Рис. 1. Классификация математических моделей по способу представления свойств объекта

Аналитические математические модели используют математические выражения для получения выходных параметров как функций от входных параметров, алгоритмические модели – алгоритм или несколько алгоритмов, которые определяют функционирование модели. Имитационная модель предназначена для исследования возможных путей изменения модели при различных значениях параметров.Аналитическое моделирование. Аналитическая модель в [2, с. 53] определяется как математическое описание структуры и процесса функционирования системы, а также методика определения показателей ее эффективности. Такая модель позволяет быстро и с высокой точностью характеризовать поведение системы.

При аналитическом моделировании устанавливаются зависимости между входными и выходными параметрами системы. Эти зависимости описываются с помощью различных уравнений (алгебраические, дифференциальные, интегральные и др.). Аналитическое моделирование используется для учета не очень большого числа параметров. Задачи, которые требуют большего числа параметров, решают с помощью методов имитационного моделирования. Аналитические модели активно используются для описания СМО (Систем массового обслуживания). СМО называется система, которая служит для обслуживания потока заявок. 
Рассмотрим СОИ, представленную на рисунке 2.

Рис. 2. Формализованная схема СОИ, содержащая ПЭВМ, канал и сервер

В схеме используются следующие обозначения:
ОА_Дi - обслуживающий аппарат, имитирующий дообработку на i-той рабочей станции сети запроса от этой станции к серверу после обработки запроса на сервере;
ОА_фi - обслуживающий аппарат, имитирующий формирование запроса от i-той рабочей станции к серверу; ( i = 1…N );
Б_К - буфер, имитирующий очередь запросов к каналу;
ОА_К - обслуживающий аппарат, имитирующий задержку при передаче данных через канал;
Б_п - буфер, имитирующий очередь запросов к процессорам;
ОА_п - обслуживающие аппараты, имитирующие работу процессоров.
Б_дi - буфер, имитирующий очередь запросов к i-му диску;
ОА_дi - обслуживающий аппарат, имитирующий работу i-го диска.
Р – вероятность обращения запроса к ЦП после обработки на диске. Обслуживание
заявок во всех ОА подчиняется экспоненциальному закону.
Данная СОИ обслуживает заявки, поступающие от рабочих станций к серверу. Эти заявки формируются через определенные временные промежутки. Заявки поступают на обслуживающие аппараты. Так же в системе предусмотрена задержка при передаче заявки по каналу, возможность дообработки заявки. 
Аналитическая модель этой СОИ может быть построена с помощью использования следующих формул:

1. (1)

где  - среднее значение суммарной интенсивности фонового потока запросов, выходящих из ОА, имитирующих работу рабочих станций, в канал;
 - среднее количество проходов запроса по тракту процессор – диски за время одного цикла его обработки в системе;
- среднее значение времени обработки запроса в канале передачи данных;
- среднее значение времени обработки запроса в ЦП сервера;
- среднее значение времени обработки запроса в диске сервера;
N - количество рабочих станций;
 - вероятность обращения к i-му диску сервера. 
К1 принимает значения в диапазоне 0.9…0.999995, по умолчанию 0,995.

2. (2.1)

(2.2)

(2.3)

где - среднее время пребывания запроса в канале;

- среднее время пребывания запроса в процессоре;
 - среднее время пребывания запроса в дисках;
С - число процессоров сервера.

3. ,(3)

где - интенсивность фонового потока после очередной итерации.

4. После вычислений по формулам (1-3) сравниваем . Если , то переходим к пункту 5, иначе продолжаем вычисление по формулам (4.1-4.2). - может принимать значения в диапазоне от 0,000001 до 0,9. По умолчанию 0,05.

,   (4.1)

,  (4.2)

где К2 принимает значения в диапазоне 10…100000, по умолчанию 100.

Переход на пункт 2.
5. Определение выходных результатов аналитической модели для  производится по формулам (2). С помощью формул ниже определяются остальные выходные характеристики СОИ.

    (5.1)

    (5.2)

    (5.3)

    (5.4)

    (5.5)

    (5.5)

где - загрузка рабочей станции;

- загрузка пользователя;
- среднее время цикла системы;
- среднее время формирования запроса;
- среднее время дообработки запроса;
- загрузка канала;
- загрузка диска.

Реализация аналитической модели СОИ. Программная реализация аналитической модели с использованием формул (1-5) написана на языке программирования С#. Форма взаимодействия с пользователем представлена на рисунке 3.

Рис. 3. Интерфейс программы “Аналитическая модель СОИ”

В табл. 1 представлены входные и выходные параметры модели СОИ.

