Анализ последних исследований и публикаций. Финансовая взаимодействие структурных единиц предприятий, корпораций, регионов рассматривалась многими учеными [2-9]. Их исследования были сосредоточены на определении эффективных методов планирования и управления денежными потоками, их оптимизации и согласованности, что должно обеспечить финансовую стабильность, рост финансового потенциала предприятий, дальнейшее их развитие, созданию привлекательных условий для инвестиций. Математические методы и модели, применяемые в исследованиях денежных потоков предприятий и между ними, освещены в работах [10-14].

Нерешенные части проблемы. В работах [10-11,14] на основе вероятностного подхода – использование теории цепей Маркова было проведено исследование по финансовой взаимодействия между организациями (региональными структурами, торговыми партнерами). Во-первых, рассматривалась бездефицитная замкнутая модель, без определения условий взаимодействия с другими системами. Во-вторых, формула, которая описывает состояние системы на каждом шагу дефицитной модели, имеет сложный вид, который не позволяет проведение быстрого аналитического анализа.

Постановка задачи. Целью исследования является нахождение (при использовании метода z – преобразование) аналитического вида дефицитной модели денежно-товарных потоков между структурными единицами выбранной системы а также выявление условий для открытости системы и текущих величин денежных потоков между выбранной и другими внешними системами.

Основные результаты исследования. Для городских бюджетов выгодным является расходование всех средств на реализацию инвестиционных проектов, региональных программ на территории региона или в виде поддержки отечественного регионального производителя путем целевых закупок. Бездефицитное для исполнителей завершения проекта не всегда возможно, если все средства остаются в пределах региона. Рассмотрим региональную систему, которая состоит из структурных единиц, между которыми проходят финансовые операции (денежно-товарные потоки). Общий процесс товарно-денежного обмена между единицами через определенный промежуток времени (шаг) может быть представлен следующим модельным рекуррентным уравнением с матрицей переходных вероятностей для эргодической цепей Маркова:

(1)

где - вектор распределения финансовых ресурсов между единицами после k шага, -начальный вектор распределения финансовых ресурсов.

Матрицы  и и будем называть матрицами получения и расходования средств соответственно [10], которые определяют векторы распределения получения и расходования финансовых ресурсов между единицами после шага .

Для аналитического изучения поведения цепей Маркова к переходу в стационарное состояние применяем метод z-преобразований к уравнению (1), при котором  переходит к

(2)

После очевидных преобразований уравнение (2) принимает вид:

(3)

где - единичная матрица размера , а - обратная матрица к матрице

Обозначим через обратное преобразование матрицы и представим эту матрицу в виде суммы слагаемых:

(4)

где стохастическая матрица, которая соответствует члену матрицы с множителем

Утверждение о стохастичность эквивалентно тому, что определитель матрицы равна нулю при . Стохастическая матрица всегда имеет хотя бы одно собственное значение, равное единице. Более того, строки матрицы будут равны друг другу и составлять компоненты вектора предельных (стационарных) вероятностей состояния системы. Матрицу называют стационарной матрицей.

Составляющие матрицы , которые остались и обозначены через  , определяют переходную ее составляющую, так как описывают поведение цепи Маркова в переходный период из состояния в состояние.

Диагональные элементы матриц  и пропорциональны долям финансовых ресурсов, структурные единицы оставляют у себя при переходе из одного состояния в другое на соответствующие операции. Абсолютной величине этих ресурсов, которую можно планировать -единицы для взаимодействия с внешними структурами, можно определить по формулам:

(5)

где , – -компоненты векторов ,ответ, – диагональные элементы стационарных матриц .

Рассмотрим на конкретном примере, как при помощи z-преобразования получить аналитический вид распределения финансовыми потоками (получения, расходы) между региональными структурными единицами.

Пусть матрицы  и и их произведения имеют вид:

(6)

(7)

(8)

Построим для матрицы матрицу

(9)

Определитель этой матрицы равен:

(10)

а обратная к ней матрица имеет вид:

Обратное преобразования матрицы – определяет произведение матриц

где

(11)

Построим для матрицы матрицу

(12)

Определитель этой матрицы и обратная к ней матрица имеют вид:

(13)

Обратное z преобразования матрицы определяет произведение матриц

где
Таким образом, методом z-преобразования определенные матрицы получения и расходования средств исполнителями проекта на каждом этапе (шаге) исполнения. Матрицы и показывают соответствующие предельные состояния распределения средств. С помощью произведений векторов начальных состояний и диагональных элементов матриц и определяются финансовые ресурсы, которые исполнители могут использовать в течение шага с внешними партнерами при сохранении значений произведений перед следующим шагом.

Выводы. Таким образом, предложенный метод z-преобразований позволяет благодаря установленной аналитический форме без использования компьютерной техники знать распределение общего бюджета между партнерами на каждом шагу эргодического цепи Маркова и определить время совпадения процесса к стационарному состоянию. Это позволяет контролировать процесс выполнения проекта, в частности процесс его финансирования, на каждом этапе и при необходимости, когда возникают проблемы, менять правила распределения, то есть матрицы .