(1)

; (2)

 (3)

 (4)

 (5)

При записи системы дифференциальных уравнений (1)-(5) использованы следующие обозначения: , безразмерные температура, магнитная индукция, функция тока и напряженность вихря;  характерные масштабы;  безразмерный внутренний источник теплоты;  размерный внутренний источник теплоты;  размерный тепловой поток тепла, отводящийся от внешней поверхности слоя;  безразмерный текущий радиус;  размерный текущий радиус;  размерные радиусы внутренней и внешней сферы;  полярный угол; коэффициент магнитной вязкости;  электрическая проводимость жидкости;  безразмерная толщина сферического слоя; , , , , безразмерные числа Грасгофа, Рейнольдса, Пекле, магнитное число Рейнольдса, параметр магнитного взаимодействия. Остальные обозначения общепринятые. Постоянная величина J, входящая в уравнение энергии (3), определяет величину джоулевой диссипации. 
В работе при проведении вычислительного эксперимента для температуры задавались следующие граничные условия: на внутренней поверхности слоя  () граничное условие первого рода (постоянное значение температуры), а на внешней поверхности () граничное условие второго рода (отвод тепла) [2]: . Для заданных граничных условий постоянная величина вычислялась по формуле: .
Граничное условие для температуры на оси симметрии: .
Граничные условия для функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции имели следующий вид:

; ;
.

Граничные условия для вихря на границах сферического слоя предполагают линейное изменение его по нормали [5].
Локальные числа Нуссельта на границе внутренней и наружной сферы рассчитывались по формулам:

Осредненные числа Нуссельта вычислялись из соотношений:

 

Численное решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. Для аппроксимации рассчитываемых функций использовались билинейные девятиточечные конечные элементы. Система полученных нелинейных алгебраических уравнений решалась методом итераций с использованием нижней релаксации. В качестве начальных приближений задавались нулевые значения напряженности вихря, температуры, функции тока, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции. Решение считалось достигшим нужной точности, если на текущей итерации для всех расчетных полей модуль разности между новым и старым значением поля в каждом узле становился меньше заданной погрешности. При расчете на каждой «внешней» итерации новых значений температуры, вихря и магнитной индукции, для расчета функции тока из разностного аналога уравнения Пуассона (2) осуществлялся «внутренний» итерационный цикл до достижения заданной степени точности. 
В результате численного решения задачи были получены поля температуры, функции тока, напряженности вихря, магнитной индукции и распределения чисел Нуссельта в сферическом слое.
На рисунках 16 приведены результаты расчетов полей температуры, функции тока, напряженности вихря, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции и распределения чисел Нуссельта. Расчеты проводились для следующих значений безразмерных критериев подобия:

На рисунке 1 приведены результаты расчетов поля температуры. 

а б в г д е ж
Рисунок 1 – Поле температуры: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Для всех режимов теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, а (13,840; 1). Такая же качественная и количественная ситуация сохраняется и для электропроводной жидкости (рис. 1, б). Учет джоулевой диссипации (рис. 1, в) изменяет поле температуры, особенно в экваториальной области. Диапазон изменения температуры (14,620; 1). Учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипацией (рис. 1, г, д), приводит к дальнейшему изменению поля температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, г (9,240; 1,537), а для результата рис. 1, д (19,367; 1). Неучет джоулевой диссипации, несмотря на наличие внутренних источников (стоков) тепла (рис. 1, е, ж), изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, е (11,367; 1), а для результата рис. 1, ж (17,981; 1).
На рисунке 2 приведены результаты расчетов локальных чисел Нуссельта на внутренней (красная линия) и внешней (зеленая линия) поверхности сферического слоя. 

