’vra [5] выдвигает гипотезу о том, что излучение  кэВ может быть следствием захвата электрона протоном на низкую орбиту, в процессе образования компактного атома водорода. 
Мы сейчас проверим эту гипотезу.
Излучение с энергией  означает, что вся энергия электрона излучена и следовательно в уравнении надо подставить значение энергии . Запишем уравнение М2 с энергией  (4.1) В работе [2] достаточно подробно было приведено решение угловой части уравнения М2. Поэтому сразу перейдем к решению радиального уравнения. Запишем радиальное уравнение М2 в атомных единицах Хартри с учетом , .
 (4.2) Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/
Решение имеет вид:
 (4.3)
То есть является суммой двух линейно независимых частей. Вырожденной гипергеометрической функции второго рода и обобщенных полиномов Лагерра.
Воспользуемся первым линейно независимым решением. 
 (4.4) 
Где вырожденная гипергеометрическая функция второго рода и  константа интегрирования.
Поскольку мы рассматриваем случай когда вся энергия электрона излучена, то естественно энергию состояния получим  в единицах Хартри. Преобразуем в электрон-вольты эВ. Теперь пришло время рассмотрения особого случая когда . Подставим это значение в уравнение (4.4) и определим константу интегрирования  из условия нормировки  (4.5).  Построим график нормированной радиальной волновой функции (4.4) при  Рис. 6.

Рис. 6 График радиальной волновой функции (4.4) при  эВ 

Построим график нормированной радиальной плотности вероятности при  Рис. 7.

Рис. 7 Радиальная плотность вероятности при  и эВ

Определим орбитальный радиус, то есть расстояние от начала координат до точки максимума плотности вероятности.  в атомных единицах. Умножив полученное значение на радиус Бора м получим м. 
Таким образом, путем решения уравнения М2, была доказана возможность существования, неизвестного до настоящего времени состояния, для атома водорода со следующими параметрами: Значение квантового числа . Значение энергии состояния эВ. Значение орбитального радиуса м. При образовании данного состояния выделяется энергиякэВ, что подтверждает гипотезу J.Va’vra [5] о происхождении аннигиляционного пика связанного с образованием компактного атома водорода.

Численное решение в цилиндрических координатах

Как и в предыдущий раз [2], при применении нестандартного значения квантового числа , желательно дополнительное подтверждение полученного аналитического решения. В предыдущей работе [2] этот вопрос подробно изложен. Поэтому сразу запишем уравнение М2 в цилиндрических координатах со значением энергии , и со значением квантового числа . Это означает, что энергия связи равна эВ. Для водорода .
 (5.1)

Для решения уравнения (5.1) будем пользоваться пакетом программ для численного решения систем дифференциальных уравнений FlexPDE http://www.pdesolutions.com/
В результате численного решения получены следующие значения параметров водорода в состоянии . Энергия связи эВ, орбитальный радиус м. 
Что достаточно хорошо согласуется с данными аналитического решения.
Численное решение показало:1. Уравнение для состояния водорода с энергией связи эВ имеет достаточно высокую сходимость. 
2. Беспокойства по поводу сингулярного поведения угловой части волновой функции беспочвенны.
3. Следовательно имеются достаточно оснований для целесообразности экспериментального поиска водорода в состоянии с эВ и м.Ниже приведем результаты решения в виде двумерных и трехмерных графиков радиальной плотности вероятности.

Рис.8 Двумерный график радиальной плотности вероятности

Рис.9 Трехмерный график радиальной плотности вероятности
 
Рис.10 Проекция трехмерной радиальной плотности вероятности

Результаты и обсуждения

Найдена и устранена ошибка в уравнении Клейна-Гордона. В результате, подтверждена правильность уравнения М2. Следовательно, тему о многолетних спорах о противоречии СТО и квантовой механики, можно считать исчерпанной.
Применение уравнения М2 к атому водорода, выявило дополнительные тонкости в поведении электрона. Было получено семейство сильно локализованных состояний с высокой энергией связи. Получены значения энергий в зависимости от квантовых чисел. Во многих работах [5],[6],[7],[8], приведены подобные решения уравнения Дирака. Однако, во втором разделе было показано, что уравнение Дирака не имеет подобного поведения. И без дополнительной манипуляции с Кулоновским потенциалом, подобных решений не получится.
Далее аналитическим и численным решением уравнения М2, была доказана гипотеза J.Va’vra [5] о происхождении аннигиляционного пика связанного с образованием компактного атома водорода. Были получены параметры этого состояния: энергия связи эВ и орбитальный радиус м.
Думаем представлено достаточно теоретических оснований, для организации экспериментального поиска описанных состояний атома водорода.