Большое значение имеет применение космических снимков в геологии, метеорологии, кадастре, сельском и лесном хозяйстве, в сфере транспорта и т.д.

На данный момент в открытом доступе находятся географически привязанные спутниковые снимки, позволяющие проводить измерения длин, площадей, определять координаты объектов. Сеть Интернет позволяет работать с различными Web-картами, но возникает вопрос точности представленных материалов.

Для исследования было использовано программное обеспечение SAS.Планета, позволяющее загружать спутниковые снимки высокого разрешения, представленные такими сервисами как: Google Maps, Bing Maps, DigitalGlobe, Яндекс.карты, Yahoo! Maps,  OpenStreetMap, карты Генштаба и др. [1] Главным условием выбора снимка является его высокая разрешающая способность. Для определения точности используются опоры ЛЭП, информация о которых отражена на публичной кадастровой карте в виде поворотных точек участка.

На первом этапе в SAS.Планета подгружается спутниковый снимок и слой «кадастровые границы (rosreesrt.ru)». Территория для оценки погрешности выбирается из условия достаточного нахождения данных о местоположении ЛЭП на изображении.

При выборе космических снимков учитывался лишь один критерий –высокое разрешение, для возможности определения местоположения основания опоры ЛЭП. Данному условию удовлетворяют только: Спутник (Яндекс. Карты), Bing Maps – Bird`s Eye Север.

В ГИС «Карта 2011» создается карта в местной системе координат, на которую с трансформацией накладываются [2]:

1) космические снимки, загруженные с привязкой (*.tab);

2) координаты поворотных точек земельных участков в МСК-12 (из ГКН) в формате (*.MID/MIF);

3) имеющийся планшет ортофотопокрытия в формате (*.TIFF).

Поворотные точки земельных участков под опорами ЛЭП определены как площадной объект округлой формы с диаметром 1,14 м.; для определения центра проведены диагонали (рис. 1).

Рис. 1. Определение центра опоры ЛЭП

Для исследования использовалась 21 опора (рис.2), расположенная на территории исследования в пригороде г. Йошкар-Ола.

Рис. 2. Порядковый номер и местоположение опоры линии электропередач

На ортофотопокрытии и космических снимках (по возможности), в результате дешифрирования, проставляются точки местоположения ЛЭП (Рис. 3).

Рис. 3. Определение местоположения опоры ЛЭП на местности

    В результате обработки картографических материалов, получены данные занесенные в таблицу 1.

Таблица 1 – Расстояние и направление отклонения местоположения опоры

Различные значения румба и расстояния свидетельствуют о нелинейном искажении растра.

Снимки Bing Maps – Bird`s Eye имеют отклонение в северном направлении в среднем на 88,2 метра, что свидетельствует о изначально неправильной привязке снимка. Смещение на это расстояние позволит получить максимальное отклонение в 5,26 метра.

Наиболее точными являются ортофотопланы которые на точках 7-14 имеют наименьшее смещение, при этом в одном направлении, что свидетельствует о меньших искажениях самого снимка и возможности его трансформирования (при большем количество опорных точек распределенных по всему номенклатурному листу).

В целом можно отметить достаточно высокую точность для открытых спутниковых данных.

Очевидно, что популярность детерминированного хаоса в области прикладных и фундаментальных исследований в дальнейшем будет только возрастать, однако для оптимизации процесса разработки источников хаотических колебаний с требуемыми характеристиками необходим простой и точный инструмент для моделирования устройств со сложной динамикой на стадии их разработки. В противном случае процесс разработки сведётся к методу последовательных приближений – изготовлению нового экспериментального макета путём исследования и корректировки предыдущего. Однако неизвестно приведёт ли данный метод к какому-либо положительному результату, особенно при разработке СВЧ-генераторов хаоса [1, с. 105]. В любом случае данный метод требует существенных временных и материальных затрат. Таким образом, до этапа макетирования целесообразно провести моделирование будущего генератора хаотических колебаний. В низкочастотной области с моделированием подобных схем проблем не возникает: существует множество простых моделей нелинейных элементов, в том числе биполярных и полевых транзисторов [2, с.1 , 3, с. 867], предоставляемых разработчиками и включенных в широко распространённые системы автоматизированного проектирования (САПР). Однако с переходом в диапазон сверхвысоких частот необходимо кроме основных характеристик компонентов учитывать, их паразитные параметры, а также инерционность обратной связи, и распределённый характер составляющих импеданса активного элемента [1, с. 121, 4, с. 42]. Задача моделирования генератора хаоса на основе СВЧ-диодов осложняется тем, что доступных моделей подобных активных элементов, которая может быть использована при моделировании генератора хаоса в САПР, на данный момент нет.

В то же время доступен другой метод моделирования, состоящий в анализе системы уравнений, составленной на основе принципиальной или эквивалентной схемы [1, с. 203, 5, с. 421, 6, с. 4]. При этом существует возможность учесть основные паразитные параметры и эффекты [7, с. 491, 8, с. 330, 9, с. 53]. Для моделирования динамических систем со сложной и хаотической динамикой, аналитические методы решения дифференциальных уравнений либо полностью неприменимы, либо их использование сопряжено с существенными трудностями, по этой причине для получения практически обозримых результатов используются численные методы решения [10, с. 2, 11, с. 110, 12, с. 128, 13, с. 19].

