Рассмотрим стационарную краевую задачу на области , представленную разрешающими уравнениями в перемещениях [1, c.75]:

в ,        (1)

на .        (2)

Вариационная постановка задача (1), (2):

    в     (3)

на     (4)

Случай прямоугольной области

Проведем триангуляцию прямоугольной области на сетке , и пронумеруем треугольники конечных элементов:

Рисунок 1. Триангуляция области .

Для перехода от непрерывной задачи к дискретной в качестве приближенного решения берем:

,                    (5)

где базисная функция, заданная на области . Конечный элемент, соответствующий внутреннему узлу сетки с координатами и с заданными на нем функциями , имеет вид:

Рисунок 2. Конечный элемент с координатами .

В таблице 1 приведено соответствие областей , базисных функций и их частных производных в узлах сетки [2, с.184].

Таблица 1. Вид базисных функций и их частных производных

Подставляя (5) в (4), получаем:

.

Пусть

,,

,

тогда

.        (6)

Учитывая необходимое и достаточное условие минимума функционала (6), приходим к системе:

,

или

                (7)

где , .

Прямоугольная область состоит из одного основного конечного элемента (рис. 3г) и из восьми видов конечных элементов на границе (рис. 3).

а         б        в

г            д     е         ж         з        и

Рисунок 3. Виды конечных элементов.

Вычисление элементов , и для внутренних узлов

Основные конечные элементы (рис. 3г)

Рассмотрим конечный элемент, соответствующий узлу с координатами . Он имеет пересечения с конечными элементами, координаты которых , , , , , . Следовательно, интегрирование может проводиться только по этим пересечениям. Например, для узлов и интегрирование проводится по областям и (рис. 4).

Рисунок 4. Пересечение конечных элементов для узлов и .

При этом области соответствует функция узла и функция узла . Для области от узла берется функция , а от узла – функция . Таким образом, например, элемент матрицы на данном пересечении будет вычисляться следующим образом:

.

Учитывая это, элементы ,
и
для внутренних узлов вычисляются следующим образом:

,

    ,

    ,

    ,

,

    ,

,

,

    ,

    ,

,

    ,

    ,

,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    .

Введем обозначения:

,    ,    ,

,            ,

,            ,

,                ,

,

,

.

Тогда система (7) в развернутом виде:

        (8)

Вычисление элементов , и для угловых узлов

Угол А

Конечный элемент (рис. 3в)

    ,

,

,

,,    ,    ,    ,

,,

,

.

Система (7) имеет вид:

        (9)

Угол В

Конечный элемент (рис. 3а)

,

,

,

,    ,    ,

,

,

.

Система (7) в развернутом виде:

        (10)

Угол C

Конечный элемент (рис. 3з)

,,

,

    ,

,    ,    ,    ,

    ,

,

,

.

Система (7) имеет вид:

        (11)

Угол D

Конечный элемент (рис. 3и)

,

,

,

,    ,    ,

,

,

.

Система (7) в развернутом виде:

        (12)

Вычисление элементов , и для граничных узлов

Сторона AВ

Конечный элемент (рис. 3д)

,

    ,

,

    ,

,

,    ,    ,    ,

,

,

,

,

    ,

    .

Система (7) приобретает вид:

        (13)

Сторона ВС

Конечный элемент (рис. 3б)

,,

    ,

    ,

,

,    ,    ,    ,

,

    ,

,

    ,

    ,

.

Система (7) в развернутом виде:

        (14)

Сторона СD

Конечный элемент (рис. 3е)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Система (7) имеет вид:

        (15)

Сторона АD

Конечный элемент (рис. 3ж)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Система (7) в развернутом виде:

        (16)

Случай трапециевидной области

Рассмотрим аппроксимацию поставленной задачи методом конечных элементов, где трапеция , а . Проведем триангуляцию области с шагами , , (рис. 5).

Вычисление коэффициентов , и , соответствующих конечным элементам 8 – 13 было рассмотрено в случае прямоугольной области. Остановимся подробнее на каждом из элементов 1 – 7.

Рис. 5. Триангуляция трапециевидной области.

Вычисление элементов , и для внутренних узлов

треугольной области

Основные конечные элементы 3 (рис.5)

На сетке , базисные функции и их частные производные представлены в таблице 2.

Таблица 2. Вид базисных функций и их частных производных

Тогда

,    ,

,    ,    ,

,    ,    ,

Элементы не изменятся. Тогда система (7) приобретает вид:

        (17)

Вычисление элементов , и для внутренних узлов

границы изменения области AD

Конечные элементы 6 (рис.5)

Базисные функции и их частные производные представлены в таблице 3.

Таблица 3. Вид базисных функций и их частных производных

Элементы ,
и
для внутренних узлов границы изменения области вычисляются следующим образом:

,    ,

,    , ,

, , ,

Элементы не изменятся и система (7) в развернутом виде:

    (18)

Вычисление элементов , и для угловых узлов

Угол Е

Конечный элемент 1 (рис.5)

,    ,        ,

,    ,    ,

,    ,    .

Таким образом, система (7) принимает вид:

                (19)

Угол D

Конечный элемент 7 (рис.5)

,    ,        ,    

,    ,    ,    

,    ,    ,    .

Система (7) в развернутом виде:

    (20)

Вычисление элементов , и для граничных узлов

треугольной области

Сторона АЕ

Конечные элементы 2 (рис.5)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Система (7) принимает вид:

            (21)

Вычисление элементов , и для граничных узлов

треугольной области

Сторона ЕD

Конечные элементы 4 (рис.5)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Следовательно, система (7) примет вид:

    (22)

Вычисление элементов , и для граничного узла А

Конечный элемент 5 (рис.5)

, , , ,

,

, , , ,

,

,    ,    ,    .

Система (7) в развернутом виде:

    (23)