   
а б в г  
д е ж

Рисунок 2 – Распределение локальных чисел Нуссельта: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Следует отметить, что согласно заданному граничному условию для температуры на внешней границе слоя, распределение локальных чисел Нуссельта совпадает с осредненным и принимает постоянное значение 20 (здесь и далее). Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют или максимум (рис. 2, а, б, ж), или минимум (рис. 2, в-е) при значении полярного угла  (экваториальная плоскость). Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта следующие:
37,599; 4,96256,363; 37,599; 4,96256,363; 
29,411; 5,92968,228; 8,028; 3,05032,086; 
50,794; 14,493102,570; 16,198; 1,51943,750; 
59,001; 9,95784,268 соответственно для результатов рис. 2, а-ж.
На рисунке 3 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки. Для результатов, представленных на рис. 3, а, б, ж, жидкость в северном полушарии слоя движется против часовой стрелки (красный цвет значения функции тока положительные), а в южном – по часовой стрелке (синий цвет значения отрицательные). Максимальное значение функции тока соответственно 5,65; 5,65; 6,77. Учет джоулевой диссипации (рис. 3, в), так же как и учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 3, г, д), изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках на противоположное. Максимальное значение функции тока для результатов рис. 3, в-д 5,32; 3,66; 6,62. Неучет джоулевой диссипации, при учете внутренних источников тепла (рис. 3, е), сохраняет направление циркуляции жидкости, а учет внутренних стоков тепла (рис. 3, ж) изменяет направление циркуляции жидкости на противоположное, по сравнению с результатами рис. 3, в-е.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 3 – Поле функции тока: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Максимальное значение функции тока для результата рис. 3, е 4,13.
На рисунке 4 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. В слое (рис. 4) образуются два крупномасштабных вихря. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 4 – Поле напряженности вихря: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

В зависимости от режима структура вихрей, хотя и незначительно, но изменяется. Для результатов рис. 4, а, б, ж в северном полушарии жидкость движется против часовой стрелки (значения напряженности вихря положительные), а в южном – по часовой стрелке (значения отрицательные). Максимальная интенсивность вихрей 5,97·10; 5,97·10; 7,50·10 соответственно для результатов рис. 4, а, б, ж. Для результатов, представленных на рис. 4, в-е, направление движения жидкости изменяется на противоположное. Максимальная интенсивность вихрей соответственно 5,94·10; 4,27·10; 7,61·10; 4,63·10.
На рисунке 5 приведены результаты расчетов поля радиальной и меридиональной составляющей магнитной индукции. Радиальная составляющая магнитной индукции (рис. 5, а-е) в северном полушарии принимает отрицательные значения, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 5 – Поле магнитной индукции. Радиальная составляющая: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, ; ж меридиональная составляющая 

Для результатов рис. 5, а и 5, е в экваториальной части слоя образуются две локальные зоны, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют свой знак (с минуса на плюс и с плюса на минус). Меридиональная составляющая магнитной индукции (рис. 5, ж) принимает положительные значения практически во всем слое, за исключением небольшой области у внутренней границы, в которой значения меридиональной составляющей магнитной индукции отрицательные. Оказалось, что качественно и количественно структура поля меридиональной составляющей магнитной индукции практически не изменяется для рассмотренных режимов. Максимальная интенсивность радиальной составляющей  4,00·10^-4; 5,80·10^-4; 5,61·10^-4; 5,94·10^-4; 5,62·10^-4; 3,76·10^-4 соответственно для результатов рис. 5, а-е, а меридиональной 1,00·10^-2.
Представленные выше результаты получены для значения числа Грасгофа  Ниже приведены результаты, позволяющие проследить влияние увеличения интенсивности конвекции на тепловые и гидродинамические процессы в слое. 
На рисунках 610 приведены результаты для  Значения остальных безразмерных критериев подобия не изменялись. 
На рисунке 6 приведены результаты расчетов поля температуры. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 6 – Поле температуры: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Перенос энергии в слое для всех режимов осуществляется конвекцией. Структура поля температуры изменяется в зависимости от режима. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, а (7,566; 1). Такая же качественная и количественная ситуация сохраняется и для электропроводной жидкости (рис. 6, б). Учет джоулевой диссипации (рис. 6, в) изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры (8,399; 1). Учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 6, г, д), приводит к дальнейшему изменению поля температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, г (5,196; 1,472), а для результата рис. 6, д (11,373; 1). Неучет джоулевой диссипации, несмотря на наличие внутренних источников (стоков) тепла (рис. 6, е, ж), изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, е (4,696; 1), а для результата рис. 6, ж диапазон изменения температуры (12,571; 1).
На рисунке 7 приведены распределения чисел Нуссельта. Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют или максимум (рис. 2, а, б, е), или минимум (рис. 2, в-д, ж) при значении полярного угла . 