Однако, применение численных методов для решения систем дифференциальных уравнений, обладающих сложной нерегулярной динамикой, может привести к некорректным результатам [11, с. 112]. Исследуемая система может иметь регулярный, но более сложный аттрактор, витки которого близко расположены, что может приводить к перескокам численной траектории в пределах аттрактора вследствие ошибок в вычислениях, связанных с некорректностью решаемой задачи.  Для проверки достоверности полученного численного решения, необходимо проводить сравнение результатов, полученных при разных шагах интегрирования (при разных величинах допуска ошибки) [11, с. 112]. Если при разных шагах интегрирования полученное численное решение обладает свойствами хаотичности, то можно сделать вывод, что причиной хаотичности решения являются свойства самой динамической системы, а не ошибки численного решения.

В большинстве научных источников система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемую нелинейную систему, решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка [1, с. 53, 12, с. 132, 14, с. 95], однако, в большом количестве работ, посвященных исследованию систем со сложной и хаотической динамикой, метод решения системы дифференциальных уравнений не указан. При этом какое-либо обоснование выбора того или иного метода численного решения систем дифференциальных уравнений полностью отсутствует. Упоминание о точности полученного численного решения при анализе систем со сложной и хаотической динамикой, либо хотя бы грубая его оценка также встречается в научной периодической печати крайне редко, хотя численному исследованию динамических систем с хаотической динамикой посвящено достаточно большое количество работ как в России, так и за рубежом. При этом возникает вопрос, имеющий важное практическое значение: насколько точен и эффективен тот или иной метод численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему со сложной или хаотической динамикой.

При этом анализ точности численного решения различными методами следует проводить на специальной тестовой задаче, к которой в данном случае предъявляются особенные требования, главное из которых состоит в том, что при изменении управляющих параметров системы в ней должны наблюдаться различные динамические режимы, в том числе режим динамического хаоса.

Одними из наиболее распространенных активных элементов, на основе которых возможна практическая реализация генераторов хаотических колебаний СВЧ- и ММ-диапазона, являются диод Ганна и лавинно-пролётный диод. Что делает целесообразным разработку тестовой системы на основе эквивалентной схемы, включающей указанные активные элементы. Динамические системы на основе указанных активных элементов относятся к классу регенеративных систем, поэтому подобная тестовая система будет описывать не только реальные радиотехнические устройства, в том числе СВЧ-диапазона, включающие лавинно-пролётные диоды или диоды Ганна, но также и все устройства, относящиеся к классу регенеративных системы.

На рис.1 представлена теоретическая модель генератора на диоде Ганна по переменному току.

Рис.1. Эквивалентная схема СВЧ-генератора на диоде Ганна

На рис. 1 использованы следующие обозначения: R, L, C – эквивалентные значения сопротивления потерь, индуктивности и ёмкости резонатора; источник напряжения V_S представляет собой поле внешнего источника в резонаторе; R_d и G_d – активная и реактивная составляющие импеданса активного элемента; R_l – сопротивление нагрузки.

Дифференциальное уравнение, составленное на основе эквивалентной схемы СВЧ-генератора на диоде Ганна и описывающее динамику системы в различных режимах работы, после незначительных логически очевидных преобразований и нормализации имеет следующий вид [15, с. 327]:

       (1)

где dq/dt = i – мгновенное значение тока, τ = ω_rt – нормализованное время, ω_r=(LC)^-1/2 – резонансная частота колебательного контура, q_s и Ω – заряд, эквивалентный амплитуде и нормализованная угловая частота поля внешнего источника, присутствующего в резонаторе. Коэффициенты a, b, c, d – связаны с активной и реактивной частями импеданса диода Ганна и резонатора следующим образом:

Очевидно, что коэффициенты a, b, c, d сложным образом зависят от величины напряжения смещения через параметры β₁, β₃, α₁ и α₃. Так как α₁ и α₃ связаны с параметрами эквивалентной емкости, то их значения определяются резонансной частотой. Параметры β₁ и β₃ связаны с эквивалентным сопротивлением диода Ганна, поэтому они играют большую роль в анализе возникновения колебаний. Кроме того, значение параметра β₃ много меньше по сравнению с величиной β₁, поэтому параметр d принимает значения меньшие величины параметра c [15, с. 328].

Необходимо отметить, что получить решение уравнения (1) весьма затруднительно [15, с. 328], поэтому для упрощения дифференциального уравнения целесообразно ввести новую переменную p = dq/dt. В результате подобного преобразования уравнение примет следующий вид:

    (2)

Традиционно для тестирования численных методов решения дифференциальных уравнений используются тестовые задачи, точное аналитическое решение которых известно, что позволяет сравнить полученное численное решение с точным как для качественного анализа, так и для количественной оценки погрешности численного решения [16,с. 3]. Однако, точное аналитическое решение возможно только в гармоническом режиме работы исследуемой динамической системы. В случае исследования динамической системы в режиме работы, отличном от гармонического, особенно в режим динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [17, с. 2], которое получено путём тех или иных упрощений и допущений в постановке задачи, что не позволяет использовать его в качестве точного решения при оценке численных методов. Таким образом, требование наличия точного аналитического решения тестовой задачи в рассматриваемом случае теряет свою актуальность. В данной ситуации необходимо использовать иные способы оценки точности численного решения.

