Идея топологической интерпретации логических исчислений была впервые предложена А. Тарским в 1938 г. и с тех пор практически не использовалась в задачах искусственного интеллекта [1, с. 36]. Преимущества предлагаемого подхода с очевидностью вытекают из основных свойств топологических моделей - замкнутости относительно правил вывода и относительно операций алгебры множеств, выводимости в исчислении высказываний всех формул, общезначимых в модели и наоборот, а также возможности представления всех фактов и знаний в виде индексных файлов с записями одинаковой структуры.

Для того чтобы использовать эти свойства, предложен способ представления текста на естественном языке из высказываний (ЕЯ-текста) в виде замкнутой системы множеств, которая удовлетворяет аксиомам определения топологического пространства [2, с. 35, 3, с. 15]. Базы знаний в виде топологического пространства удобны для постановки и решения многих интеллектуальных задач.

1 Топологическое пространство на основе текста из высказываний

В [3, с. 9] предложена схема построения полного множества ALL альтернативных атомарных высказываний, которые описывают отношения между объектами в исходном ЕЯ-тексте TEXT. Для примера будем использовать текст из одного высказывания «Где бы ни был Сэм, Фред всегда рядом».

1 Описание проблемной области TEXT записывается в виде списка LIST формул языка исчисления предикатов.

2 На основе LIST формируется расширенный текст TEXT_ATOM из атомарных высказываний, в котором высказывания, моделируемые замкнутыми формулами, заменены составными, описывающими отношения между конкретными объектами. В TEXT_ATOM в высказываниях явно присутствуют сказуемые и пропозициональные связки, которые в исходном тексте могут быть «по умолчанию». В TEXT_ATOM сказуемые связывают два конкретных объекта. В атомарных высказываниях конкретные объекты не имеют структуры, являются «неделимыми». Ими могут быть предметы, числа, абстрактные объекты, а также в специальных случаях функциональные выражения (термы). Например, в высказывании Фред, Сэм – конкретные объекты, терм x не является конкретным объектом. Полученный на основе примера TEXT_ATOM имеет вид: «Если Сэм в парке, то Фред в парке. Если Сэм в доме, то Фред в доме».

3 На основе расширенного текста TEXT_ATOM формируется множество

ATOM атомарных (без пропозициональных связок) высказываний. В примере ATOM = {Сэм в доме, Сэм в парке, Фред в парке, Фред в доме}.

4 Формирование множества O конкретных объектов, отношения между которыми описывают атомарные высказывания из ATOM.
, где
- набор объектов i-го сорта. В примере O= {Сэм, Фред, парк, дом}.

5 Дополнение множества ATOM атомарных высказываний до полного ALL путем генерации альтернативных атомарных высказываний.

ALL =, где
- полный набор альтернативных атомарных высказываний, описывающих альтернативные отношения между конкретными объектами . Для примера выше получим:

- дополнением высказывания “Фред в парке” будет высказывание “Фред не в парке”;

-
ALL(Фред, парк) = {Фред в парке, Фред не в парке}.

Критерием полноты множества ALL являются следующие два требования:

- при произвольном значении высказываний исходного текста каждый непустой полный набор содержит только одно истинное атомарное высказывание;

- полные наборы при не пересекаются.

В примере ALL = {Сэм в доме, Сэм не в доме, Сэм в парке, Сэм не в парке, Фред в доме, Фред не в доме, Фред в парке, Фред не в парке}.

Множество P(ALL) подмножеств множества ALL удовлетворяет аксиомам определения топологического пространства:

• ALL Î P(ALL), Æ
  Î P(ALL),
  
• объединение всякого множества элементов системы P(ALL) является элементом P(ALL),
  
• пересечение любых двух элементов P(ALL) является элементом P(ALL).
  

  Таким образом, пара <ALL,P(ALL)> – это топологическое пространство, точки которого - атомарные высказывания.
  

  Элементы P(ALL) можно рассматривать как теоретико-множественную интерпретацию всевозможных атомарных и составных высказываний, которые можно построить из элементов множества ALL. P(ALL) содержит комбинации из атомарных высказываний и их отрицаний, которые рассматриваются как множества, атомарное высказывание является одноэлементным множеством. Элементы P(ALL) можно получить также путем объединения или пересечения других множеств из P(ALL), всякое высказывание в виде множества также можно получить как дополнение другого множества.
  