   
а                                                            б                                                             в                                                           г

  
д                                                          е                                                           ж

Рисунок 7 – Распределение локальных чисел Нуссельта: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Учет джоулевой диссипации, совместно с учетом источников и стоков тепла (рис. 7, в-д), изменяет распределение локальных чисел Нуссельта по сравнению с результатами рис. 7, а, б. Неучет джоулевой диссипации (рис. 7, е, ж) приводит к изменению распределения локальных чисел Нуссельта. Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта следующие:
37,599; 4,48553,542; 37,599; 4,48553,542;
28,950; 7,62263,279; 7,750; 0,89730,684; 
50,174; 16,49594,693; 16,197; 0,38225,214; 
59,004; 20,688106,304 соответственно для результатов рис. 7, а-ж.
На рисунке 8 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 8 – Поле функции тока: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Для результатов, представленных на рис. 8, а, б, е, жидкость в северном полушарии слоя движется против часовой стрелки (значения функции тока положительные), а в южном – по часовой стрелке (значения отрицательные). Максимальное значение функции тока соответственно 2,08·10; 2,08·10; 1,63·10. Учет джоулевой диссипации (рис. 8, в), так же как и учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 8, г, д), изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках на противоположное. Максимальное значение функции тока для результатов рис. 8, в-д 1,89·10; 1,40·10; 2,26·10. Неучет джоулевой диссипации, при учете внутренних источников тепла (рис. 8, е), изменяет направление циркуляции жидкости, а учет внутренних стоков тепла (рис. 8, ж) сохраняет направление циркуляции жидкости, по сравнению с результатами рис. 8, в-д. Максимальное значение функции тока для результата рис. 8, ж 2,39·10.
На рисунке 9 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 9 – Поле напряженности вихря: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

В слое (рис. 9, а, б, е) образуются два крупномасштабных вихря, в которых жидкость движется против часовой стрелки (значения положительные) в северном полушарии, и по часовой стрелке (отрицательные значения) – в южном. Максимальная интенсивность этих вихрей 2,43·10²; 2,43·10²; 1,64·10² соответственно для результатов рис. 9, а, б, е. Для результатов, представленных на рис. 9, в-д, ж, образуются два среднемасштабных вихря. В северном полушарии жидкость движется по часовой стрелке (значения отрицательные) а в южном – против часовой стрелки (значения положительные). Максимальная интенсивность вихрей составляет величину 2,32·10²; 1,68·10²; 2,96·10²; 3,23·10² соответственно. Неучет джоулевой диссипации при наличии внутренних источников тепла приводит к изменению направления циркуляции жидкости (рис. 9, е). 
На рисунке 10 приведены результаты расчетов поля радиальной составляющей магнитной индукции.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е
Рисунок 10 – Поле радиальной составляющей магнитной индукции: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, 

