, m=1…, (1)
где  - полное число обслуживаемых МТС целевых орбит ПН. 
Допустимые значения удельной стоимости транспортировки  назначаются разработчиком (заказчиком) МТС, но, очевидно, не должны превосходить удельных стоимостей транспортировки ПН традиционными средствами (различные РН с одноразовыми РБ). С учётом того, что МТС на основе МБ с ЭРДУ представляет собой перспективную систему на базе принципиально новых технических решений (т.е. относится к числу венчурных технологий), величина должна быть существенно ниже, чем для имеющихся средств. Поскольку величины  могут быть случайными, то рассмотренное выше ограничение априори рассматривается как стохастическое неравенство. 
Для расчёта вероятности выполнения неравенств типа (1) требуется математическая модель материальных затрат, связывающая затраты на создание, развёртывание и эксплуатацию МТС с проектными параметрами ЭДК и характеристиками условий его применения и функционирования. Поскольку цель разработки математической модели – сравнение удельной стоимости транспортировки ПН на целевые орбиты (например, геостационарной – ГСО) посредством существующих и перспективных средств, то целесообразно оперировать «приведёнными» затратами, т.е. представлять их в ценах определённого года.Разработка моделей и методов экономических исследований перспектив развития космических средств освещена в литературе [14]. Выполнялись также оценки экономической эффективности МБ с ЭРДУ различного назначения [4,11,15]. Однако предложенная в данной работе модель отличается рядом существенных особенностей, и прежде всего – учётом стохастического характера некоторых составляющих затрат на создание, развёртывание и эксплуатацию МТС. Кроме того, в отличие от предложенных ранее для МБ с ЯЭРДУ моделей [11], она позволяет учесть: 
- издержки, связанные с относительно большим временем транспортировки ПН на рабочие орбиты;
- многоцелевой характер МБ (выведение ПН на различные орбиты);
- возможность доставки ГК с ПН на низкую околоземную орбиту различными РН в зависимости от конкретной массы МПН грузового контейнера. 
Удельная стоимость доставки ПН на m-ю орбиту рассчитывается по формуле:

(2)

где  – суммарная масса ПН, доставляемая буксирами МТС на m-ю орбиту за рассматриваемый промежуток времени;  – полные затраты на создание, развёртывание и эксплуатацию МТС, относящиеся к доставке ПН на m-ю орбиту. 
Могут рассматриваться различные промежутки времени, за которые определяются  и . Естественно было бы рассматривать промежуток времени, равный ресурсу МБ –. Однако ресурс МБ, определяемый ресурсом ЭУ, составит только 5 – 15 лет, а космические транспортные системы, как правило, эксплуатируются по 20 – 30 лет и более. Принимается, что МТС также эксплуатируется длительное время (порядка 20 лет) – с периодической заменой исчерпавших ресурс буксиров. Это обстоятельство имеет большое значение, поскольку, во-первых, позволяет «распределить» затраты на разработку МБ на большее число рейсов и снизить стоимость изготовления буксиров за счёт увеличения их числа в серии, а во-вторых, позволяет пренебречь случайным характером некоторых факторов, влияющих на величины  и  в силу усреднения. Так, в общем случае, суммарная масса ПН, доставляемая на m-ю орбиту, определяется суммой:

, (3)

где  – суммарное количество рейсов на m-ю орбиту за,  – масса модуля ПН в одном рейсе. Символ «^» обозначает случайную величину. 
Таким образом,  и  – случайные величины [6,13]. Тем не менее, параметры , , за могут быть представлены как суммы большого числа случайных величин  и рейсов отдельных буксиров за год. Соответственно, они будут распределены по законам близким к нормальному, причём с относительно малой (по сравнению с математическим ожиданием) дисперсией. Тогда, учитывая, что полные затраты на обеспечение отдельных рейсов МБ в составе  также будут пропорциональны количеству рейсов, при расчёте удельных стоимостей транспортировки с большой степенью точности можно принять  детерминированными, причём справедливо соотношение: 