  2 Топологическая интерпретация языка классического исчисления предикатов первого порядка
  

  В моделях логических исчислений в [3, с. 16] для обеспечения очевидности интерпретации операций в качестве носителя топологического пространства T=<E, P(E)> используется множество E всевозможных атомарных отношений, сформированное на основе полного множества атомарных высказываний ALL и их отрицаний, P(E) – множество подмножеств множества E. Каждый элемент E – это атомарное множество отношений M(A), которое описывает атомарное высказывание A. Очевидно, что множества ALL и E, а также множества P(ALL) и P(E) эквивалентны.
  

  При формировании модели в [1, с. 204] используется вариант классического исчисления предикатов первого порядка Â, в котором нет символов 1, &, Ú, º, Ø и всякая элементарная формула - это либо 0, либо пропозициональная переменная , либо формула вида , где
  - предикатная переменная,
  - термы. Другими словами, формулы языка Â могут содержать как пропозициональные, так и предикатные переменные, например É
  - формула языка Â.
  

  Рассмотрим топологическую интерпретацию языка классического исчисления предикатов первого порядка Â [1, с. 204], описанную в терминах отношений [3, с. 30].
  

  Топологической интерпретацией языка Â назовем всякую упорядоченную пару <Т, Ф>, где Т
  - топологическое пространство, Т =<E,P(E)>, Ф - интерпретирующее отображение, которое каждой предикатной переменной ставит в соответствие семейство подмножеств множества E. Например, Ф(Место1)={M(«Сэм в парке»), M(«Сэм в доме»)}, где M(«Сэм в парке»), M(«Сэм в доме») – множества отношений, которые описывают атомарные высказывания «Сэм в парке» и «Сэм в доме».
  

  При интерпретации формулы A ее значение , ÎP(E), формируется посредством оценки m, которая содержит значения всех пропозициональных и предикатных переменных, входящих в A. Оценкой m назовем последовательность множеств отношений из P(E) вида , где - произвольные множества из P(E) (значения пропозициональных переменных ), - элементы из ,…,, интерпретирующие , …, , m
  - номер предикатной переменной , n - порядковый номер (параметр) множества в Ф(). Например, , , где M(Сэм в доме), M(Фред в доме) – множества отношений, которые описывают атомарные высказывания «Сэм в доме», «Фред в доме» соответственно.
  

  Индукцией по построению формулы A определим ее значение .
  

  Определение 1
  

  1 Если А есть 0, то =Æ
  при любой оценке
  m.
  

  2 Если A - пропозициональная переменная , то при
  

  =.Например, если , то по оценке = M(«Саша помогает Петру»), = M(«Саша помогает Петру»).
  

  3 Если A = , то при
  

  ,
  

  4 Интерпретация формулы
  .
  

  Значение формулы при оценке
  имеет вид:
  

  =
  

  =Æ при .
  

  По смыслу формуле соответствует конъюнкция атомарных высказываний, в каждом из которых предметная переменная заменена ее значением.
  

  На основе принятых допущений значение формулы примем в виде:
  

  
  

  =Æ
  
  

  Аналогично формуле соответствует дизъюнкция.
  

  5
  A = B É
  C
  

  Пусть - значение формулы B при оценке
  m. Тогда . Содержательно можно рассматривать как множество отношений из полного набора E, которые «остаются» при отрицании отношений .
  

  При использовании модели важным является свойство общезначимости формулы [1, с. 204].
  

  Определение 2
  

  Формула A топологически общезначима, если в любом топологическом пространстве T при любой топологической интерпретации <T, Ф> и при любой оценке m ее значение .
  

  В [1, с. 207] доказаны важные для приложений следствия.
  

  Следствие 1
  Если формула классического исчисления предикатов выводима, то она топологически общезначима.
  

  Следствие 2
  Если формула не общезначима в модели, то она не выводима в классическом исчислении предикатов.
  