Входные	Выходные
Количество рабочих станций (N)	Загрузка рабочей станции
Среднее время дообработки запроса на РС (То)	Загрузка пользователя рабочей станции
Среднее время формирования запроса на РС (Тр)	Среднее количество работающих РС
Среднее время передачи через канал в прямом направлении	Загрузка канала
Среднее время передачи через канал в обратном направлении	Загрузка процессора
Количество процессоров (С)	Загрузка диска i-го диска i=1,m
Среднее время обработки запроса на процессоре (tпр)	Среднее время цикла системы
Количество дисков (m);	Среднее время реакции системы
Среднее время обработки запроса на диске (tдi)	Начальная интенсивность фонового потока
Вероятность обращения запроса к ЦП после обработке на диске (P)	Конечная интенсивность фонового потока
Коэффициент К1 (по умолчанию – 0,995)	Количество итераций
Коэффициент К2 (по умолчанию – 100)
Дельта ∆ (по умолчанию – 0,05)
Количество знаков после запятой (по умолчанию -3)

Проведение экспериментов на модели СОИ. С помощью аналитической модели была промоделирована работа СОИ. Эксперименты были проведены для различного количества рабочих станций, процессоров, дисков, времен формирования, обработки и дообработки заявки, для систем без дообработки и с дообработкой заявки. Исходные данные и результаты моделирования для некоторых экспериментов приведены в табл. 2.

Также с помощью аналитической модели установлено, что при различных К1, К2, ∆ результаты отличаются не значительно, кроме показателя – количество итераций. При использовании приведенного выше подхода к аналитическому моделированию целесообразно использовать значения по умолчанию для К1, К2, ∆, кроме случаев, когда необходима высокая точность вычислений. 
Имитационное моделирование. Имитационное моделирование – это метод, который позволяет строить и получать модели тех ситуаций, которые бы происходили в действительности. Моделирование можно проводить на определенном временном интервале. С помощью данной особенности имитационных моделей можно наблюдать, как система ведет себя в течение времени. [3, c.48] Это бывает полезно, когда система сложная, и ученым или исследователям не понятно, как будет вести себя система через некоторый квант времени (через час, день и т.д.).
Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
Широко использующимся языком моделирование на сегодняшний день является GPSS. Язык GPSS зарекомендовал себя, как хороших язык имитационного моделирования для систем массового обслуживания и систем, которые могут быть формализованы в качестве систем массового обслуживания. 
Модель на языке GPSS представляет собой последовательность операторов. Каждому оператору свойственно свое (особое) поведение
В интерпретаторах языка GPSS событийный метод обработки. В модели может быть сразу несколько транзактов. Транзакт – это абстрактный объект, который перемещается между статическими объектами (операторами языка GPSS), воспроизводя определенное поведение реального объекта. Интерпретатор обслуживает транзакты в определенном порядке (FIFO, LIFO), тем самым имитируя продвижения транзактов по имитационной модели. [4] 
Рассмотренная выше система относится к классу систем массового облуживания. Соответственно, можно составить имитационную модель данной системы и проверить результаты аналитического моделирования. 
В модели задается количество рабочих станций, время обработки запроса на рабочей станции, время дообработки запроса, время передачи через канал, количество процессоров, время обработки заявки на процессоре, количество дисков, время обработки на диске. Сравним результаты аналитического и имитационного моделирования. Результаты имитационного моделирования, а также входные данные приведены в таблице 3.

Таблица 3. Результаты имитационного моделирования.

Из приведенных результатов видно, что имитационно моделирование достаточно хорошо согласуется с аналитическим моделированием. Разница в результатах моделирования не превышает 7-8%, что вполне приемлемо для инженерных расчетов.

Заключение. В статье были рассмотрены 2 подхода к анализу систем массового обслуживания: аналитический метод и имитационный метод. При проведении нескольких экспериментов получились хорошо согласующиеся между собой результаты. Погрешность между двумя данными методами составляет не более 7-8%, что является хорошим показателем для инженерных расчетов. Поэтому, для анализа систем массового обслуживания на практике используют комбинацию двух данных методов. Сначала используют аналитическое моделирование, затем проверяют результаты на имитационных моделях. Комбинация двух данных методов позволяет получить приемлемый результат, а также сократить количество ошибок и неверных решений.

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [1].

По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные. СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью) [2].

В данной статье рассматривается двухканальная СМО с отказами и ее вероятностные характеристики, а именно вероятности состояний как функции времени и их финальные вероятности.

Сначала построим математическую модель системы. Выделим состояния двухканальной СМО с отказами:

S₀ – в СМО все каналы свободны (нет заявок);

S₁ – в СМО занят один канал, второй канал свободен (1 заявка);

S₂ – в СМО заняты оба канала (2 заявки).

