Как правило, невозможно четко описать состояние системы, представить параметры, описывающие систему, в виде четких, определенных чисел. Причин может быть несколько: воздействие на систему внешней среды (экономические, политические, человеческие, экологические и прочие факторы); внутренние изменения сложной неравновесной системы (нехватка и выход из строя оборудования, трудовых ресурсов, транспортировка продукции и.т.п.); динамичное изменение планов производства в системе и многое другое. В связи с этим целесообразно представить исследуемые параметры неравновесной системы в виде нечетких оценок.

В условиях полной дефицитности реальный нечеткий выбор понимается как своеобразное «пожелание» элемента потребления. Модель нечеткого спроса будем создавать при условии представления о потребительском нечетком спросе, как о желаемом для элемента потребления количестве данного изделия (продукта), в общем случае нечеткого, в сложившейся ситуации «производства – потребления».

Пусть известно, что желаемое для элемента потребления нечеткое количество изделия (продукта) i равно F_i, , а вектор ограничений-квот на каждый продукт X^**=(). Тогда реально взятое элементом потребления нечеткое количество изделия (продукта) i равно множеству желаемого для элемента потребления нечеткого количества i-го изделия (продукта) F_i, при условии, что F_i нечетко не больше ограничения-квоты на i-е изделие (продукт); либо равно ограничению-квоте на i-е изделие (продукт), при условии, что F_i нечетко больше величины ограничения-квоты на всех наборах индекса iÎW={1,2,…,n} [2,3]:

                (1)

Из формулы (1) следует, что элемент потребления приобретет i-ое изделие (продукт) целиком, если его желания F_i существующее ограничение-квоту нечетко превышают, iÎW.

Желаемое количество F_i может произвольно зависеть от величин ограничений-квот на все продукты, т.е. F_i=F_i(Х^**), и F(Х^**)={F₁(Х^**),…,F_n(Х^**)} есть заданная векторная функция нечеткого спроса. Тогда правило (1) определяет реальный нечеткий выбор, порождаемый заданным нечетким спросом.

Если известна функция F(Х^**) потребительского нечеткого спроса, то нечеткие компоненты f_i(X^**), функции f(X^**) потребительского нечеткого выбора будут определены функцией потребительского нечеткого спроса следующим образом. Нечеткая компонента функции выбора элемента потребления будет равна минимальному значению из множества нечетких ограничений-квот на i-е изделия (продукты) и желаемого нечеткого количества i-го изделия (продукта). Функция выбора элемента потребления будет равна минимуму среди множества ограничений-квот, наложенных на выбираемые элементом потребления изделия (продукты) и множества желаемого количества изделий (продуктов) для элемента потребления:

iÎW                (2)

                (3)

Функция f(X^**) удовлетворяет требованию неотрицательности и ограниченности . Для любой функции нечеткого выбора f(X^**) можно найти порождающую функцию F(Х^**) нечеткого спроса. В крайнем случае, в качестве порождающей функции F(Х^**) нечеткого спроса может быть взята сама функция f(X^**) нечеткого потребительского выбора.

Векторная функция F(Х^**) потребительского нечеткого спроса будет нечетко субрегулярна, если каждая ее нечеткая компонента F_i(Х^**), , рассматриваемая как функция от нечеткой величины , , при произвольных фиксированных , удовлетворяет условию:

        (4)

т.е. каждая нечеткая компонента F_i(Х^**), функции F(Х^**) нечетко больше либо равна значению ограничения-квоты i-го изделия (продукта), при условии, что квота на i-ое изделие (продукт) нечетко неотрицательна и ограничена сверху, или равна некоторой нечеткой величине , при условии, что эта нечеткая величина нечетко не больше значения i-ой ограничения-квоты.

Величина F_j(Х^**), определяющая нечеткий выбор j-го изделия (продукта) (j¹iÎW) должна быть определена для другого нечеткого состояния, в котором остается нечетко постоянным ограничение , а уменьшается нечеткое ограничение . Это и вызывает несогласованность и несовместимость в решениях для векторной функции F(Х^**) потребительского нечеткого выбора в целом [2,3].

Сформулируем аналог свойства независимости нечеткого выбора для векторной функции F(Х^**) потребительского нечеткого спроса.

