(1)

где , М – общая масса зерна, г, N – число зерен в массе M, γ – плотность материала, г/см³. 
В результате математической обработки данных [3] для зерен карбида кремния черного получили соотношение: , R²=0,999. 
Необходимо отметить, что данные [3] относятся лишь к зернам основных фракций указанных зернистостей. Согласно [4], средняя ширина зерен карбида кремния черного основной фракции зернистости F46 составляет 425 мкм, а для всей зернистости она изменяется от 546 до 371 мкм. 
Количество зерен в единице массы основной фракции авторы [3] предлагают вычислять по формуле 
     (2)

Число зерен в единице массы для шлифпорошков карбида кремния черного может быть определено по формуле [2]:

      (3)

где l и b – средняя длина и ширина зерен зернистости, мкм. Данная формула получена для зернистости в целом. 
Имеющиеся данные о размерах зерен порошков карбида кремния черного получены с использованием устаревших стандартов на зерновой состав шлифовальных порошков: ГОСТ 3647-59, ГОСТ 3647-71, ГОСТ 3647-80. 
В настоящее время на зернистость и зерновой состав действует ГОСТ Р 52381-2005, отличие которого от упомянутых выше стандартов состоит в размерах ячеек контрольных сит, применяемых для рассева шлифпорошков. Точного соответствия зернистостей не существует, поэтому в ГОСТ Р 52381-2005 указано лишь ориентировочное соответствие. Кроме того, размеры основной фракции по старому и новому стандарту также могут отличаться. Например, по ГОСТ 3647-80 размеры ячеек сит, через которые рассевается основная фракция зернистости F46, равны 500 и 400 мкм, а по стандарту ГОСТ Р 52381 – соответственно 425 и 355 мкм. 
Следует отметить, что ГОСТ на зерновой состав шлифовальных порошков не устанавливает конкретные значения массовых долей остатков на ситах, а ограничивает лишь диапазоны их изменения. Величина этих диапазонов может быть достаточно большой, например, массовая доля остатка на втором сите для зернистости F46 должна быть не более 30%, а остатка на третьем сите – не менее 40%. Поэтому, если произвести повторный рассев шлифпорошка этой же зернистости даже в полном соответствии с ГОСТ, то распределение массовых долей остатков будет другим. Это означает, что данные по зернистости, имеющей конкретное распределение массовых долей остатков, нельзя переносить на такую же зернистость с другим распределением массовых долей. 
Из этого также следует то, что, используя только данные по основной фракции, массовая доля которой может значительно меняться, нельзя достоверно определить данные зернистости. Кроме того, данные, полученные ранее для основной фракции, устарели, поскольку изменился ГОСТ на зернистость и зерновой состав порошков.
Поэтому цель данной работы – исследовать количество зерен в единице массы шлифовального порошка с учетом всех его фракций, полученных по ГОСТ Р 52381-2005 рассевом на контрольных ситах.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи: произвести рассев порошков на контрольных ситах по указанному стандарту и определить массовую долю каждой фракции в зернистости; методом квартования получить из каждой фракции пробу для анализа; измерить длину и ширину зерен в каждой пробе и подсчитать количество зерен в единице массы. 
Решение этих задач рассмотрено на примере шлифовального порошка из карбида кремния черного зернистости F46. 
Рассев порошков осуществляли на машине типа RO-TAP. Перед рассевом шлифовальные порошки подвергали сушке при температуре 105° в течении 30 минут. 
Принято следующее условное обозначение остатков на ситах: Q_i, где i – порядковый номер контрольного сита, при рассеве на котором получен данный остаток. При рассеве масса остатка на поддоне была менее 0,1 г, поэтому данный остаток согласно ГОСТ Р 52381 не учитывали. Зернистость соответствовала требованиям по зерновому составу ГОСТ Р 52381.
Из каждой фракции методом квартования отбирали пробу шлифовального порошка объемом от 600 до 1500 зерен для измерения длины и ширины зерен. 
Для измерения длины и ширины зерен получали электронные фотографии зерен на биологическом микроскопе МБС-9. Обработка фотографий осуществлялась специально разработанной программой «Зерно НМ» [5]. В результате визуального просмотра электронных фотографий из анализа исключали слипшиеся зерна. Максимальная относительная погрешность измерения размеров зерен не превышала 5%.
Длину зерен l находили как максимальное расстояние между точками профиля зерен; ширину b измеряли как сумму величин двух перпендикуляров, построенных от вектора длины зерна к максимально удаленным точкам с каждой стороны профиля. 
Массу порошков определяли на аналитических весах Acculab Sartorius group модели ALC-210d4. Наименьшая допустимая нагрузка, предел допускаемой погрешности на которую равен 10^-4 г, по паспорту весов составляет 0,01 г. Поэтому методом квартования для последующего анализа формировали такое количество порошка, чтобы его масса была больше 0,01 г. Для подтверждения достоверности полученных данных подсчет числа зерен производили дважды (табл. 1).