Схема двухканальной СМО с отказами приведена на рисунке 1. Поток заявок с интенсивностью λ переводит систему из состояния S0 в состояние S1, из состояния S1 в состояние S2. Перевод системы из состояния S1 в состояние S0 осуществляет поток обслуживаний с интенсивностью μ.  Перевод системы из состояния S2 в состояние S1 осуществляет поток событий, который представляет собой сумму двух потоков обслуживаний обоих занятых каналов, каждый из которых имеет интенсивность μ. Сумма этих двух простейших потоков обслуживаний представляет собой также простейший поток интенсивностью 2μ.

Рис. 1. Схема двухканальной СМО с отказами

Составим математическую модель. Пользуясь графом состояний, запишем уравнения Колмогорова:

Для нахождения финальных вероятностей приравняем к 0 производные в уравнениях Колмогорова:

Сложив все уравнения, получим верное равенство 0=0. Это значит, что уравнения линейно зависимы и одно из уравнений можно из системы удалить. Заменим второе уравнение уравнением нормировки:

Получим систему:

Выразим из первого уравнения p0(t), из второго – p2(t) и подставим в третье уравнение:

Выразим из третьего уравнения p1(t):

И подставим в систему (1):

Для проверки полученного решения (2) воспользуемся формулами Эрланга:

Для данной системы получим:

Значения финальных вероятностей, полученных с помощью формул Эрланга, совпали со значениями (2). Следовательно, значения финальных вероятностей найдены верно.

Для нахождения вероятности состояний как функции времени воспльзуемся средой Turbo Pascal. В учебнике Трубникова С.В. «Стохастические и имитационные модели» описана процедура, которая  решает задачу Коши для системы из m обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка на отрезке [a,b] методом Рунге-Кутта. Отрезок [a,b] разбивается на Nn равных частей и приближенное решение определяется в точках разбиения. Число Nn подбирается по правилу Рунге исходя из требуемой погрешности e. Начальные условия задаются в точке a. Исходные данные: a и b – координаты концов отрезка; e – требуемая точность; m – число уравнений в системе (1<=m<=100); значения m неизвестных функций в точке a (их необходимо поместить в файле input.pas до выполнения этой процедуры); f(p,x,u) – функция, задающая правые части дифференциальных уравнений (здесь p – номер дифференциального уравнения, x – независимая переменная, а u – массив зависимых переменных, обозначающих неизвестные функции) [3].

Результаты работы процедуры: приближенные значения неизвестных функций в последующих точках разбиения (они вычисляются и помещаются в файл output.pas); Флажок fl (он примет значение 1, если заданная точность достигнута, и 0 – в противном случае). В программе также описывается функция f(p,x,u) и вводятся значения необходимых исходных данных.

Для тестирования программы зададим интенсивности. Пусть  λ= 2, µ = 2. Начальные условия: p₀(t) = 1, p₁(t) = 0, p₂(t) = 0. Исходные данные: m=3, e=0,0000001, a=0, b=10. В файле output.pas появятся значения (рисунок 2).

Рис. 2. Тестирование программы

Проверим выполняется ли уравнение нормировки для t = 10:

p₀(t) + p₁(t) + p₂(t) = 0,4+0,4+0,2=1 – верно.

При подстановке в формулы финальных вероятностей (2), значений λ= 2, µ = 2

Значения совпали. Тестирование программы прошло успешно.

Реализуем компьютерную модель. Для этого перенесем данные, полученные в файле output.pas в табличный процессор Excel для всех возможных начальных условий:

1) p₀(t) = 1, p₁(t) = 0, p₂(t) = 0;

2) p₀(t) = 0, p₁(t) = 1, p₂(t) = 0;

3) p₀(t) = 0, p₁(t) = 0, p₂(t) = 1

И построим графики по получившимся таблицам. Для каждого случая компьютерная модель изображена на рисунке 3, 4, 5 соответственно.

Из графиков видно, что вероятность состояния, в котором первоначально была система, с увеличением t уменьшается до определенного уровня, затем стабилизируется (вероятность становится финальной). В остальных же состояниях с увеличением t вероятности увеличиваются, затем также стабилизируются. Суммы вероятностей всех состояний на протяжении всего времени остаются равны единице.

Однако у ряда подобных систем имеется существенный недостаток. Ввиду того, что система не различает людей по каким-либо факторам, процессы тестирования проверяют всех одинаково, что несет за собой ухудшение общего КПД системы, перерасход времени использования оборудования, вследствие чего замедляется сам процесс аттестации.

В данном случае помочь справиться с негативными факторами может применение теории систем массового обслуживания. Грамотное распределение очередей заявок по обслуживающим устройствам с учётом свойств той или иной заявки, с правильным распределением времени обслуживания, может сократить, как общее количество времени на обслуживание потока заявок, так и повысить качество проведение аттестации.