Значения радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 10) в северном полушарии отрицательные, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней границы. Для результатов рис. 10, а, д в экваториальной части слоя образуются две локальные зоны, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют свой знак (с минуса на плюс и с плюса на минус). Максимальная интенсивность радиальной составляющей  1,13·10^-3; 9,15·10^-4; 8,58·10^-4; 1,06·10^-3; 8,35·10^-4; 1,12·10^-3 соответственно для результатов рис. 10, а-е.
На рисунке 11 приведены результаты расчетов поля меридиональной составляющей магнитной индукции. Значения меридиональной составляющей (рис. 11) положительные практически во всем слое, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, в котором ее значения отрицательные. В зависимости от режима поле меридиональной составляющей магнитной индукции претерпевает, хотя и незначительные, изменения. Эти изменения происходят в экваториальной плоскости, проявляясь в увеличении зоны отрицательных значений меридиональной составляющей, похожей на треугольник, вершина которого стремится к внешней границе слоя. Максимальная интенсивность меридиональной составляющей не превышает значения 1,00·10^-2.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е
Рисунок 11 – Поле меридиональной составляющей магнитной индукции: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, 

Анализ результатов, полученных по предложенной математической модели, позволяет сделать следующие выводы:
для всех режимов в слое образуются две конвективные ячейки и два вихря; 
учет электропроводности жидкости (без учета других факторов) не влияет на теплообмен и гидродинамику жидкости в слое;
учет джоулевой диссипации изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках; 
в структуре радиальной составляющей магнитной индукции при: , и  образуются две дополнительные зоны;
интенсификация конвекции в слое влияет на структуру меридиональной составляющей магнитной индукции;
математическая модель и полученные результаты могут быть полезными при исследовании тепловых и гидродинамических процессов в недрах Земли и других планет.

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Для всех полученных результатов, где каждый рисунок представлен десятью фрагментами, соответствующими режимам их расчета, приняты следующие обозначения:
а(, ГУ-2),
б(, ГУ-2),
в (, ГУ-2),
г (, ГУ-2),
д (, ГУ-2),
е (, ГУ-2),
ж (, ГУ-1),
з (, ГУ-1),
и (, ГУ-1),
к (, ГУ-1). 
Для всех случаев, за исключением результата рис.1, ж, теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Диапазоны изменения температуры для результатов рис. 1, а-к составляют соответственно [19,413; 1], [17,316; 1], [12,500; 1], [10,904; 1], [12,505; 1], [12,500; 1], [0; 1], [0; 1], [0; 1], [0; 1]. Для температурных граничных условий типа ГУ-2 учет джоулевой диссипации и уменьшение параметра магнитного взаимодействия  ведет к уменьшению диапазона изменения температуры, 
На рисунке 2 приведены результаты расчетов локальных чисел Нуссельта на внутренней (красная линия) и внешней (зеленая линия) поверхности сферического слоя. 

    
а                                                          б                                                         в                                                       г                                                        д

    
е                                                        ж                                                        з                                                        и                                                         к

Следует отметить, что согласно заданному граничному условию для температуры на внешней границе слоя (ГУ-2, рис. 2, а-е), распределение локальных чисел Нуссельта совпадает с осредненным и принимает постоянное значение 25 (здесь и далее). Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют минимум в случае граничных условий типа ГУ-2 (рис. 2, а-е), а в случае граничных условий типа ГУ-1 (за исключением результата рис. 2, ж) максимум (на внешней границе слоя) и минимум (на внутренней границе слоя) (рис. 2, з-к) при значении полярного угла  (экваториальная плоскость). Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта:
57,355; 22,06895,105; 47,389; 17,06882,235; 
57,353; 24,65490,148; 46,124; 18,71076,088; 
57,354; 24,65590,150; 57,354; 24,65590,150; 
соответственно для результатов рис. 2, а-е. И для результатов рис. 2, ж-к:
1,569; 0,684; 
5,689; 2,6137,054; 2,480; 0,0525,074; 
3,213; 1,5043,900; 1,401; 0,0383,182; 
2,884; 0,5105,017; 5,581; 0,1968,790. 
На рисунке 3 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки. Для температурных граничных условий ГУ-2 и ГУ-1 жидкость в северном полушарии слоя движется по часовой стрелке (синий цвет значения функции тока отрицательные), а в южном против часовой стрелки (красный цвет значения положительные) (рис. 3, а-е, з-к). Исключение составляет результат, полученный в режиме теплопроводности при значении числа Грасгофа (рис. 3, ж). Максимальное значение функции тока соответственно 1,51·10; 1,42·10; 4,91·10; 4,57·10; 4,91·10; 4,91·10; 8,32·10^-6; 4,75·10; 1,04·10; 1,53·10. 