Примечания: W_в – размер ячейки верхнего контрольного сита по ГОСТ Р 523821-2005; q – массовая доля остатков на ситах (фракций); M₁ и M₂ – масса анализируемой пробы при 1 и 2 измерении; N₁ иN₂ – количество зерен в 1 г. шлифпорошка при 1 и 2 измерении; m₁ и m₂ – соответственно, средняя масса 1 зерна при 1 и 2 измерении; ∆ – относительная погрешность количества зерен и средней массы 1 зерна при повторных измерениях; m_ср – средневзвешенная масса 1 зерна. 

Рассчитав средние взвешенные значения длины и ширины зерен по данным табл.1, получили l_ср=666 мкм, b_ср = 460 мкм. Согласно данным [2] для карбида кремния черного зернистости 40 l_ср =747 мкм, l_ср = 483 мкм.
Средний эффективный размер зерен остатка Q₃ (основной фракции) зернистости F46 составил z=335 мкм, в то время как по данным [3] z=392 мкм. 
Таким образом, средние размеры зерен, характеризуемые длиной, шириной и эффективным размером, уменьшились на 5-15%. Причиной уменьшения размеров зерен является меньший размер ячеек как проходного, так и задерживающего сита по новому стандарту: Wв и Wн равны соответственно 425 и 355 мкм, по ГОСТ 3647-71 – 500 и 400 мкм.
Это означает, что основная фракция шлифпорошков, исследованных ранее, состояла из более крупных зерен. Соответственно, средняя масса 1 зерна должна быть больше, а число зерен в единице массы – меньше по сравнению с исследованными в данной работе шлифпорошками. 
Средневзвешенная масса 1 зерна зернистости F46 равна 0,0001056 г., а по данным [2] масса 1 зерна зернистости 40 равна 0,0001260 г. Расхождение составило около 16%. По данным [6] средняя масса 1 зерна пробы из 2000 зерен карбида кремния черного зернистости 40 производства Волжского абразивного завода для разных партий колебалась от 0,0001283 до 0,0001473 г. Расхождение с последним значением составляет 28%. 
Приведенные данные означают, что средняя масса 1 зерна по стандарту ГОСТ Р 52381-2005 на 16-28% меньше, чем для ранее полученных данных. Причиной тому послужило уменьшение размеров ячеек контрольных сит.
Количество зерен в основной фракции по формуле (2):  зерен. Согласно данным табл. 1, N=8296 зерен. Получили, что количество зерен в единице массы в шлифпорошках по ГОСТ Р 52381-2005 почти на 16% больше, чем по данным [3]. 
Подставляя вычисленные значения средней длины и ширины зернистости в формулу (3), получили n=9337 зерен. Средневзвешенное число зерен в 1 г, определенное по данным табл.1, n=9177 зерен. Расхождение с формулой составило всего 1,7 %. Если же, используя эту же формулу, произвести расчет не для зернистости, а для каждого остатка на сите, то получим расхождение порядка 5 % для всех остатков на сите, кроме Q₃ , а для Q₃ это расхождение составляет всего 0,6 %. 

Таким образом, уменьшение средних размеров и массы и увеличение количества зерен в 1 грамме, можно объяснить тем, что размеры ячеек сит для основной фракции по стандарту ГОСТ 3647-80 были (500-400) мкм, а по ГОСТ Р 52381-2005 они равны (425-355) мкм. Кроме того, поскольку массовая доля остатков на ситах в конкретном порошке может варьироваться, от этого изменяется средняя ширина зернистости и средневзвешенная масса 1 зерна в данном порошке. В данных [2] приведены средние размеры зерен зернистости, а массовая доля отдельных фракций не приведена. Также нет упоминания о том, производился ли рассев зернистости на фракции. Тем не менее, формулу (3) для определения количества зерен в 1 грамме следует признать более точной, даже несмотря на то, что она получена для порошков по старому стандарту.
Для уменьшения выявленных в ходе работы расхождений становится очевидной необходимость измерения геометрических параметров зерен в соответствии с новым ГОСТ Р 52381-2005. Это позволит получать сопоставимые данные по зерновому составу и геометрическим параметрам зерен шлифовальных порошков, а также по количеству зерен в единице массы. 