Образовательный процесс, рассматриваемый в данной работе, подразумевает под собой процесс прохождения группой студентов случайной величины тестирования знаний за определённый отрезок времени, используя конечное число обслуживающих устройств. Таким образом, процесс схож с классическими задачами систем массового обслуживания, однако, в отличие от последних, в рассматриваемой задаче отсутствует явный закон, описывающий вероятности прибытия заявок в определённый момент времени. Помимо имитационной части, в систему необходимо внедрить алгоритм генерирования тестов, основанный на динамических параметрах системы. Создание данного алгоритма рассмотрим в последующих главах.

Каждый из перечисленных объектов обладает уникальными для него наборами свойств и параметров. Определим границы модели, для этого зададим логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы. На входе программы необходимо определить общее время течения эксперимента, определить минимальные и максимальные значения для динамических параметров:

- Минимальное время обслуживание одной заявки;

- Минимальное время задержки заявки в очереди перед поступлением на обслуживание;

- Максимальное время обслуживание одной заявки;

- Максимальное время задержки заявки в очереди перед поступлением на обслуживание;

- Минимальное количество вопросов в генерируемом тесте;

- Минимальное количество заявок, которые могут поступить в ходе выполнения эксперимента;

- Максимальное количество заявок, которое может поступить в ходе выполнения эксперимента.

Таким образом, рассматриваемая система представляет собой процесс, графически представленный на рисунке 1

Рисунок 1 – Общая схема процесса

Ввиду наличия заявок различного типа (троечники, ударники, отличники), целесообразно разбить входящий поток на составляющие. Каналы обслуживания же, напротив, как правило, имеют приближенные характеристики и несущественно влияют на прохождение тестирования.

В качестве среды для разработки имитационной модели образовательного процесса был выбран язык программирования Python.

Для разработки программной реализации необходимо;

- Разработать архитектуру программы;

- Определить необходимые переменные, их типы и первоначальные значения;

- Описать классы и необходимые функции;

- Выбрать пакеты, необходимые для реализации;

- Выбрать среду разработки;

- Выбрать средства разработки;

- Определить, специфику вывода информации;

- Разработать макет пользовательского интерфейса.

В ходе работы, выделилась архитектура программы, представленная на рисунке 2.

Рисунок 2 – Архитектура программы

Разработка программного продукта велась средствами языка Python [1] и библиотеки SciPy. [2]

В рамках тестирования программного продукта и для определения уровня адекватности модели, необходимо оценить полученные при помощи нее данные.

В рамках первого эксперимента зададим следующие входные параметры:

- общее время эксперимента – 10 минут (600 секунд);

- число каналов обслуживания – 5;

- максимальное число заявок – 30

- минимальное время обслуживания одной заявки – 5минут (300 секунд);

- балл для допуска к тесту на оценку отлично – 60;

- балл для допуска к тесту на оценку хорошо – 50;

- балл для допуска к тесту на оценку удовлетворительно – 40;

- вероятность прибытия новой заявки – 5%.

Как и следовало ожидать, в процессе моделирования в системе возникала большая очередь заявок, в связи с малым количеством устройств обслуживания и достаточно высоким значением минимального времени обслуживания. На рисунке 3 видно, что ближе к концу моделирования в очереди находилось 14 заявок.

Рисунок 3. – Очередь заявок

В этом случае график принимает вид, представленный на рисунке 4.

Рисунок 4. – Графическое представление результатов моделирования

Также проведем эксперименты, где в качестве входных параметров установим часто используемые форматы проведения тестирования в образовательных организациях. К примеру, возьмем случай проведения тестирования группы численностью в 30 человек, на 10 компьютерах, в течение полутора часов. При этом в первом случае установим жесткое значение времени обслуживания одной заявки равное 30 минутам, в другом случае, позволим программному алгоритму задавать время на обслуживание каждой заявки.

Результаты первого эксперимента в графическом виде представлены на рисунке 5.

Рисунок 5. – Графическое представление результатов первого эксперимента.

Из диаграммы видно, что при заданных условиях обслуживания происходит большое количество потерь, связанное с высокой занятостью устройств обслуживания. При этом среднее время обслуживания составило 1768, что обуславливается заявками, не допущенными до прохождения обслуживания.

Рассмотрим диаграмму, заданную теми же условиями, но с возможностью программного регулирования времени обслуживания. Диаграмма представлена на рисунке 6.

Рисунок 6. – Графическое представление результатов второго эксперимента

На второй диаграмме заметно снижение числа потерь (первый столбец) заявок. При этом среднее время обслуживания в этом эксперименте составило 1113 секунд на заявку. При этом на заявки с большим числом вопросов отдано больше времени, что позволяет более рационально использовать время отведённое для проведения тестирования, и более качественно оценивать знания обучающихся.

Исходя из полученных результатов, можно заключить, что разработанная программная модель обладает достаточной достоверностью, и адекватностью и может быть использована для проведения имитационных экспериментов.