Таким образом, составленное дифференциальное уравнение (2) описывает динамику широкого спектра динамических систем, относящихся к классу регенеративных систем, в том числе СВЧ-генераторов на основе лавинно-пролётных диодов и диодов Ганна в различных режимах работы, в том числе режиме динамического хаоса [18, с. 41]. Поэтому его целесообразно использовать в качестве тестовой задачи для оценки точности и эффективности численных методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих системы с сложной и хаотической динамикой. Преимущество использования данного уравнения в качестве тестового, кроме того, что оно описывает динамику широкого спектра реальных систем и устройств, состоит в том, что в зависимости от заданного набора значений параметров, возможно получить различные динамические режимы, в том числе автоколебательный режим, многочастотный режим и режим динамического хаоса.

Источники финансирования и выражение признательности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках научного проекта № 16-07-00631 а.

Для моделирования систем с хаотической динамикой широко используются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, составленных на основе принципиальной или эквивалентной схемы исследуемой системы [1, с. 205, 2, с. 74]. Однако, применение численных методов в данном случае может привести к некорректным результатам [2, с. 86]. Система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемую нелинейную систему, в большинстве работ решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка, однако, часто метод решения не указывается. При этом какое-либо обоснование выбора численного метода полностью отсутствует, также, как и хотя бы грубая оценка точности решения. При этом возникает вопрос, имеющий важное практическое значение: насколько точен и эффективен тот или иной метод численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему с хаотической динамикой?

Постановка задачи

Для тестирования численных методов обычно используются задачи, точное аналитическое решение которых известно [3, с. 2]. В случае исследования динамической системы в режиме динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [4, с. 5], которое получено путём существенных упрощений, что не позволяет использовать его при оценке точности численных методов.

В работе для тестирования численных методов использована система дифференциальных уравнений [5, с. 327], составленная на основе эквивалентной схемы СВЧ-генератора на диоде Ганна, подходящая также для моделирования широкого класса регенеративных динамических систем [6, с. 329, 7, с. 41, 8, с. 124], которая имеет вид:

где dq/dt = i – мгновенное значение тока, τ = ω_rt – нормализованное время, ω_r=(LC)^-1/2  – резонансная частота колебательного контура, q_s и Ω – заряд, эквивалентный амплитуде и нормализованная угловая частота поля внешнего источника, a, b, c, d – коэффициенты, связанные с импедансом диода Ганна и резонатора, p = dq/dt – переменная, введенная для упрощения уравнения. Хаотичность решения подтверждается результатами спектрального и бифуркационного анализа, а также значениями старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности [5, с. 328].

В MATLAB для численного решения систем дифференциальных уравнений предлагается несколько алгоритмов: одношаговый явный метод Рунге-Кутта 4/5 порядка (ode45), одношаговый явный метод Рунге-Кутта 2/3 порядка (ode23), многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка (ode113), многошаговый метод переменного порядка, основанный на формулах численного дифференцирования (ode15s), одношаговый метод, использующий модификацию формулы Розенброка 2-го порядка (ode23s), неявный метод трапеций с интерполяцией (ode23t), реализация метода TR-BDF2 (ode23tb).

За исключением некоторых общих рекомендаций, выбор того или иного численного метода возлагается на конечного пользователя. При этом неправильный выбор численного метода может привести к существенному увеличению времени решения, а также получению качественно и количественно неверного результата, либо сбою программы.

Основными критериями эффективности численных методов являются их вычислительная сложность и точность получаемых решений [3, с. 3]. Оценка точности численного метода при анализе системы с хаотической динамикой может быть получена при сравнении с более точным численным решением [9, с. 343]. При этом анализируется текущая фактическая погрешность, то есть разность во всех точках вывода между полученным численным решением и более точным численным решением. Оценивались также значения глобальной и среднеквадратичной ошибки численного решения. Кроме того, так как в качестве тестовой задачи выбрана система уравнений, описывающих реальную радиотехническую систему, то целесообразно провести сравнение оценки основных радиотехнических показателей [3, с. 4, 10, с. 19]: ширины спектра, гистограммы распределения и корреляционной функции выходного хаотического колебания при различных шагах интегрирования.

Динамический режим тестовой системы

Величина заряда q_s, эквивалентного амплитуде поля внешнего источника, равна конечному положительному значению. При этом, значения остальных параметров тестового уравнения подобраны таким образом, чтобы после установления колебаний наблюдался режим динамического хаоса, при этом хаотичность решения подтверждается анализом фазового портрета и спектра решения, которые качественно соответствуют аналогичным характеристикам динамических систем в режиме динамического хаоса, а также результатами бифуркационного анализа данной системы, расчетом старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности, которые приведены в работе [5, с. 328]. Значения управляющих параметров, которые, как и в предыдущем случае, подбирались в соответствии с их возможным диапазоном значений с целью сохранения физической адекватности тестовой системы, соответственно равны: a = 1, b = 1, c = -0,001, d = 0,015, q_s = 0,15, Ω = 1,27. На рис. 1, рис. 2, рис. 3 представлены временная реализация полученного численного решения, его фазовый портрет и спектр, соответственно.