. (4)

Вопрос о поиске законов и параметров распределения масс модулей МПН и числа рейсов буксиров был рассмотрен, в частности, в работе [13]. 
Величина затрат  для фиксированного значения сухой массы буксира  может быть найдена по формуле: 

 (5)

где  – затраты на разработку и лётно-конструкторские испытания (ЛКИ) МБ и ГК;  – полное количество штатных МБ за время , стоимость изготовления буксира, стоимость его запуска на опорную орбиту, эксплуатационные затраты на подготовку всех буксиров на технической и стартовой позиции и управление в полёте, а также стоимость всех сменных комплектов ЭРДУ, соответственно; – усреднённая стоимость запуска РН для выведения ГК при рейсах на m-ю целевую орбиту (при отличающихся массах ГК могут использоваться разные типы РН в различных рейсах), стоимость разгонного блока (например, типа «Фрегат») для доставки ГК на опорную орбиту, стоимость изготовления ГК;  – удельная стоимость рабочего тела ЭРДУ ($/кг), затраты рабочего тела ЭРДУ на рейс, эксплуатационные затраты связанные с подготовкой к запуску и управление полётом всех ГК, «штраф» за длительное время доставки ПН на целевую орбиту, по сравнению с традиционными СМТ;  - коэффициент, учитывающий долю затрат на рейсы на m-ю орбиту в общих затратах на создание и эксплуатацию МТС. 
В (5) уже учтено, что при большом времени затраты непосредственно на организацию рейсов буксиров (подготовку и запуски ГК и т.п.) можно принять детерминированными и усредёнными, пренебрегая случайностью числа рейсов. Считается, что ГК унифицированы под рейсы на все орбиты и имеют одинаковый состав бортовых систем и проектную ёмкость СХП. От рейса к рейсу может изменяться масса конструкции конкретного МПН (в силу различия масс и габаритов ПН), а также будет различной масса заправки топливом РБ типа «Фрегат». Однако этими различиями на данном этапе исследований можно пренебречь из-за малого вклада в затраты. 
МБ и ГК являются КА нового типа. В этой связи должны быть учтены затраты на их разработку (см. ниже), при этом возможны различные допущения, ведущие к значительным отличиям конечной оценки величины указанных затрат. Принимается, что затраты на доработку РБ типа «Фрегат» под задачи доставки ГК на опорную орбиту МБ учтены в стоимости разработки ГК. 
Коэффициенты  могут быть выражены через долю времени, которую в среднем составляют рейсы на m-ю орбиту в полном времени эксплуатации МТСследующим образом: 
, (6)
где  – продолжительность рейса МБ на m-ю орбиту, вычисляемая для заданного .
«Штраф» за время доставки ПН на m-ю орбиту может быть оценен через потерю части времени активного существования ПН на основе соотношения: 

, (7)

где  – средняя удельная стоимость КА, являющихся ПН буксира при вылетах на m-ю орбиту ($/кг), определяемая, на основе данных о стоимости и массах КА; – средний ресурс соответствующих КА;  – математическое ожидание времени прямого перелёта МБ на данную орбиту при заданном . 
Стоимость развёртывания МБ определяется суммой: , где  – стоимость запуска РН, используемой для выведения на низкую орбиту МБ. 
Если доставка на низкую опорную орбиту ГК с РБ при организации рейсов на m-ю орбиту может осуществляться посредством нескольких типов РН в зависимости от массы конкретного ГК, то усреднённая стоимость РН при запуске ГК: 

, (8)
где  – количество используемых типов РН,  – стоимость запуска РН j-го типа, – вероятность использования РН j-го типа при организации рейсов на m-ю целевую орбиту. 
Величины определяются, исходя из грузоподъемности и габаритов зон ПН указанных РН, на основании полученного закона распределения  и оценок габаритов МПН. 
Эксплуатационные расходы , связанные с подготовкой МБ на технической и стартовой позиции, а также управлением его полётом, могут быть приближённо учтены с использованием коэффициента эксплуатационных расходов через затраты на создание и развёртывание всех МБ следующим образом: 