Если для векторов X^**=(), Y^**=() выполняются следующие условия:

- для любых iÎW при нечетком включении ограничении-квоты на изделие (продукт) i в функцию спроса на i-ое изделие (продукт), нечеткое ограничение-квоты на i-ое изделие нечетко равна выпускаемому количеству i-го изделия;

- для любых iÎW при нечетком включении функции спроса на i-ое изделие (продукт) в ограничение-квоту на изделие (продукт) i, то нечеткое ограничение-квоты на i-ое изделие нечетко включается в выпускаемое количество i-го изделия (продукта) и нечетко включается в функцию спроса на i-ое изделие (продукт):

,            (5)

то:- для любых iÎW при нечетком включении ограничении-квоты на изделие (продукт) i в функцию спроса на i-ое изделие (продукт), выпускаемое количество i-ого изделия (продукта) нечетко включается в функцию спроса на выпускаемую продукцию;

- для любых iÎW при нечетком включении функции спроса на i-ое изделие (продукт) в ограничение-квоту на изделие (продукт) i, то функция спроса элемента потребления нечетко равна функции спроса на выпускаемую продукцию и нечетко включается в множество выпускаемой продукции, либо функция спроса элемента потребления нечетко равна функции спроса на выпускаемую продукцию и нечетко не включается в множество выпускаемой продукции:

.            (6)

Выражениями (5) и (6) определяется свойство сужения допустимых альтернатив потребительского нечеткого спроса.

Если для векторов X^**=(), Y=() при любых наборах iÎW при нечетком включении ограничении-квоты на изделие (продукт) i в функцию спроса на i-ое изделие (продукт), нечеткое ограничение-квоты на i-е изделие нечетко равна выпускаемому количеству i-го изделия; либо на любых наборах iÎW при нечетком включении функции спроса на i-ое изделие (продукт) в ограничение-квоту на изделие (продукт) i, то нечеткое ограничение-квоты на i-е изделие (продукт) нечетко не включается в выпускаемое количество i-го изделия (продукта):

,                (7)

то при любых наборах iÎW при нечетком включении ограничении-квоты на изделие (продукт) i в функцию спроса на i-ое изделие (продукт), нечеткое количество выпускаемой продукции также нечетко включается в функцию спроса выпускаемой продукции i; либо при нечетком включении функции спроса на i-ое изделие (продукт) в ограничение-квоту на изделие (продукт) i, функция спроса элемента потребления нечетко равна функции спроса на выпускаемую продукцию и нечетко включается в множество выпускаемого i-го изделия (продукта):

.            (8)

Аналогом свойства (5) потребительского нечеткого выбора является следующее свойство для потребительского нечеткого спроса.

Если для векторов X^**=(), Y^**=() справедливо то, что при любых наборах iÎW при нечетком включении ограничении-квоты на изделие (продукт) i в функцию спроса на i-ое изделие (продукт), нечеткая ограничение-квота на i-ое изделие нечетко равна выпускаемому количеству i-го изделия; либо при нечетком включении функции спроса на i-ое изделие (продукт) в ограничение-квоту на изделие (продукт) i, нечеткая функция потребительского спроса на i-ое изделие (продукт) нечетко включается в выпускаемое количество i-го изделия (продукта):

,                (9)

то на любых наборах iÎW при нечетком включении ограничении-квоты на изделие (продукт) i в функцию спроса на i-е изделие (продукт), выпускаемое количество i-ого изделия (продукта) нечетко включается в функцию спроса на выпускаемую продукцию; либо на любых наборах iÎW при нечетком включении функции спроса на i-ое изделие (продукт) в ограничение-квоту на изделие (продукт) i, функция спроса элемента потребления нечетко равна функции спроса на выпускаемую продукцию и нечетко включается в множество выпускаемой продукции, либо функция спроса элемента потребления нечетко равна функции спроса на выпускаемую продукцию и нечетко не включается в множество выпускаемой продукции:

.            (10)

И последнее, что следует отметить для векторной функции F(X^**) потребительского нечеткого спроса.

Векторная функция потребительского нечеткого спроса является нечетко нормальной и порождает нечетко нормальную функцию f(X^**) нечеткого выбора, если векторная функция F(X^**) непрерывна и ограничена, т.е. существует некоторая константа P, которая для любых i из W ограничивает функцию нечеткого потребительского спроса на i-ое изделие (продукт):

“iÎW F_i<P,                        (11)

где Р – некоторая константа.

Так как затраты на производство, выпуски изделий (продуктов) для реализации, ограничения–квоты носят нечеткий характер, то при описании поведения элемента потребления путем задания функций выбора следует ввести понятия нечеткого выбора, нечеткой функции выбора [4].

