Площадь сечения бруса

.

Расчетное сопротивление при косом изгибе

.

1. Формализация.
Примем за неизвестные оптимизационной задачи моменты сопротивления сечения W_x и W_y, которые обозначим х₂/6 и х₁/6 соответственно. Тогда площадь поперечного сечения будет представлена зависимостью

.

Оптимизационная задача примет вид:
        найти                        min  
        при                        .
Функции f₀ и f₁ и их частные производные непрерывны при х_k > 0. Значит, по теореме Вейерштрасса, решение существует.
2. Применение принципа Лагранжа.
Функция Лагранжа

или

.

Необходимые условия экстремальности:

3. Решение уравнений и нахождение стационарных точек.
Перенесем члены, содержащие λ₁ в первых двух уравнениях в правую часть:

Поделим первое уравнение на второе

,

или

.

Подставим это выражение в третье уравнение системы

,

или

,

откуда

4. Отбор нужных точек.
Стационарная точка единственная, значит, она является решением задачи.
Перейдем к переменным b и h, то есть к размерам сечения

или

Таким образом, аналитически, путём математических выкладок, выполнено решение задачи нахождения оптимальных размеров прямоугольного сечения бруса при растяжении-сжатии с изгибом в двух плоскостях. Это решение представлено в виде конечных формул. Полученные формулы могут быть использованы в реальном проектировании и при моделировании сооружений.