, (9)

где коэффициент  выбирается, исходя из оценок эксплуатационных затрат (либо опыта эксплуатации) аналогов и прототипов. 
Аналогично для ГК получается следующее выражение:

(10)

Наиболее важной является оценка стоимости разработки и изготовления МБ и ГК, которая может быть выполнена на основе метода удельных показателей [14], с привлечением данных об аналогах и прототипах. 
Стоимость изготовления опытного образца МБ можно рассчитать по формуле: 

, (11)

где  - удельная стоимость изготовления опытного образца МБ ($/кг), К_в – коэффициент, учитывающий увеличение средней удельной стоимости КА за счёт возрастания конструктивно-технологической сложности, применения новых материалов и комплектующих систем;  - коэффициент, учитывающий уменьшение трудоёмкости изготовления КА за счёт преемственности конструктивно-технологических решений от аппарата-аналога и степень использования технологической оснастки.
Коэффициенты К_в и  отличны от единицы, если КА не является абсолютно новым изделием и создаётся на базе других КА, а  принимается на основе сведений о стоимости их изготовления. В случае с принципиально новым изделием можно принять, что К_в˜1. 
Стоимость изготовления серийного МБ, как и любого КА, может быть найдена по формуле [14]: 

(12)

где N – порядковый номер изделия в серии (без учёта опытного производства), а D_изг и – среднестатистические коэффициенты. Для количества изделий в серии 10 – 20 штук можно принять D_из㠘 0,7…0,8, а = – 0,2. При известном числе МБ  (если полагать, что они создаются только для рассматриваемой МТС) усреднённая стоимость изготовления буксира определяется как: 

(13)

Стоимость ЛКИ буксира можно представить в виде:
. (14)

Стоимость проведения ОКР (разработки) буксира [14] рассчитывается на основе выражения:

, (15)

где - коэффициент, учитывающий увеличение стоимости ОКР за счёт повышения конструктивно-технологической сложности КА, применения более эффективных материалов и комплектующих изделий, ужесточения требований к наземной отработке; К_н - коэффициент новизны, учитывающий снижение затрат за счёт преемственности конструктивных элементов и бортовых систем КА аппарата-аналога;  - удельная стоимость разработки ($/кг). 
Удельную стоимость разработки буксира можно связать с удельной стоимостью изготовления опытного образца МБ следующим образом: 

 (16)

где коэффициент  принимается на основании сведений об аналогах и прототипах. Коэффициент  для различных КА может иметь значение от 5 до 20 и более (в зависимости от типа и степени новизны КА).
Соотношения (11) – (16) позволяют предложить подход к оценке стоимости создания и изготовления буксира с учётом случайности его сухой массы .
Поскольку МБ с ЭРДУ является КА принципиально нового типа, ранее не эксплуатировавшегося в космическом пространстве, аналогами и прототипами могут служить только аналогичные разработки. Например, МБ «Геркулес» [3], проект КА JIMO (США) и др.
Возможен следующий подход к определению стоимости изготовления буксира. В настоящий момент в условиях жёстких финансовых ограничений и контроля за сроками исполнения работ можно принять, что величина  является детерминированной, определена в контракте на разработку и фиксирована. Однако, в результате выполнения ОКР (в случае его успешной реализации) могут быть получены различные результаты с точки зрения конструктивного совершенства изделия и его элементов, т.е., величина  является случайной и распределена по некоторому (например, нормальному закону). Подход к определению закона и параметров распределения масс элементов МБ (и, соответственно, МБ в целом) изложен, в частности в работе [12]. Из (15) можно определить значение удельной стоимости разработки МБ, соответствующее математическому ожиданию оценки его массы . Тогда, приняв, что коэффициент связи между удельной стоимостью разработки и изготовления буксира в (16) -  определён для «среднего» случая, т.е. соответствует , можно записать: 
(17)