Введение нечетких понятий при определении выбора элемента потребления позволит:

- указать наиболее возможный диапазон изменения параметров поведения элемента потребления;

- учитывать не только бюджетные ограничения элемента потребления, но и реальные, нечетко заданные ограничения-квоты на потребление дефицитных изделий (продуктов).

Разработка новых моделей принятия решений при тестировании знаний должна позволять проектировать программное обеспечение, обеспечивающего поддержку различных форм заданий, реализацию разных сценариев контроля и адекватную обработку результатов тестирования.

В традиционной системе тестирования уровень знаний определяется долей правильных ответов, следовательно, оценка уровня знаний зависит от трудности заданий в тесте и не может считаться объективной. Для измерения уровня знаний стали применять модель Раша [1,2], позволяющая в отличие от традиционной системы тестирования получить объективные оценки знаний студентов за счет того, что оценка уровня знаний не зависит от трудности теста.

Применяют модели оценки тестирования на основе системологического классификационного анализа [3], позволяющего рассматривать знания системно для сложных неформализованных слабоструктурированных предметных областей.

Существуют модели на основе нейронных сетей, позволяющие реализовать обучение с учителем, обладающие свойствами адаптивности, увеличивающие достоверность принимаемого решения. Знания представляются в нейронной сети с помощью ее состояния активации и, как следствие, существование нейронной сети связано с контекстной информацией. Нейронные сети являются универсальным механизмом обработки информации.

Для оценки уровня обучения и для аттестации образовательного учреждения профессионального образования разработана технология [4] Центром государственной аккредитации, которая включает в себя модель формирования аттестационных педагогических измерительных материалов (АПИМ), методику обработки результатов и организацию педагогических измерений на основе выборочных методов как по отношению к дисциплинам, так и к контингенту обучающихся.

Модели оценивания при аттестационно-педагогических измерениях относятся к вероятностным моделям. Модель АПИМ есть совокупность независимых разделов дисциплин с одинаковой вероятностью решения. Следует получить значение вероятности решения совокупности всех групп заданий. Основу расчетов составляет формула Бернулли [5], которая при принятых условиях позволяет рассчитать вероятности не менее k благоприятных событий из общего числа n независимых событий

.

Применение теории нечетких множеств, введение понятия лингвистической и нечеткой переменной [6] предоставляют возможность экспертным путем задать степень истинности ответа в виде функции принадлежности его к используемой шкале оценивания истинности. Данная модель позволяет получать количественную оценку принимаемых решений по их качественным описаниям. Тестируемому выдают варианты ответов, степень истинности которых не может быть однозначно определена в категориях «правильно» или «неправильно». Количественная оценка истинности выбираемых ответов и принятие решения об итоговой оценке осуществляется с применением нечеткой логики [6].

В работе [7] оценка знаний осуществляется с применением лингвистических переменных на базовой шкале оценивания. Лингвистические переменные (ЛП): a₁ – правильно; a₂ – не совсем правильно; a₃ – неполно; a₄ – неточно;
a₅ – неопределенно;
a₆ – неправильно.

Пример оценки знаний [7] фактически осуществляется не по лингвистическим, а по нечетким переменным, т.к. оценка знания вариантов ответов на каждое тестовое имеет вид:

{a₁/0,8; a₂/0,4; a₃/0,2; a₄/0,1; a₅/0; a₆/0}.

Данная модель показывает, что степень суммарной истинности ответов тестируемого оценивается путем подсчета результирующей функции принадлежности с использованием нечеткой алгебры. Окончательное принятие решения об оценке знаний принимают путем сравнением полученной результирующей функции принадлежности с эталонными функциями принадлежности каждой оценки применяемой шкалы итогового оценивания. В качестве итоговой оценки принимается та, для которой скалярное расстояние между ее функцией принадлежности и результирующей функцией принадлежности всего теста оказывается минимальным [7].

Развитие данного подхода состоит в том, что для каждой ЛП может быть задано собственное терм-множество с нечеткими переменными и функциями принадлежности на базовом множестве, определенном диапазоном оценок теста. Для вывода оценки знаний могут применяться продукционные модели, например модель принятия решений при
композиции нечетких правил вывода.

