Смысл сложного процента заключается в том, что проценты, начисленные в конце каждого периода, не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме вложенного капитала, и в следующий расчетный период процент начисляется уже на большую сумму.

В рамках доходного подхода при использовании собственного капитала инвестора применяются два метода определения стоимости оцениваемого объекта недвижимости, в которых используются функции сложного процента – это метод капитализации по расчетным моделям и метод дисконтирования денежных потоков (ДДП). 

Наиболее универсальным методом определения текущей стоимости оцениваемой недвижимости является метод ДДП. В учебнике «Оценка недвижимости» [2, с.163] предлагается рассчитывать стоимость объекта недвижимости методом ДДП по формуле 

, (1)
где текущая стоимость;
денежный поток периода ;
ставка дисконтирования денежного потока периода ;
стоимость реверсии, или остаточная стоимость.

Однако в предложенной формуле (1) нет расшифровки единиц измерения параметров, а параметров  и  в расшифровке нет вообще, что нельзя признать правомерным для учебной литературы. В этой связи возникает необходимость рассмотрения содержания параметров, входящих в формулу (1), что и является целью настоящей статьи.

В формуле (1) знаменатель первого и второго слагаемых представляет собой общую формулу сложного процента, которая используется в его шести функциях. Величину  в финансовых расчетах называют множителем наращения по сложным процентам, фактором будущей стоимости единицы, коэффициентом наращения, а обратную ей величину  – дисконтным, или дисконтирующим множителем. В теории оценки общую формулу сложного процента называют будущей стоимостью единицы, а обратную ей величину – текущей стоимостью единицы или коэффициентом дисконтирования.

Базовой функцией сложного процента является первая функция – будущая стоимость капитала, которая имеет вид [3, c. 8]
 (2)
где  будущая стоимость капитала;
 текущая стоимость (стоимость в начальный момент времени);
 ставка процента, начисляемого периодически;
 количество периодов начисления.

Остальные пять функций сложного процента – это производные от первой функции сложного процента (будущей стоимости капитала). В теории и практике оценки стоимости недвижимости методом ДДП используется четвертая функция сложного процента, которая является обратной первой функции и имеет следующий вид
 (3)
где будущая стоимость капитала;
 ставка дисконтирования будущей стоимости капитала;
количество периодов дисконтирования будущей стоимости капитала.

В формуле (1) стоимость реверсии считается денежным потоком, как и текущие денежные потоки от владения недвижимостью, и является будущей стоимостью капитала. А количество периодов дисконтирования каждого денежного потока определяется от даты установления его прогнозной величины до даты оценки. 

В формулах (1-3) текущая и будущая стоимость капитала измеряются в денежных единицах, а количество периодов начисления (дисконтирования) денежных потоков – выражаются численными значениями, т.е. являются безразмерными параметрами. 

Ключевым параметром сложного процента является ставка процента (процентная ставка), которая с математической точки зрения выражает численное значение (в форме процентов или десятичной дроби). В практических финансовых расчетах процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях. В учебнике по финансовой математике Е.М. Четыркина указано, что «временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления, его не следует путать со сроком начисления» [4, c.17]. Из данного положения следует, что процентная ставка имеет не только числовое значение, но и временную характеристику. 

Однако в финансовой математике и оценочной литературе временной интервал (период начисления) ставки процента в общей формуле сложного процента, как правило, не указывается. В этой связи ставка процента выступает в общей формуле сложного процента как безразмерная величина и поэтому может суммироваться с единицей, что нельзя признать правомерным. Временная характеристика ставки процента присуща ей и она не сокращается под влиянием какого-либо фактора. Но тогда возникает проблема реализации общей формулы сложного процента, так как по правилам математики нельзя выполнять суммирование единицы с параметром, имеющим единицу измерения, т. е. с размерным параметром. 

Как известно, сложный процент является дальнейшим развитием простого процента, который выражается формулой
 (5)
где  ставка процента, 1/год;
 срок начисления процентов, годы.
Смысл простого процента заключается в том, что процент начисляется только на первоначальный капитал, а полученная постоянная величина прибыли не участвует в обороте капитала и ее можно использовать после окончания каждого отчетного периода.

В формуле (5) нет нарушений правил математики, так как при умножении ставки процента в форме десятичной дроби на срок начисления процентов, выраженных в одинаковых единицах времени, происходит сокращение этих единиц измерения. В результате умножения ставки процента на срок начисления процентов получается безразмерная величина, которая может суммироваться с единицей в общей формуле простого процента. Простой процент можно использовать и в методе ДДП без нарушения правил математики.

Переход от простого процента к сложному проценту в финансовой математике иллюстрируется на примере инвестора, который по депозитному договору с банком вложил определенную сумму денежных средств на депозитный счет на определенный срок с начислениями по простому проценту. После получения вложенной суммы денег с начисленными процентами инвестор перезаключил договор с банком на следующий такой же срок с начислениями по простому проценту. Число перезаключений депозитного договора инвестора с банком может быть многоразовое, что означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения с помощью постоянной или переменной ставки процента.