Рис.1. Временная реализация численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Рис.2. Фазовый портрет численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Рис.3. Спектр численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Полученные результаты

В качестве основного критерия точности численных методов предлагается использовать так называемую фактическую погрешность, то есть погрешность во всех точках вывода [5, с. 329]. Это позволяет не только сравнить точность методов численного решения, на примере составленной тестовой системы уравнений, в рамках одного динамического режима исследуемой системы, но и в дальнейшем провести сравнение выбранных численных методов в различных динамических режимах, что позволит составить рекомендации по выбору того или иного численного метода в зависимости от специфики поставленной задачи. Кроме того, так как составленная тестовая система дифференциальных уравнений описывает реальную радиотехническую систему – СВЧ-генератор на диоде Ганна, то целесообразно провести сравнение точности оценки основных радиотехнических показателей генератора при использовании различных численных методов. В режиме автоколебаний основными радиотехническими показателями исследуемой системы является амплитуда и частота колебаний СВЧ-генератора [11, 12, с. 866], в многочастотном режиме – частоты гармонических составляющих спектра выходного сигнала и значения решения в точках, соответствующих локальному максимуму решения, в режиме динамического хаоса [13, с. 41] – ширина спектра генерируемого хаотического колебания и значения решения в точках, соответствующих локальному максимуму решения.

Диапазон интегрирования по нормализованному времени τ = ω_rt тестовой системы уравнений во всех динамических режимах составляет [0;700]. Максимальный шаг интегрирования выбран равным h = 0,05. При установке большего значения шага интегрирования возникали существенные сложности с сохранением постоянства шага в течение всего интервала интегрирования, при постоянных значениях параметров RelTol и AbsTol для сохранения равных условий и поддержания чистоты эксперимента, в связи с тем, что в программах численного решения в MATLAB внедрен алгоритм автоматического подбора шага. При анализе численных результатов с переменным шагом невозможно отделить влияние на точность численного решения одних управляющих параметров от других. В качестве более точного численного решения тестовой задачи, с которым производится сравнение всех остальных численных результатов выбрано решение с шагом h = 0,000195. Получить решение с меньшим шагом в течение практически обозримого времени не удалось. Кроме того, при чрезмерном уменьшении шага есть вероятность значительного увеличения вычислительной погрешности, что будет ограничивать точность численного решения с меньшим шагом. При этом для точности того или иного численного метода использовано свое более точное численное решение с шагом h = 0,000195.

Для всех рассмотренных численных методов наблюдается быстрый рост текущей фактической ошибки (рис. 4) на начальном участке интервала интегрирования. Далее на интервале интегрирования наблюдаются резкие скачки фактической ошибки, однако, как диапазон возможных значений, так и максимальные значения фактической ошибки практически постоянны на интервале интегрирования для всех рассмотренных численных методов. Максимальное значение фактической ошибки на интервале интегрирования ограничено размахом колебаний численного решения. Для всех рассмотренных методов численного решения величина фактической ошибки в начале интервала интегрирования снижается с уменьшением шага интегрирования (рис.5а). Наименьшую фактическую ошибку в начале интервала интегрирования продемонстрировал метод ode45, наибольшую – ode15s. Высокую точность в начале интервала интегрирования продемонстрировали также методы ode113 и ode23. На рис. 5 и далее использованы следующие обозначения: (ode45 – “o”; ode23 – “+”; ode113 – “*”; ode15s – “x”; ode23s – “□”; ode23t – “●”; ode23tb – “■”).

Рис.4. Временная зависимость модуля фактической ошибки численного решения для метода ode45 и шагов интегрирования h = 0,05 (а) и h = 0,00039 (б)

Очевидно, что подобный характер изменения текущей фактической ошибки является следствием хаотической динамики тестовой системы. Поэтому при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих системы с хаотической динамикой, получить точную временную реализацию возможно только на весьма ограниченном интервале интегрирования. Следует отметить, что время, за которое текущая фактическая ошибка достигает своего максимального значения, при использовании методов ode23, ode113, ode23s и ode23t увеличивается с уменьшением шага интегрирования. Таким образом, при необходимости получения точной временной реализации численного решения системы дифференциальных уравнений в режиме динамического хаоса, необходимо значительно уменьшать величину шага интегрирования. Для всех исследованных численных методов, кроме ode15s, наблюдается тенденция незначительного снижения среднеквадратичной ошибки с уменьшением шага интегрирования.

Рис. 5. Зависимость минимальной фактической ошибки (а) и ширины спектра выходного хаотического колебания (б) от шага интегрирования

Основными радиотехническими параметрами системы с хаотической динамикой являются спектральные, корреляционные и статистические свойства выходного хаотического колебания. В связи с этим целесообразно при оценке точности численных методов провести анализ именно указанных параметров выходного колебания, полученных при различных значениях управляющих параметров численных методов. В качестве критериев точности численных методов использованы следующие параметры: гистограмма распределения, ширина спектра, ширина нормированной корреляционной функции и уровень боковых лепестков нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания.

В связи с тем, что получить хотя бы приблизительные оценочные значения указанных параметров не представляется возможным оценка точности численных методов осуществлялась путём сравнения значений данных параметров, полученных при различных шагах интегрирования.

