Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [1].

По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные. СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью) [2].

В данной статье рассматривается двухканальная СМО с отказами и ее вероятностные характеристики, а именно вероятности состояний как функции времени и их финальные вероятности.

Сначала построим математическую модель системы. Выделим состояния двухканальной СМО с отказами:

S₀ – в СМО все каналы свободны (нет заявок);

S₁ – в СМО занят один канал, второй канал свободен (1 заявка);

S₂ – в СМО заняты оба канала (2 заявки).

Схема двухканальной СМО с отказами приведена на рисунке 1. Поток заявок с интенсивностью λ переводит систему из состояния S0 в состояние S1, из состояния S1 в состояние S2. Перевод системы из состояния S1 в состояние S0 осуществляет поток обслуживаний с интенсивностью μ.  Перевод системы из состояния S2 в состояние S1 осуществляет поток событий, который представляет собой сумму двух потоков обслуживаний обоих занятых каналов, каждый из которых имеет интенсивность μ. Сумма этих двух простейших потоков обслуживаний представляет собой также простейший поток интенсивностью 2μ.

Рис. 1. Схема двухканальной СМО с отказами

Составим математическую модель. Пользуясь графом состояний, запишем уравнения Колмогорова:

Для нахождения финальных вероятностей приравняем к 0 производные в уравнениях Колмогорова:

Сложив все уравнения, получим верное равенство 0=0. Это значит, что уравнения линейно зависимы и одно из уравнений можно из системы удалить. Заменим второе уравнение уравнением нормировки:

Получим систему:

Выразим из первого уравнения p0(t), из второго – p2(t) и подставим в третье уравнение:

Выразим из третьего уравнения p1(t):

И подставим в систему (1):

Для проверки полученного решения (2) воспользуемся формулами Эрланга:

Для данной системы получим:

Значения финальных вероятностей, полученных с помощью формул Эрланга, совпали со значениями (2). Следовательно, значения финальных вероятностей найдены верно.

Для нахождения вероятности состояний как функции времени воспльзуемся средой Turbo Pascal. В учебнике Трубникова С.В. «Стохастические и имитационные модели» описана процедура, которая  решает задачу Коши для системы из m обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка на отрезке [a,b] методом Рунге-Кутта. Отрезок [a,b] разбивается на Nn равных частей и приближенное решение определяется в точках разбиения. Число Nn подбирается по правилу Рунге исходя из требуемой погрешности e. Начальные условия задаются в точке a. Исходные данные: a и b – координаты концов отрезка; e – требуемая точность; m – число уравнений в системе (1<=m<=100); значения m неизвестных функций в точке a (их необходимо поместить в файле input.pas до выполнения этой процедуры); f(p,x,u) – функция, задающая правые части дифференциальных уравнений (здесь p – номер дифференциального уравнения, x – независимая переменная, а u – массив зависимых переменных, обозначающих неизвестные функции) [3].

Результаты работы процедуры: приближенные значения неизвестных функций в последующих точках разбиения (они вычисляются и помещаются в файл output.pas); Флажок fl (он примет значение 1, если заданная точность достигнута, и 0 – в противном случае). В программе также описывается функция f(p,x,u) и вводятся значения необходимых исходных данных.

Для тестирования программы зададим интенсивности. Пусть  λ= 2, µ = 2. Начальные условия: p₀(t) = 1, p₁(t) = 0, p₂(t) = 0. Исходные данные: m=3, e=0,0000001, a=0, b=10. В файле output.pas появятся значения (рисунок 2).

Рис. 2. Тестирование программы

Проверим выполняется ли уравнение нормировки для t = 10:

p₀(t) + p₁(t) + p₂(t) = 0,4+0,4+0,2=1 – верно.

При подстановке в формулы финальных вероятностей (2), значений λ= 2, µ = 2

Значения совпали. Тестирование программы прошло успешно.

Реализуем компьютерную модель. Для этого перенесем данные, полученные в файле output.pas в табличный процессор Excel для всех возможных начальных условий:

1) p₀(t) = 1, p₁(t) = 0, p₂(t) = 0;

2) p₀(t) = 0, p₁(t) = 1, p₂(t) = 0;

3) p₀(t) = 0, p₁(t) = 0, p₂(t) = 1

И построим графики по получившимся таблицам. Для каждого случая компьютерная модель изображена на рисунке 3, 4, 5 соответственно.

Из графиков видно, что вероятность состояния, в котором первоначально была система, с увеличением t уменьшается до определенного уровня, затем стабилизируется (вероятность становится финальной). В остальных же состояниях с увеличением t вероятности увеличиваются, затем также стабилизируются. Суммы вероятностей всех состояний на протяжении всего времени остаются равны единице.

Однако у ряда подобных систем имеется существенный недостаток. Ввиду того, что система не различает людей по каким-либо факторам, процессы тестирования проверяют всех одинаково, что несет за собой ухудшение общего КПД системы, перерасход времени использования оборудования, вследствие чего замедляется сам процесс аттестации.