Таким образом, определена удельная стоимость изготовления опытного образца. Далее могут быть определены стоимости изготовления как опытного, так и серийных образцов с помощью соотношений (11) – (13). Стоимость изготовления изделий будет пропорциональна их массе в силу зависимости от материалоемкости, количества производственных операций, числа стандартных комплектующих и т.п. Стоимости изготовления будут случайными, так как случайна . В соответствии с рекомендациями работы [11] для МБ с ЭРДУ принято, что . 
Коэффициент новизны для процесса изготовления в формуле (11) для вычисления стоимости изготовления опытного образца в соответствии с рекомендациями работы [14]  0,8.
Затраты на изготовление запасных элементов ЭРДУ находятся по формуле:

, (18)

где  - полное количество замен ЭРДУ на всех буксирах за время ,  - стоимость изготовления одного экземпляра ЭРДУ МБ.
Величина  случайна, так как принято, что ЭРДУ МБ профилактически заменяется после совершения буксиром  рейсов: поскольку случайно полное число рейсов буксира за ресурс, то случайно и количество замен ЭРДУ. Однако, так как рассматривается число замен на всех буксирах за время , то, как и для ряда других рассмотренных составляющих затрат, допустимо усреднение величины , т.е. использование её математического ожидания. Поэтому справедливо соотношение: 

 (19)

где N_МБ – число МБ в составе МТС (одна смена буксиров),  – число рейсов МБ до замены ЭРДУ. 
Аналогично МБ в целом стоимость изготовления ЭРДУ зависит от её массы: 

, (20)

где  - коэффициенты, аналогичные по физическому смыслу  в формуле (11).
Масса ЭРДУ – случайная величина, вычисляемая по формуле: 

,
где  - количество основных и резервных единичных ЭРД (тяговых модулей) в составе ЭРДУ;  - мощность единичного ЭРД (тягового модуля).
Эта величина, как и удельная масса ЭРДУ , распределена по усечённому нормальному закону, параметры распределения могут быть найдены с помощью метода, изложенного в работе [12]. 
Удельная стоимость изготовления образца ЭРДУ в рамках принятых допущений (СХП рассматривается как отдельная система, система преобразования мощности входит в состав ЭУ, а блоки управления учтены в массе и стоимости систем ПАО) будет определяться удельной стоимостью изготовления единичного ЭРД, которая зависит от его мощности: 

(21)

где  - коэффициент, учитывающий возрастание удельной стоимости в связи с изготовлением конструкции блоков тяговых модулей, кабельной сети, выполнением сборочных операций и т.п. 
Усреднённая (на всю серию) стоимость изготовления одного серийного экземпляра ЭРД, входящая в формулу (21), может быть найдена аналогично средней стоимости изготовления серийного буксира через удельную стоимость изготовления опытного образца и количество изготовленных единичных ЭРД следующим образом: 

 (22)