Из анализа зависимости ширины спектра выходного хаотического колебания от шага интегрирования (рис.5б) видно, что для всех исследованных численных методов результат оценки ширины спектра численного решения различен. Кроме того, ни для одного исследованного численного метода не наблюдается тенденции асимптотического приближения оценки ширины спектра хаотического колебания к какому-либо значению с уменьшением шага интегрирования. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки ширины спектра выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23t, ode23 и ode15s.

На приведенных гистограммах распределения выходного хаотического колебания (рис.6) отчетливо видны два максимума распределения (рис. 6а), возникающие вследствие того, что хаотический аттрактор имеет две притягивающие области [5, с. 327]. Из анализа гистограмм распределения видно, что изменение шага интегрирования приводит к значительному изменению статистических свойств хаотического колебания. При этом качественные изменения гистограмм распределения выходного хаотического колебания при использовании методов ode23t и ode23tb существенно меньше, чем при использовании остальных рассмотренных численных методов. Следует отметить, что для некоторых значений шага интегрирования при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки статистических характеристик колебания (рис.6б), возникающие вследствие того, что для указанных значений шага на временной реализации наблюдается участок регулярного движения. Следует отметить, что указанное явление имеет место только при использовании одношаговых численных методов решения систем дифференциальных уравнений. При использовании многошаговых методов динамический режим системы оценивается точно при любых использованных значениях шага интегрирования.

Рис.6. Гистограммы распределения выходного хаотического колебания для метода ode45 и шагов интегрирования h = 0,0125 (а) и h = 0,0015625 (б)

Рис. 7. Зависимость ширины нормированной корреляционной функции хаотического колебания от шага интегрирования

Рис. 8. Зависимость уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции хаотического колебания от шага интегрирования

Из анализа зависимости оценки ширины нормированной корреляционной функции от шага интегрирования (рис.7) видно, что для некоторых значений шага при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки указанного параметра, возникающие вследствие неверной оценки динамического режима системы. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки ширины нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23t и ode23tb.

Из анализа зависимости оценки уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции от шага интегрирования (рис.8) видно, что для некоторых значений шага при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки указанного параметра, возникающие также вследствие неверной оценки динамического режима системы. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23tb, ode15s и ode23t.

Из анализа зависимости количества обращений к функции вычисления правых частей видно, что наибольшую эффективность продемонстрировали методы ode23t и ode15s, в то время как наименее эффективными оказались методы ode45 и ode23s. Скорость увеличение количества обращений к функции вычисления правых частей у всех методов приблизительно равна. Быстрее всего численное решение тестовой системы дифференциальных уравнений, описывающей динамическую систему в хаотическом режиме работы, обеспечивается при использовании методов ode23 и ode113. Наибольшее время, для численного решения потребовалось при использовании метода ode23s. Скорость увеличения времени, затрачиваемого на численное решение тестовой системы, приблизительно равна для всех использованных численных методов.

Заключение

Таким образом, для всех рассмотренных численных методов наблюдается быстрый рост фактической ошибки на начальном участке интервала интегрирования. Поэтому при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы с хаотическим поведением, получить точную временную реализацию численного решения возможно только на весьма ограниченном интервале интегрирования. Анализ полученных результатов говорит о том, что вариация шага интегрирования приводит к значительному изменению спектральных, статистических и корреляционных свойств численного решения. Для некоторых значений шага интегрирования при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки радиотехнических параметров колебания, возникающие вследствие неверной оценки динамического режима системы. Следует отметить, что указанное явление имеет место только при использовании указанных одношаговых численных методов решения систем дифференциальных уравнений.

Наибольшую эффективность продемонстрировали методы ode15s и ode23t по количеству обращений к функции вычисления правых частей и методы ode23 и ode113, продемонстрировавшие наименьшее время вычислений.

Источники финансирования и выражение признательности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках научного проекта № 16-07-00631 а.

 и 

В евклидовом n-пространстве определяется как:

      (1)