В данном случае помочь справиться с негативными факторами может применение теории систем массового обслуживания. Грамотное распределение очередей заявок по обслуживающим устройствам с учётом свойств той или иной заявки, с правильным распределением времени обслуживания, может сократить, как общее количество времени на обслуживание потока заявок, так и повысить качество проведение аттестации.

Образовательный процесс, рассматриваемый в данной работе, подразумевает под собой процесс прохождения группой студентов случайной величины тестирования знаний за определённый отрезок времени, используя конечное число обслуживающих устройств. Таким образом, процесс схож с классическими задачами систем массового обслуживания, однако, в отличие от последних, в рассматриваемой задаче отсутствует явный закон, описывающий вероятности прибытия заявок в определённый момент времени. Помимо имитационной части, в систему необходимо внедрить алгоритм генерирования тестов, основанный на динамических параметрах системы. Создание данного алгоритма рассмотрим в последующих главах.

Каждый из перечисленных объектов обладает уникальными для него наборами свойств и параметров. Определим границы модели, для этого зададим логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы. На входе программы необходимо определить общее время течения эксперимента, определить минимальные и максимальные значения для динамических параметров:

- Минимальное время обслуживание одной заявки;

- Минимальное время задержки заявки в очереди перед поступлением на обслуживание;

- Максимальное время обслуживание одной заявки;

- Максимальное время задержки заявки в очереди перед поступлением на обслуживание;

- Минимальное количество вопросов в генерируемом тесте;

- Минимальное количество заявок, которые могут поступить в ходе выполнения эксперимента;

- Максимальное количество заявок, которое может поступить в ходе выполнения эксперимента.

Таким образом, рассматриваемая система представляет собой процесс, графически представленный на рисунке 1

Рисунок 1 – Общая схема процесса

Ввиду наличия заявок различного типа (троечники, ударники, отличники), целесообразно разбить входящий поток на составляющие. Каналы обслуживания же, напротив, как правило, имеют приближенные характеристики и несущественно влияют на прохождение тестирования.

В качестве среды для разработки имитационной модели образовательного процесса был выбран язык программирования Python.

Для разработки программной реализации необходимо;

- Разработать архитектуру программы;

- Определить необходимые переменные, их типы и первоначальные значения;

- Описать классы и необходимые функции;

- Выбрать пакеты, необходимые для реализации;

- Выбрать среду разработки;

- Выбрать средства разработки;

- Определить, специфику вывода информации;

- Разработать макет пользовательского интерфейса.

В ходе работы, выделилась архитектура программы, представленная на рисунке 2.

Рисунок 2 – Архитектура программы

Разработка программного продукта велась средствами языка Python [1] и библиотеки SciPy. [2]

В рамках тестирования программного продукта и для определения уровня адекватности модели, необходимо оценить полученные при помощи нее данные.

В рамках первого эксперимента зададим следующие входные параметры:

- общее время эксперимента – 10 минут (600 секунд);

- число каналов обслуживания – 5;

- максимальное число заявок – 30

- минимальное время обслуживания одной заявки – 5минут (300 секунд);

- балл для допуска к тесту на оценку отлично – 60;

- балл для допуска к тесту на оценку хорошо – 50;

- балл для допуска к тесту на оценку удовлетворительно – 40;

- вероятность прибытия новой заявки – 5%.

Как и следовало ожидать, в процессе моделирования в системе возникала большая очередь заявок, в связи с малым количеством устройств обслуживания и достаточно высоким значением минимального времени обслуживания. На рисунке 3 видно, что ближе к концу моделирования в очереди находилось 14 заявок.

Рисунок 3. – Очередь заявок

В этом случае график принимает вид, представленный на рисунке 4.

Рисунок 4. – Графическое представление результатов моделирования

Также проведем эксперименты, где в качестве входных параметров установим часто используемые форматы проведения тестирования в образовательных организациях. К примеру, возьмем случай проведения тестирования группы численностью в 30 человек, на 10 компьютерах, в течение полутора часов. При этом в первом случае установим жесткое значение времени обслуживания одной заявки равное 30 минутам, в другом случае, позволим программному алгоритму задавать время на обслуживание каждой заявки.

Результаты первого эксперимента в графическом виде представлены на рисунке 5.

Рисунок 5. – Графическое представление результатов первого эксперимента.

Из диаграммы видно, что при заданных условиях обслуживания происходит большое количество потерь, связанное с высокой занятостью устройств обслуживания. При этом среднее время обслуживания составило 1768, что обуславливается заявками, не допущенными до прохождения обслуживания.

Рассмотрим диаграмму, заданную теми же условиями, но с возможностью программного регулирования времени обслуживания. Диаграмма представлена на рисунке 6.

Рисунок 6. – Графическое представление результатов второго эксперимента

На второй диаграмме заметно снижение числа потерь (первый столбец) заявок. При этом среднее время обслуживания в этом эксперименте составило 1113 секунд на заявку. При этом на заявки с большим числом вопросов отдано больше времени, что позволяет более рационально использовать время отведённое для проведения тестирования, и более качественно оценивать знания обучающихся.

Исходя из полученных результатов, можно заключить, что разработанная программная модель обладает достаточной достоверностью, и адекватностью и может быть использована для проведения имитационных экспериментов.