Пусть при тестировании испытуемые могут получить от нуля до ста баллов. Рассмотрим применение модели, имеющей название «модель композиции» [6]. Применение этой модели нечеткого логического вывода, как дополнение к полученным результатам тестирования, позволит не только снизить степень информационной неопределенности, но и повысить объективность оценки результатов тестирования. Модель композиции нечетких правил вывода задают в виде набора множеств (X, T, H), где X и H определены так же, как и в модели классификации нечетких ситуаций, Т – множество, элементы которого представляют собой формальную запись в виде продукций словесно-качественной информации экспертов.

Пусть входные переменные задачи тестирования в виде лингвистических переменных определены так же, как и для модели классификации. Результат тестирования определен в виде лингвистической переменной b «оценивание знаний» с терм-множеством: Т(b)={b₁ – неудовлетворительно; b₂ –удовлетворительно;
b₃ –хорошо;
b₄ отлично}. Базовое множество принимаемых решений задано на отрезке [0, 100] баллов. На рис. 1 показан вариант задания функций принадлежности лингвистической переменной «результат тестирования».

Рис.1. Функции принадлежности лингвистической переменной «оценивание знаний»

Оценка «отлично» соответствует 80 – 100 набранным баллам, оценка «хорошо» соответствует 65 – 79 набранным баллам и т.д.

Рассмотрим работу модели принятия решений при композиции нечетких правил вывода на примере задания множества Т={R_i}, где R_i
i-ое нечеткое продукционное правило, сформулированное экспертным путем. Пусть экспертами будут заданы правила {R₁,R_2,R₃,…,R₂₂}. Например:

R₁: если недостаточное количество выполненных заданий «А» и недостаточное количество выполненных заданий «В» и – среднее число ошибок в решаемых заданиях «А» и среднее число ошибок в решаемых заданиях «В» и значащие ошибки задания «А» и значащие ошибки задания «В» и низкое качество обучения, то b₁ – неудовлетворительный результат тестирования.

R₂: если недостаточное количество выполненных заданий «А» и недостаточное количество выполненных заданий «В» и – среднее число ошибок в решаемых заданиях «А» и среднее число ошибок в решаемых заданиях «В» и значащие ошибки задания «А» и значащие ошибки задания «В» и среднее качество обучения, то b₁ – неудовлетворительный результат тестирования.

…

R₂₁: если очень большое количество выполненных заданий «А» и очень большое количество выполненных заданий «В» и среднее число ошибок в решаемых заданиях «А» и среднее число ошибок в решаемых заданиях «В» и незначащие ошибки задания «А» и незначащие ошибки задания «В» и среднее качество обучения, то b₄ – отличный результат тестирования.

R₂₂: если очень большое количество выполненных заданий «А» и очень большое количество выполненных заданий «В» и среднее число ошибок в решаемых заданиях «А» и среднее число ошибок в решаемых заданиях «В» и значащие ошибки задания «А» и значащие ошибки задания «В» и хорошее качество обучения, то b₄ – отличный результат тестирования.

Зная функции принадлежности нечетких переменных входных лингвистических переменных a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ и a₇ и функции принадлежности лингвистической переменной «результат тестирования», можно для каждого правила R_i вывести функцию принадлежности .

Получив для каждого правила R_i функции принадлежности определяют функцию принадлежности для отношения Т по формуле

.        (1)

Исходя из заданных функций принадлежностей нечетких переменных входных лингвистических переменных a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆
и a₇ для результатов тестирования испытуемого определяют конкретные значения степеней принадлежности нечетких переменных терм-множеств этих лингвистических переменных и подставляют их в формулу (1).

Поиск значения h_s базового множества H лингвистической переменной b «результат тестирования», доставляющего наибольшее значение функции принадлежности возможен только за счет обычного перебора значений функций принадлежности для b₁, b₂, b₃ и b₄.

Выводы

Результаты анализа известных подходов к оценке знаний с применением тестирования показали, что применять классические методы теории вероятностей и математической статистики недостаточно, как для моделирования систем управления качеством образования, так и для получения адекватных оценок знаний при проведении тестирования обучаемых.

Это связано, в первую очередь, с тем, что итоговые оценки по результатам тестирования частично неопределенны, т.е. имеют нечеткое описание в терминах естественного языка. Так же разной может быть степень неопределенности погрешности тестирования.

Для установления адекватной оценки знаний тестируемого необходимо применять методы ситуационного анализа в условиях неполноты данных относительно объектов тестирования и самого теста. Применение данного подхода может быть связано с принятия решений с учетом нескольких заданных критериев, задание которых может быть как четким, так и нечетким.