В современной теории сигналов [1] де-факто исходят из того, что процедуры дискретизации и восстановления сигнала выполняются в одной и той же инерциальной системе отсчета (ИСО). В то же время с точки зрения специальной теории относительности (СТО), постановка задачи восстановления сигналов должна включать ситуацию, когда дискретизация сигнала выполняется в одной ИСО, а его восстановление в другой. В дальнейшем будем называть первую ИСО стационарной, а вторую движущейся. При этом все обозначения с апострофом (´) будут относиться к движущейся ИСО.

Согласно СТО связь между интервалами времени возникновения любого события в разных ИСО выражается преобразованием Лоренца [2]:

Δt´ = γ Δt (1)γ = 1 /

где:
γ - Лоренц-фактор ( γ ≥ 1 )
 - скорость движущейся ИСО
с - скорость света в вакууме

Последовательность отсчетов дискретного сигнала рассматривается ниже как ряд событий, следующих друг за другом с временным интервалом Δt и «возникающих» в той или иной ИСО.

Восстановление сигнала в движущейся ИСО

Рассмотрим сигнал с ограниченным спектром, дискретизированный с постоянным интервалом выборки в стационарной ИСО и подлежащий восстановлению в движущейся ИСО.

В соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона (далее, теорема отсчетов) такой сигнал может быть восстановлен в соответствии с выражением [1]:

S(t)´ =    (2)

где:
Δt´ - интервал выборки в движущейся ИСО
Δt - интервал дискретизации в стационарной ИСО
 - граничная частота спектра сигнала
s(k) - отсчеты сигнала, сформированные в стационарной ИСО

При этом согласно теореме отсчетов интервал выборки должен удовлетворять неравенству:

Δt´ ≤      (3)

С другой стороны, на основании соотношения (1) между интервалами выборки в стационарной и движущейся ИСО можно записать

γΔt ≤      (4)

Поскольку всегда γ>1, отсюда следует:

Δt ≤      (5)

Таким образом, для безыскажающего восстановления сигнала в движущейся ИСО интервал выборки этого сигнала в стационарной ИСО должен быть уменьшен в γ раз по сравнению интервалом в случае постановки задачи, когда дискретизация и восстановление сигнала происходят в одной и той же ИСО. Заметим, что неравенство (5) соответствует релятивисткой формулировке, которая при γ=1 сводится к стандартной теореме отсчетов [3].

Пример восстановления сигнала в движущейся ИСО

Рассмотрим единичный гармонический сигнал:

E(t) = cos(2πt)     (6)

Далее, в соответствии с теоремой отсчетов примем в нашем примере интервал выборки:

Δt =       (7)

Тогда согласно соотношению (1):

Δt´ =       (8)

В этом случае в соответствии с выражением (2) для сигнала, который должен быть восстановлен в движущейся ИСО, можно записать:

E(t)´ =     (9)

где:

e(k) = cos(πk/6)     (10)

Результаты компьютерного моделирования восстановления сигнала (6) в соответствии с выражением (9) представлены ниже в графической форме для трех значений Лоренц-фактора (точки на графике соответствуют отдельным отсчетам).

Обсуждение полученных результатов

Из вышеприведенного примера следует, что при восстановлении сигналов в движущейся ИСО могут возникать гармонические искажения, величина которых возрастает с увеличением Лоренц-фактора, если не принять меры к уменьшению интервала выборки в стационарной ИСО согласно (5) [3].

В таблице ниже представлены соответствующие значения коэффициента гармонических искажений (КГИ) в зависимости от величины Лоренц-фактора.

Таблица 1. Коэффициент гармонических искажений в зависимости от γ

Таким образом, КГИ фактически зависит от скорости движущейся ИСО. Следует отметить, что на практике наиболее высокая скорость, которая была достигнута космическим аппаратом «Helios 2», составляет ≈0,0229% скорости света [4], что соответствует величине Лоренц-фактора ≈1,000000026. В вышеприведенном примере КГИ при этом оценивается на уровне ≈0,000001%. Таким образом, что касается рассмотренной постановки задачи, эти искажения в настоящее время находятся в пределах допустимой погрешности измерения.

Выводы

Рассмотрена постановка задача восстановления сигнала в движущейся ИСО по выборке отсчетов, сгенерированной в стационарной ИСО. При этом показано, что при выборе интервала дискретизации необходимо учитывать значение Лоренц-фактора, которое зависит от относительной скорости перемещения движущейся ИСО. В связи с этим предложена расширенная формулировка теоремы отсчетов. Помимо часто теоретического аспекта, рассмотренный подход может быть полезным в соответствующих приложениях, требующих особо высокой точности восстановления сигнала, или при достижении уровня техники, обеспечивающего достаточно высокие скорости космических аппаратов.