где полное количество единичных ЭРД в серии с учётом всех изготовленных буксиров, включая опытный образец для ЛКИ, и всех ЭРДУ на замену . Статистические коэффициенты  аналогичны по смыслу коэффициентам в формуле (12), но относятся не к буксиру в целом, а к единичному ЭРД.
Для расчётов по приведённым формулам необходимо оценить удельную стоимость изготовления опытного образца единичного ЭРД для заданной мощности . Данную величину можно оценить либо непосредственно из сведений об аналогах и прототипах, либо получить из оценки стоимости ОКР по созданию ЭРД конкретного типа по методике, аналогичной представленной выше для МБ в целом. При этом необходимо учитывать, что при вычислении удельной стоимости опытного образца по оценке его полной стоимости нужно использовать математическое ожидание массы единичного ЭРД. 
Принципиально важно, что даже при фиксированном значении  величина  является случайной в силу случайности массы ЭРДУ. Фиксация величины  ограничивает диапазон возможных значений , но он может оставаться достаточно широким (см. ниже) – для некоторых  вплоть до границ, определяемых диапазоном значений удельных масс ЭРД. 
Несмотря на то, что доля стоимости ЭРД в стоимости изготовления буксира может быть относительно невелика, в силу возможности большого числа замен ЭРДУ указанным обстоятельством нельзя пренебречь, приняв некоторое гарантируемое значение массы и стоимости ЭРДУ. Тогда, даже при фиксированной и усреднённом числе рейсов буксиров за большие промежутки времени условия (5) не могут рассматриваться как детерминированные ограничения. Необходимо найти условный закон распределения  для заданного значения  и, соответственно, стоимости всех ЭРДУ, после чего найти вероятность выполнения (5). 
Рассмотренное обстоятельство указывает также на более общую проблему: одному и тому же значению  может соответствовать различное сочетание масс ЭУ, ЭРДУ, СХП и ПАО. Это означает, что если удельные стоимости изготовления элементов МБ существенно различаются, то не только  должна рассматриваться как случайная величина, но и стоимость изготовления буксира в целом. Воспользоваться упрощённой методикой оценки стоимости изготовления МБ, представленной выше, можно в том случае, если удельные стоимости изготовления элементов близки, либо один из элементов доминирует (на порядок) над остальными как по массе, так и по стоимости. Возможно также её использование на предварительном этапе исследования ЭДК МТС, при отсутствии жёстких требований к точности решения.
Среди составляющих затрат на доставку ПН на m-ю орбиту (правая часть (5)) могут быть выделены зависящие от соотношения масс элементов МБ, а потому случайные даже при фиксированном значении . Величина, равная сумме указанных затрат вычисляется по формуле: 

. (23)

Из (23) может быть получена величина , равная сумме стоимостей изготовления всех ПАО, ЭУ, ЭРДУ и СХП буксиров: 
(24)

где  - суммарная стоимость изготовления силовых элементов конструкции для всех МБ, включая опытный образец; - суммарные стоимости изготовления всех ПАО, ЭУ, СХП и ЭРДУ, причём для ЭРДУ учитываются все сменные модули;  - коэффициент, учитывающий увеличение затрат на изготовление МБ, по сравнению с суммой затрат на изготовление его элементов, связанное со сборочными операциями и испытаниями МБ. Принимается значение 
Суммарная стоимость изготовления силовых элементов конструкции (являющаяся детерминированной при фиксированной ) для всех МБ с учётом снижения стоимости в серии может быть представлена в виде: 

(25)

где ,  - статистические коэффициенты, аналогичные коэффициентам в (12), но относящиеся только к силовым элементам конструкции буксира;  - удельная стоимость изготовления силовых элементов конструкции ($/кг).
Суммарные стоимости изготовления элементов всех МБ, включая опытный образец для ЛКИ можно выразить через значения масс данных элементов: 

, (26)

где  - коэффициенты, аналогичные по физическому смыслу  в формуле (11) для j-го элемента МБ;  - удельная стоимость изготовления опытного образца j-го элемента; ,  - статистические коэффициенты, аналогичные коэффициентам в (12), но для j-го элемента.
Суммарная стоимость изготовления ЭРДУ записывается аналогичным образом, но через удельную стоимость изготовления опытного образца единичного ЭРД, с учётом возможного изготовления сменных модулей ЭРДУ: 

 (27)

В (27) учтено, что все единичные ЭРД в составе ЭРДУ (включая модуль опытного образца МБ для ЛКИ) являются серийными. Опытные образцы единичных ЭРД не используются в составе ЭРДУ МБ. 
Зная зависимость суммарных затрат на изготовление элементов всех МБ и запасных ЭРДУ от их масс можно найти функцию распределения величины  для фиксированного значения сухой массы МБ  по формуле: 

, (28)