Для измерения зернового состава различных порошков в настоящее время широко используются экспресс-методы, к числу которых относится, в частности, метод лазерной дифракции [3-6].  Суть данного метода определения размеров частиц основывается на том, что регистрируются не сами частицы, а рассеянный свет от них, т.е. дифракционная картина и угол рассеяния света, который пропорционален размеру частиц. С помощью линзы  излучение полупроводниковых лазеров фокусируется в плоскость детекторов, проходя при этом через измерительную кювету, в которой осуществляется проток анализируемых зёрен. Метод лазерной дифракции представляет зерно в виде сферы, объём которой эквивалентен объему зерна. Если плотность анализируемых частиц постоянна, эту величину можно считать эквивалентной среднему размеру сферы с эквивалентным весом.

Метод лазерной дифракции позволяет измерять большое количество зерен в единицу времени. Например, на приборах Mastersizer выполняется около 20000 измерений за 20 секунд [7].

Несмотря на существенные преимущества лазерной дифракции, эквивалентная сфера не отражает реальной формы частицы, учет которой в ряде случаев необходим (изменение сырья,  технологии, оборудования и пр.). Поэтому при производстве шлифовальных материалов микроскопический метод анализа остаётся актуальным.

Цель данной работы заключалась в исследовании связи эквивалентного диаметра зерен, полученного методом лазерной дифракции с геометрическими параметрами, измеренными микроскопическим методом.

В соответствии с целью работы сформулированы следующие задачи: измерить эквивалентный диаметр зерен шлифовальных порошков методом лазерной дифракции; исследовать распределения эквивалентного диаметра;  установить связь среднего эквивалентного диаметра со средними геометрическими параметрами зерен, полученными методом микроскопического анализа.

Объектом исследования являются серийно изготавливаемые на ОАО «Волжский абразивный завод» шлифовальные порошки из карбида кремния черного марки 54С зернистостей F60, F70, F90, F120, F180. Порошки каждой зернистости рассеивали на фракции по ГОСТ Р 52381. Из каждой фракции отбирали пробу зерен по методике, представленной в ГОСТ 3647. Масса каждой пробы составляла около4 г. Затем пробу разделяли на две части. Одну часть использовали для измерения эквивалентного диаметра зерен методом лазерной дифракции, другую – для измерения геометрических параметров зерен методом оптической микроскопии.

Эквивалентный диаметр зерен D измеряли на приборе Mastersizer 3000. Диапазон измеряемых размеров от 0,01 до 3500 мкм. Погрешность измерений для медианы узкого одномодального логарифмически нормального распределения составляет не более 1% [8].

Методом оптической микроскопии измеряли следующие геометрические параметры зерен: длина l, ширина b, периметр P, площадь S, приведенный диаметр d. В каждой фракции измеряли от 600 до 1000 зерен по методике [9] с использованием специального программного обеспечения [10]. Относительная погрешность измерения геометрических параметров зерен микроскопическим методом не превышала 3-5 %.

Распределение эквивалентного диаметра D, полученного методом лазерной дифракции, является одновершинным и имеет положительную асимметрию (рис. 1). Аналогичный характер распределения имеют кривые плотности распределения D зерен микрошлифпорошков карбида кремния зеленого, измеренные на приборе Micro Sizer 201 [11].

                                   а                                                                          б

Рис. 1. Плотность распределения эквивалентного диаметра зерен D фракций шлифовальных порошков зернистости F60 (а) и фракций с размером ячейки проходного сита 250 мкм (б):

а: 1 – Q₂; 2 – Q₃; 3 – Q₄; 4 – Q₅;     б: 1 -  Q₄ (F60), 2 – Q₃ (F70), 3 -  Q₂ (F90)

Гипотезу о принадлежности распределения D закону нормального и логарифмически нормального распределения определяли по критерию Пирсона для уровня значимости 0,05. При расчете критерия объем выборки измерений принимали равным 20000.