Были рассмотрены три соответствующие существующие системы, которые анализируют и распознают фрукты с использованием метода анализа на основе формы и цвета. Существующие системы, анализатор изменения формы плодов, распознавание плодов и «система локализации и распознавания плодов деревьев с использованием свойств текстуры и цветовых данных» представлены далее.
Анализатор формы фруктов для помидора и других видов растений был разработан для анализа формы и размеров плодов помидора и других видов растений [14], таких как круглая тыква, желтая тыква, простой перец, перец чили, виноград, клубника, и груша. Он может точно определить границы плодов с разного цвета.
Анализатор может выполнять обнаружение вариаций формы плодов помидора и описывать любую другую двумерную форму плодов. Он предоставляет интуитивно понятные дескрипторы и вывод, что облегчает анализ морфологии фруктов.
Контролируемый словарь и математические дескрипторы были объединены в помидорный анализатор для достижения объективного измерения черты формы плодов. Контролируемый словарь может точно описать диапазон видов форм фруктов. Математические дескрипторы могут рассчитывать признаки фруктов с помощью одного уравнения для каждой характеристики, включая форму фруктов, содержат индекс формы фруктов, фрукты форма треугольника, форма плода эксцентричная, форма конца плода, форма сердца плода, круглая, эллипсоидная, прямоугольная; и размер плода включает высоту, ширину, массу, площадь и периметр плода.
Для распознавания и локализации плодов были применены точечный лазерный дальномер Typical FR 85 Rail Pilot и лазер с фазовым сдвигом для автоматической выборочной уборки [14]. Система использует изображения дальности и амплитуды, предоставляемые лазерным сканером дальномера в каждой отсканированной сцене, и использует стратегии анализа на основе форм для распознавания плодов и определения положения.
Основными этапами этой стратегии распознавания на основе форм являются адаптивное сглаживание изображений, генерация примитивов, оценка параметров и свидетельств, генерация и проверка гипотез.
Адаптивное сглаживание изображений необходимо для фильтрации белого аддитивного шума в диапазоне изображений. Далее, этап примитивной генерации необходим для распознавания сферических объектов в изображении диапазона. Затем необходим этап оценки параметров и доказательств, чтобы оценить параметр сферы, включая трехмерное положение, радиус и отражательную способность плодов, и оценить степень достоверности этой оценки. Наконец, генерация и проверка гипотез используется, чтобы отклонить гипотезы, которые не имеют достаточной доказательной ценности. Этот метод может распознавать зеленые фрукты и правильность этого метода составляет 80%.
При распознавании плодов деревьев с использованием свойств текстуры и цветовых данных [15] алгоритм, основанный на зрении, позволяет найти яблоки на одном изображении. Обнаружение краев на основе текстуры было объединено с измерениями покраснения и пороговой площади, а затем подгонкой по кругу, чтобы определить расположение яблок на плоскости изображения. Было показано, что покраснение работает как для красных яблок, так и для зеленых яблок. Эта повышенная контрастность текстур позволила идентифицировать яблоки отдельно от фона. Алгоритм работал одинаково хорошо, как для крупных планов, так и для удаленных изображений яблок. Результаты показывают, что точность системы составляет около 90%.
Для системы распознавания фруктов алгоритм KNN выполняет классификацию фруктов с использованием меры расстояния, которая является евклидовой метрикой для измерения расстояния между атрибутами неизвестного фрукта с сохраненными примерами фруктов, тогда алгоритм найдет ближайшие примеры к неизвестным фруктам.
Алгоритм предложит пользователю обрезать область плодов, чтобы получить или извлечь значение цвета входного изображения плодов. Чтобы получить или вычислить значение округлости плодов, алгоритм проанализирует и извлечет свойства признаков области плодов, таким образом, рассчитывают площадь и периметр плодов для округлости формы плодов или значения метрики.
Алгоритм вычисляет новые значения площади и периметра для изображения плода в соответствии с выбранным пользователем скалярным значениям.
Алгоритм K-Nearest Neighbours является методологией, которая использовалась для разработки системы распознавания фруктов. Система распознавания фруктов, использующая алгоритм KNN в качестве классификатора для классификации фруктов на основе средних значений цвета, значения округлости формы, площади и периметра фруктов. Чтобы получить площадь и периметр плода на изображении, на изображении плода должны выполняться задачи анализа изображения, такие как предварительная обработка и процесс сегментации.
Площадь плодов и периметр выбираются так, чтобы представлять размеры плодов, которые необходимы как один из признаков, позволяющих различать один вид фруктов от другого. Значения площади и периметра плода оцениваются в виде значений пикселей. Между тем, периметр плода может быть оценен путем подсчета граничных пикселей, которые были обнаружены или идентифицированы ранее; тогда как площадь плода может быть оценен путем подсчета общего количества пикселей, которые окружены областью границы обнаруженного плода. Чтобы получить или вычислить значения размера плодов, алгоритм предложит пользователю выбрать скалярное значение, чтобы изменить размер изображения плодов так, чтобы его размер был приблизительно равен размеру плодов в реальном времени. После выбора скалярного значения алгоритм вычислит новые значения площади и периметра для изображения плода.
Система распознавания фруктов, использующая следующую функцию [15] для классификации входной выборки фруктов:

Эта функция классифицирует входную выборку фруктов, определяя расстояние между атрибутами входной выборки фруктов с атрибутами всех других примеров тренировочных фруктов и выявляет «k» ближайших примеров, а затем классифицирует изображение неизвестного входного фрукта по классу или группе, где по специальности из «k» ближайших соседей.
Пятьдесят изображений фруктов были собраны для системы распознавания фруктов. Эти изображения фруктов были разделены на обучающие фруктовые наборы и тестируемые фруктовые наборы, где 36 собранных фруктовых изображений были использованы для разработки и обучения системы; тогда как 14 изображений фруктов были использованы для проверки системы. Обучающие изображения фруктов должны быть отправлены и обработаны системой при разработке алгоритма классификации для системы распознавания.
Средние значения цвета фруктов могут быть вычислены после того, как пользователь обрезает область фруктов на их изображении. Система вычислит средние значения для каждого из красного, зеленого и синего (RGB) компонента области обрезанных фруктов путем манипулирования и вычисления на трехмерных матрицах, в которых хранятся все пиксели фруктов. Далее значения RGB для каждого фруктового пикселя вычисляется с использованием функции среднего значения, представленной в MATLAB [16].
Округлость формы плода или значения метрики можно рассчитать после извлечения и оценить площадь и периметр плода, используя уравнение, приведенное ниже [8, 15]:

 (2)