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

На рисунке 4 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. Для всех режимов в слое, за исключением случая, представленного на рис. 4, ж, образуются два крупномасштабных вихря. В зависимости от режима структура вихрей, хотя и незначительно, но изменяется. Для результатов рис. 4, а-е, з-к в северном полушарии жидкость движется по часовой стрелке (синий цвет значения отрицательные), а в южном против часовой стрелки (красный цвет значения положительные). Для температурных граничных условий ГУ-1 форма вихрей отлична от формы вихрей при температурных граничных условий ГУ-2 (рис. 4, ж, и, к).

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Для результата, представленного на рис. 4, ж, вблизи внутренней границы слоя образуются еще два мелкомасштабных вихря, в которых направление движения жидкости изменяется на противоположное по сравнению с направлением движения жидкости в крупномасштабных вихрях. Максимальная интенсивность вихрей 8,55·10; 7,91·10; 2,96·10²; 2,71·10²; 2,96·10²; 2,96·10²; 4,89·10^-5; 2,88·10²; 6,02·10; 7,62·10 соответственно для результатов рис. 4, а-к. 
На рисунке 5 приведены результаты расчетов поля радиальной составляющей магнитной индукции. 

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Радиальная составляющая магнитной индукции для всех случаев в северном полушарии принимает отрицательные значения, за исключением небольшой области вблизи внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области вблизи внутренней поверхности слоя. В экваториальной части слоя у внутренней границы слоя образуются две небольшие области, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют знак (с плюса на минус). В зависимости от режима структура вихрей претерпевает, хотя и небольшие, изменения. Максимальное значение радиальной составляющей магнитной индукции в слое  1,23·10^-3; 1,24·10^-3; 2,58·10^-3; 2,52·10^-3; 2,58·10^-3; 2,58·10^-3; 8,55·10^-4; 2,55·10^-3; 1,03·10^-3; 1,13·10^-3соответственно для результатов рис. 5, а-к.
На рисунке 6 приведены результаты расчетов поля меридиональной составляющей магнитной индукции. Меридиональная составляющая магнитной индукции для всех случаев принимает положительные значения практически во всем слое, за исключением области у внутренней границы слоя, в которой значения меридиональной составляющей магнитной индукции отрицательные. В зависимости от режима структура поля меридиональной составляющей магнитной индукции в слое изменяется. Максимальное значение меридиональной составляющей магнитной индукции в слое 1,00·10^-2; 1,00·10^-2; 1,05·10^-2; 1,04·10^-2; 1,05·10^-2; 1,05·10^-2; 1,00·10^-2; 1,07·10^-2; 1,00·10^-2; 1,00·10^-2; соответственно для результатов рис. 5, а-к.

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
для всех режимов и температурных граничных условий (за исключением случая при ) теплообмен в слое осуществляется конвекцией; 
характер изменения распределений чисел Нуссельта при ГУ-1 и Гу-2 имеет значительные отличия;
при ГУ-2 учет джоулевой диссипации приводит к уменьшению диапазона изменения температуры, значений функции тока и вихря в слое при тех же самых критериях подобия;
для всех режимов и температурных граничных условий в расчетной области образуются две конвективные ячейки и два вихря с одинаковой структурой течения, за исключением случая при . Форма вихрей при ГУ-1 и Гу-2 различна; 
структура радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции зависит от безразмерных критериев подобия и типа граничного условия для температуры;
полученные результаты могут быть применены для моделирования различных условий при изучении тепловых и гидродинамических процессов в сферических слоях, например в жидком ядре Земли.