где  – минимально и максимально возможные (допустимые) значения массы ЭРДУ при условии, что сухая масса МБ приняла значение ;  – минимально и максимально возможные значения массы СХП при условии, что сухая масса МБ приняла значение , а ЭРДУ – некоторое конкретное значение  из диапазона допустимых; – минимально и максимально возможные (допустимые) значения массы ПАО буксира при условии, что сухая масса приняла значение , а массы ЭРДУ и СХП – ,; ,,  – условные плотности функций распределения масс ЭРДУ, СХП и ПАО, получаемые из функций распределения этих величин усечением с учётом указанных минимальных и максимальных значений ,, . 
Величина P_z вычисляется по формуле: 

(29)

Границы условных допустимых значений масс элементов МБ в (28) находятся по соотношениям: 
, (30)
, (31)
, (32)
 , (33) 
, (34) 
, (35)
где ,; - минимально и максимально возможные значения масс элементов МБ. 
Удельные стоимости изготовления опытных образцов , ,  могут быть найдены, исходя из сведений об аналогах и прототипах, либо аналогично МБ в целом – на основе оценок стоимости ОКР (при этом надо иметь в виду, что полная стоимость ОКР МБ должна соответствовать сумме затрат на ОКР отдельных элементов с поправкой на комплексное проектирование и испытания). 
Если записать (5) не для фиксированного значения сухой массы буксира , то практически все составляющие суммарных затрат будут случайными. Однако задачу оптимизации МТС удобно решать, вычисляя условную вероятность выполнения задачи для конкретных значений , и выполняя интегрирование полученных значений по  с учётом их вклада в полную ВВЗ. В этой связи, для расчёта полных затрат на обеспечения транспортных операций на m-ю орбиту для заданного  может использоваться (5). Тогда условия , m=1… принимают вид: 

. (36)

В (36) предельно допустимые суммарные стоимости элементов МБ и запасных ЭРДУ, вычисленные для рейсов на разные орбиты с учётом (2) – (5) запишутся в виде: 

 (37)

Поскольку левая часть (36) одинакова для всех неравенств, то ограничения на удельные стоимости транспортировки сводятся к одному стохастическому неравенству: 

. (38)

Вероятность выполнения данного неравенства выражается через функцию распределения левой части неравенства (38): 

P( )= . (39)

Совокупность соотношений (3) – (39) позволяет для заданного вектора оптимизируемых параметров МТС и величины  найти вероятность выполнения ограничений на удельные стоимости транспортировки ПН на все орбиты.
Входящие в правую часть (37) затраты на разработку, ЛКИ и изготовление ГК целесообразно оценивать на основе данных об аналогах и прототипах, например, транспортных грузовых кораблей типа «Прогресс». Поэтому можно записать: 

, (40)

где  - коэффициенты, аналогичные по физическому смыслу  в формуле (11). 
Сухая масса грузового контейнера МТС определяется по формуле: 

. (41)
Таким образом, при фиксированном значении  масса ГК в задаче оптимизации МТС принимается детерминированной (ёмкость СХП принимается равной проектной ёмкости СХП МБ, а масса конструкции модуля ПН вычисляется, исходя из максимально возможной массы полезной нагрузки). 
Стоимость ЛКИ грузового контейнера определяется суммой: 

, (42)

где  – стоимость запуска РН для выведения ГК. 
Стоимость изготовления опытного образца ГК можно оценить, исходя из средней стоимости серийного образца: 

, (43)
где  – среднее за время требуемое количество ГК, равное математическому ожиданию полного числа рейсов, совершаемых всеми буксирами;  – статистические коэффициенты. 
Стоимость разработки ГК (стоимость ОКР) можно оценить через стоимость изготовления опытного образца, воспользовавшись формулой, аналогичной (15):

. (44)
Целесообразно принять  = 10.
При назначении допустимых значений удельных стоимостей  в качестве верхнего предела должны использоваться удельные стоимости доставки посредством традиционных средств. Поэтому можно записать: 

. (45)

Таким образом, соотношения (3) – (45) позволяют определить ограничения на материальные затраты на ранних этапах проектирования перспективных межорбитальных транспортных систем с учётом влияния случайных факторов как на этапе разработки, так и эксплуатации МТС.