Система распознавания фруктов состоит из пяти основных модулей обработки, которые включают в себя модуль выбора ввода фруктов, модуль вычисления цвета фруктов, модуль вычисления формы фруктов, модуль вычисления размера фруктов и модуль классификации или распознавания фруктов. Первый модуль обработки системы предложит пользователю выбрать изображение фруктов в меню выбора фруктов для дальнейшего процесса распознавания. Модуль вычисления цвета фруктов необходим для выполнения задач извлечения признаков их цвета.
Впоследствии модуль вычисления формы плода проанализирует плод после того, как будут извлечены свойства признака плодовой области. Таким образом, площадь и периметр плода используются для округления формы плода или расчета метрической величины.
Четвертый модуль системы распознавания плодов будет выполнять свои задачи по вычислению значений размера плодов, таким образом, площади и периметры плодов на основе выбранного пользователем скалярного значения, а также площади и периметра, полученных из третьего модуля. Модуль классификации и распознавания отвечает за классификацию входных данных или выбранных пользователем фруктов с использованием алгоритма KNN. Этот модуль измеряет расстояние между значениями признаков выбранного фрукта и значениями признаков сохраненного теста фруктов. После этого KNN обнаруживает среди сохраненных фруктов пример, который имеет самое короткое расстояние с входом. Затем система идентифицирует и назначает класс вводимых фруктов. В конце концов, система отображает результаты вычисленного признака пользователю. В оставшейся части этого раздела вы можете увидеть псевдокод для алгоритма распознавания фруктов.
1. Выберите изображение фрукта;
2. Обрезать фруктовую зону;
3. Вычислить среднее для компонентов RGB;
4. Вычислить форму путем пороговой сегментации (удалить шумы, морфологические операции);
5. Вычислить геометрические свойства (площадь, периметр);
6. Используйте KNN и параметры в 3, 4, 5 для классификации образ;
7. Результат на выходе.
Из тридцати шести собранных изображений фруктов были использованы для разработки и обучения системы; В таблицах 1, 2 и 3 приведены подробные сведения о цвете, форме, площади и значениях периметра для каждого типа фруктов, которые были сохранены во время эксперимента системы. Эти сохраненные значения цвета, значения округлости формы, значения площади и периметра используются в качестве стандартных значений признаков для сравнения и классификации запроса или ввода изображения плода в систему.

Наименование фруктов	Максимум	Минимум
	R	GBRGB
Красное яблоко	128.5	14.042.0219.998.067.0
Зеленое яблоко	99.0	145.031.0146.0189.062.0
Клубника	158.8	21.3828.2233.056.158.2
Банан	168.0	145.853.1251.0234.595.5
Лимон	192.5	148.317.6252.8218.5129.1
Арбуз	77.8	119.939.7119.6166.477.7

Фрукт	Площадь (Pixels)	Периметр (Pixels)
	min	maxminmax
Красное яблоко	15	48472694.6826.1
Зеленое яблоко	78	17224472945
Клубника	48	10595306.4612.8
Банан	44	18332622.81.7500e+3
Лимон	49	11788414.7799.7
Арбуз	33	812281.7038e+33.8223e+3

Система распознавания фруктов была протестирована с использованием 14 тестовых изображений фруктов. Результаты эксперимента являются точными для всего набора тестируемых фруктов. Кроме того, система способна распознавать все тестовые изображения фруктов. В таблице 4 приведены результаты распознавания системы распознавания фруктов на изображениях фруктов, которые отправляются в качестве входных изображений во время тестирования системы. В таблице перечислены результаты испытаний системы, включая название плода, значения вычисленных признаков, такие как средние значения RGB, значения округлости формы, значения площади и периметра.

Фрукт	Округление
	minmax
Красное яблоко	0.820.91
Зеленое яблоко	0.840.92
Клубника	0.600.69
Banana	0.220.39
Банан	0.720.91
Лимон	0.440.59
Арбуз	0.660.89

Однако на результаты большое влияние оказывают скалярные значения размера плодов, которые выбирает пользователь. Системный эксперимент играет важную роль в определении точности результатов распознавания.
Например, эксперимент должен обрезать область фруктовой области, исключая фоновую область на изображении, чтобы извлечь правильные значения цветовых характеристик фрукта, чтобы система могла вычислить новую площадь и значения периметра для измененного изображения тестируемого фрукта. Согласно результатам эксперимента, распознавание тестовых изображений фруктов является точным для тех скалярных значений размера фруктов, которые выбираются на основе размера фруктов в среде реального времени.

Номер изоб-ражения фрукта	Выбор скаляр-ного значения	Результат эксперимента
		Наименова-ние фруктаRGB пикселОкруглен-ное значениеПлощадьПери-метр пикселов
1	2	Красное яблоко(166.42,42.97, 49.88)0.8821260.00780.87
2	2	Банан(173.73,150.07, 53.90)0.309166.00875.38
3	2	Клубника(186.52,54.59, 27.76)0.6910328.00612.78
4	2	Лимон(212.84,144.87, 4.11)0.8611788.00586.16
5	6	Арбуз(71.19,86.73, 39.68)0.6681288.003037.29
6	4	Зеленная яблока(155.85,176.28, 31.30)0.8815636.00944.26
7	2	Красное яблоко(196.13,101.96, 71.82)0.9117844.00701.75
8	4	Банан(213.77,193.35, 91.47)0.3911936.001245.69
9	8	Арбуз(157.67,163.88, 89.78)0.4410421.004892.57
10	0	Клубника(147.57,42.27, 48.33)0.614422.00301.81
11	2	Лимон(248.78,211.48, 125.05)0.7811768.00614.04
12	6	Арбуз(74.33,117.40, 53.53)0.8955350.002159.69
13	2	Зеленная яблока(96.74,143.79, 53.53)0.9016436.00678.64