Схема наращения денежных средств инвестора по простому проценту в результате перезаключений договоров (реинвестирования средств), например для трех реинвестирования средств, будет иметь следующий вид
 (6)

В общем виде формула наращения (6) при годовой процентной ставке, сроке начисления, измеряемого в годах, многократном реинвестировании средств будет иметь вид
 (7)
где ставка процента, 1/ год;
срок начисления процентов, годы;
количество повторений реинвестирования, в течение общего срока реинвестирования средств. 

Если в формуле (7) срок начисления процентов () у всех перезаключаемых договоров принять равным одному периоду (одному году, одному полугодию, одному кварталу, одному месяцу и т.д. или определенному числу дней в пределах года), то в этом случае  будет выражать один период начисления процентов в течение заданного общего срока реинвестирования средств. Такой вид наращения будет представлять собой наращение по сложным процентам. Поэтому «наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая прослужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов» [4, c. 44].

В формуле (7) как и в формуле (5) произведение  является безразмерной величиной тогда, когда знаменатель ставки процента и числитель одного периода начисления имеют одинаковые единицы измерения, которые при умножении сокращаются. Поэтому математически правомерно в множителе наращения складывать единицу с безразмерным произведением . 

Если заданный период начисления меньше годового периода ставки процента, то в этом случае годовой период ставки процента переводится в измеритель заданного периода начисления. Например, если заданный период начисления составляет 1 мес., тогда годовой период ставки процента должен выражаться в месяцах. В этом случае знаменатель годовой ставки процента будет равен 12 месяцам. При численном значении ставки процента равной 0,12 и периоде процентной ставки равном 12 мес., получим скорректированное значение ставки процента – 0,12/12 мес.=0,01/мес. Тогда произведение  будет представлять коэффициент наращения первоначальной суммы вклада за 1 мес., который можно суммировать с единицей дисконтного множителя, как две безразмерные величины (1+0,01=1,01).

Параметр  в формуле (7) может быть рассчитан по формуле

где общий срок реинвестирования средств, выраженный в единицах времени одного заданного срока начисления.

Рассчитаем значение  для представленного выше примера, если , что составляет 36 мес.   Тогда 
В целом для данного примера значение множителя наращения по сложным процентам составит 

В теории оценки стоимости недвижимости формула (7) будет иметь вид
 (8)
где будущая стоимость денежного потока;
ставка дисконтирования денежного потока периода;
 один заданный период дисконтирования денежных потоков (1 год, 1 полугодие, 1 квартал, 1 месяц или определенное число дней в пределах года);
количество временных интервалов (периодов) от дисконтируемого денежного потока до даты оценки. 

На основе данных формулы (8), предлагается усовершенствованная модель оценки стоимости недвижимости методом ДДП 
 (8)
где текущая стоимость, ден. ед.;
наименование временного интервала прогнозного периода; 
количество временных интервалов в прогнозном периоде;
денежный поток го временного интервала прогнозного периода, 
ден. ед.;
ставка дисконтирования денежного потока периода,
1/временной интервал;
 один заданный период дисконтирования денежных потоков, 
временной интервал;
стоимость реверсии недвижимости в конце прогнозного периода, 
ден. ед.

Для практических оценочных расчетов целесообразно в формуле (8) вместо параметра  использовать соотношение прогнозного периода к заданному периоду дисконтирования денежных потоков  Тогда модель оценки стоимости недвижимости методом ДДП будет иметь вид
 (9)
где значение прогнозного периода, ед. времени.

В связи с проведенными исследованиями содержания показателей сложного процента и введения необходимых корректировок в формулы (8,9) дисконтный множитель становится величиной безразмерной. Причем ставка дисконтирования в данном случае являются показателем размерным, а количество периодов дисконтирования денежных потоков – величиной безразмерной.

Выводы и предложения:1. Анализ содержания параметров предложенной в учебной литературе модели оценки стоимости недвижимости методом ДДП показал, что все они не имеют единиц измерения, а некоторые параметры не расшифрованы вообще, что не является правомерным для учебной литературы.
2. В финансовой и оценочной литературе принято процентные ставки и ставки дисконтирования представлять в виде безразмерных величин, т.е. без привязки к временным характеристикам, что не является правомерным.
3. В ходе исследования установлено, что процентные ставки и ставки дисконтирования имеют числовые и временные характеристики, и не являются безразмерными параметрами.
4. Применяемые в финансовых и оценочных расчетах, множитель наращения по сложным процентам  и дисконтный множитель  по сложным процентам не могут быть количественно определены, так как по правилам математики нельзя суммировать единицу со ставкой процента (дисконтирования), имеющей временную единицу измерения.
5. Предложено в формулы множителя наращения по сложным процентам и дисконтного множителя по сложным процентам включать параметр «один заданный период начисления» для корректировки величины и размерности ставки процента (дисконтирования) и приведения их произведения к безразмерной величине. В этой связи становится возможным суммирование единицы с произведением ставки процента (дисконтирования) на один заданный период начисления (дисконтирования), что не приводит к нарушению правил математики.
6. Для практических расчетов в формуле по оценке стоимости недвижимости методом ДДП предложено в дисконтном множителе в качестве показателя степени использовать соотношение величины прогнозного периода к одному заданному периоду дисконтирования.
7. Предложена усовершенствованная модель оценки стоимости недвижимости методом ДДП с полной расшифровкой всех параметров и их единиц измерения.