  В модели [1] нет очевидного соответствия между истинностью высказывания A и пустотой множества отношений M(A), которые описывает данное высказывание A. Например,
  

  M(“Сэм–хозяин Фреда“&”День–суббота”) =
  

  M(“Сэм–хозяин Фреда”)ÇM(“День–суббота”) = Æ, т.к. точки топологического пространства M(“Сэм–хозяин Фреда“) и M(“День–суббота”) не пересекаются. Однако, это несоответствие никак не влияет на основное свойство модели: из выводимости формулы вытекает ее общезначимость.
  

  Другое несоответствие в [1] проявляется при интерпретации отрицания.
  

  Например, пусть
  

  E = {M(«клерк с опытом»), M(«клерк без опыта»), M(«клерк знает компьютер»), M(«клерк не знает компьютер»)}, m = M(«клерк с опытом»).
  

  Тогда
  M(«клерк с опытом»),
  

  {M(«клерк без опыта»), M(«клерк знает компьютер»), M(«клерк не знает компьютер»)}.
  

  Другими словами, отрицание высказывания «клерк с опытом» означает справедливость высказывания «клерк без опыта»V«клерк знает компьютер»V«клерк не знает компьютер», что соответствует состоянию всей предметной области при отрицании истинного высказывания «клерк с опытом».
  

  Приведенные выше несоответствия с реальной практикой в модели [1] устранены в топологических моделях с объектно-ориентированным способом интерпретации отрицания [3, с. 19]. В этом случае интерпретация отрицания высказывания «клерк с опытом» имеет вид: M(«клерк без опыта»).
  

  В [3, с. 16] рассмотрены перспективные точные модели классического исчисления высказываний, в которых всякая топологически общезначимая формула выводима в исчислении и наоборот. Модели проблемной области на основе точных моделей существенно упростят постановку и решение многих прикладных задач, поскольку они наследуют все свойства разрешимого классического исчисления высказываний [3, с. 61].
  

  3 Топологическая модель в прикладных задачах
  

  искусственного интеллекта
  

  Предложенные в [3, с. 19] топологические модели и способ топологической интерпретации текста из высказываний обладают важными для приложений свойствами:
  

  - замкнутость базы знаний относительно правил вывода и относительно
  

  произвольных операций в динамически изменяющихся данных,
  

  - выводимость в исчислении высказываний всех формул, общезначимых
  

  в точных топологических моделях и наоборот,
  

  - непротиворечивость модели, что делает ее удобной для пополнения новыми знаниями,
  

  - стандартное представление данных и знаний на предлагаемом подмножестве ЕЯ, позволяющее избежать нерегулярностей и двусмысленностей.
  

  В [3, с. 53] выделено два вида стандартного представления правил в расширенном тексте TEXT_ATOM:
  

  - на логическом уровне стандартной формой является хорновское высказывание º
  ,
  

  - при машинной реализации, соответственно, высказывание , где – атомарные высказывания или их отрицания из ALL.
  

  Тождество означает, что при машинной реализации расширенного текста
  

  TEXT_ATOM дизъюнкты Хорна можно представить в виде набора импликаций
  - записей индексного файла с одинаковой структурой, iÎ{1,2,…,n}. После представления высказываний в виде списка атомарных импликаций TEXT_ATOM будет включать как атомарные высказывания и их отрицания, так и составные высказывания
  из атомарных импликаций .
  

  Машинное представление всех данных и знаний в виде индексных файлов с записями одинаковой структуры позволит:
  

  - существенно сократить время поиска за счет индексного доступа к файлам из атомарных импликаций,
  

  - осуществлять одношаговый поиск по индексу формул Хорна
  

  с истинными гипотезами (см. рисунок),
  

  - автоматически решать, какие формулы в модели позволяют вывести истинное высказывание Aj из гипотез , а какие не позволяют,
  

  - автоматически исключить с помощью индексного доступа формулы , анализ которых считается бесперспективным,
  

  - эффективно использовать индексный доступ в задачах экспоненциальной сложности,
  

  - существенно увеличить эффективность дедуктивного вывода за счет сокращения пространства поиска посредством индексного доступа к данным и знаниям.