Предложенный метод может обрабатывать, анализировать, классифицировать и идентифицировать изображения фруктов, которые отбираются и отправляются в систему на основе характеристик цвета, формы и размера фруктов. Алгоритм KNN является подходящим и эффективным алгоритмом классификации для использования в системе распознавания фруктов. Разработанная система распознавания способна распознавать все тестовые изображения фруктов, которые выбираются пользователем или системным тестером из меню выбора фруктов в системе с результатами распознавания системы с точностью до 90%.

Распознавание изображений играет важную роль во многих областях, таких как обработка изображений и компьютерное зрение. Нейронные сети – это современный подход к распознаванию изображений, основанный на имитации работы головного мозга. Настоящая статья рассматривает использование нейронных сетей для распознавания изображений и обсуждает возникающие проблемы и перспективы дальнейшего развития исследований в данной области.

Методы и алгоритмы

Одним из наиболее популярных методов для распознавания изображений является использование нейронных сетей, особенно сверточных нейронных сетей (Convolutional Neural Networks, CNN). CNN представляет собой глубокий учебный алгоритм, который моделирует функционирование мозга, имитируя работу нейронных связей и слоев в цифровой форме. Он особенно хорошо работает для обработки изображений, так как учитывает контекстуальную информацию и пространственные связи.

Однако при использовании нейронных сетей для распознавания изображений существуют некоторые проблемы и ограничения. Одна из основных проблем – это необходимость большого количества размеченных данных для обучения модели. Нейронные сети требуют огромного количества примеров с различными классами объектов, чтобы выучить различные признаки и особенности. Получение и разметка такого объема данных может быть очень сложной задачей.

Еще одной проблемой является переобучение модели, когда модель учится научиться распознавать и запоминать обучающие примеры, но неспособна обобщать и распознавать новые, неразмеченные примеры. Это может привести к плохой производительности модели на новых данных.

Также проблемой является экономическая стоимость. Обучение и использование нейронных сетей требуют больших вычислительных ресурсов, включая высокопроизводительные графические процессоры, что может быть дорого.
Однако существуют перспективы и будущие направления для преодоления этих проблем и повышения эффективности распознавания изображений с использованием нейронных сетей. Одним из направлений – это использование техник передачи обучения (transfer learning) и аугментации данных. Техника передачи обучения позволяет использовать предобученные модели нейронных сетей, обученные на больших наборах данных, и дополнительно обучать их на относительно небольшом количестве данных, специфичных для конкретной задачи. Аугментация данных включает в себя создание дополнительных обучающих примеров путем искажения существующих изображений с помощью различных методов, таких как повороты, масштабирование, обрезка и изменение освещения.
Также в будущем ожидаются улучшения в области аппаратного обеспечения для более быстрой и эффективной работы нейронных сетей. Процессоры, специально разработанные для обработки нейронных сетей, такие как графические процессоры и тензорные процессоры, могут значительно улучшить производительность и энергетическую эффективность вычислений для распознавания изображений.
В целом, использование нейронных сетей для распознавания изображений имеет огромный потенциал и будет продолжать развиваться и улучшаться с преодолением существующих проблем и ограничений.

Применение распознавания изображений

В этом разделе описываются различные области, в которых применяется распознавание изображений с помощью нейронных сетей. Одной из таких областей является медицина, где это используется для диагностики заболеваний и анализа медицинских изображений. Безопасность – еще одна область, где распознавание изображений помогает в обнаружении и идентификации лиц, номерных знаков или подозрительных объектов. Также рассматривается применение в робототехнике и транспорте для автоматического управления и обнаружения препятствий.

Проблемы и вызовы

В этом разделе рассматриваются проблемы и вызовы, связанные с распознаванием изображений с использованием нейронных сетей. Одной из проблем является необходимость большого количества размеченных данных для обучения нейронных сетей. Также описывается проблема «черного ящика», связанная с невозможностью объяснить, как нейронные сети принимают решения. Возникают вопросы безопасности и конфиденциальности при использовании распознавания изображений в общественных местах.

Перспективы и будущие направления

В заключении раздела предлагаются перспективы и будущие направления в развитии распознавания изображений через нейронные сети. Приводятся идеи такие как использование многослойных моделей, автоматическое извлечение признаков и предобучение нейронных сетей на больших наборах данных. Обсуждаются возможные улучшения в точности распознавания и применение распознавания изображений в новых областях.

Заключение
Распознавание изображения с использованием нейронных сетей – это активно развивающаяся область, которая находит применение в множестве сфер деятельности. Несмотря на некоторые проблемы и вызовы, с помощью новых алгоритмов и методов возможны существенные улучшения. Будущие исследования в данной области направлены на улучшение точности, устранение проблем безопасности и конфиденциальности, а также расширение применения распознавания изображений в новых областях.