Для всех фракций шлифовальных порошков расчетные значения критерия превышали табличные. Тем не менее, следует отметить, что для логарифмически нормального закона распределения различия между расчетными и теоретическими значениями критерия были существенно меньше. О большей степени приближения к логарифмически нормальному закону распределения свидетельствует и правосторонняя удлиненная ветвь представленных графиков (см. рис. 1). Исходя из этого, статистическую обработку данных выполняли из допущения принадлежности выборок измерений к логарифмически нормальному распределению.

С использованием фактического распределения D определены средние D_c и дисперсии S²(D) эквивалентного диаметра зерен фракций Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ рассмотренных зернистостей шлифовальных порошков (табл. 1). Нижний индекс в условном обозначении фракций соответствует номеру нижнего непроходного контрольного сита с размером ячейки W, на котором задерживается фракция при рассеве по ГОСТ Р 52381.

Для фракций, имеющих одинаковый размер ячейки проходного сита, средние значения эквивалентного диаметра могут существенно отличаться. Например, для фракций Q₄(F60), Q₃(F70) и Q₂(F90) W=250 мкм средние значения эквивалентного диаметра данных фракций равны, соответственно, 364, 336 и 271 мкм. В результате сравнения D_c установлено их значимое отличие. Значимо отличаются не только средние, но и дисперсии.

Среднее D_с и дисперсия S²(D) эквивалентного диаметра зерен шлифовальных порошков различных фракций и зернистостей

Одной из причин значимого отличия средних и дисперсий эквивалентного диаметра рассмотренных фракций являются неодинаковые размеры ячейки нижнего задерживающего сита. При рассеве фракции Q₂(F90) ячейка нижнего сита 180 мкм, остальных  – 212 мкм. Остаток, формируемый на сите с более мелкой ячейкой, будет содержать и более мелкие зерна шлифовального порошка, что приводит к уменьшению среднего значения эквивалентного диаметра зерен. Об этом свидетельствует и распределение эквивалентного диаметра зерен фракции Q₂(F90), расположенного на рис. 1б левее распределения остальных фракций.

Значимые различия в D_c наблюдаются у фракций, относящихся к различным зернистостям, но имеющих одинаковые значения ячеек соответственно верхнего и нижнего сит. Например, фракции Q₄(F60) и Q₃(F70) имеет одинаковы размеры ячеек верхнего и нижнего сит 250 и 212 мкм, D_с равны соответственно 364 и 336 мкм. В результате сравнения средних с использованием аргумента функции Лапласа установлена значимость их отличия. Аналогичная закономерность наблюдается и для других фракций с одинаковыми размерами ячеек верхних и нижних сит: Q₅(F60) и Q₄(F70); Q₅(F70) и Q₃(F90); Q₅(F90) и Q₃(F120).

Значимо отличаются и дисперсии в перечисленных парах фракций шлифовальных порошков. Сравнение дисперсий сделано по критерию Фишера также для логарифмированных значений эквивалентного диаметра.

Таким образом, при одинаковых размерах ячеек верхнего и нижнего сит меньшие средние и дисперсии эквивалентного диаметра имеют фракции, выделенные из шлифовального порошка меньшей зернистости.

Аналогичные закономерности между средними и дисперсиями геометрических параметров зерен фракций, имеющих одинаковые размеры ячеек верхнего и нижнего сит, но принадлежащих различным зернистостям, установлены для ширины зерен [12, 13].

Силу связи между средними эквивалентными диаметрами зерен фракций D_c, полученных методом лазерной дифракции, и средними геометрическими параметрами зерен тех же фракций, полученных методом оптической микроскопии (длина l_c, ширина b_c, периметр P_c, площадь S_c и приведенный диаметр d_c и коэффициент неизометричности k_c=l/b), оценивали по коэффициентам парной корреляции. Почти для 70 % пар геометрических параметров коэффициент корреляции превышает 0,90 (табл. 2), что по классификации Чеддока [14] свидетельствует о весьма высокой силе связи.

Коэффициент парной корреляции внутри зернистостей для параметров D_с и k_c изменяется в диапазоне от –0,65 до –0,97. Это означает, что с увеличением среднего эквивалентного диаметра зерен фракций  коэффициент неизометричности снижается, т.е. зерна становится более изометричными.

Средние значения всех параметров были объединены в одну выборку.  Коэффициенты парной корреляции между D_c и l_c, b_c, P_c, S_c, d_c по всем зернистостям не менее 0,97, что также свидетельствует о весьма высокой силе связи. Коэффициент парной корреляции D_c и k_c при объединении данных по всем зернистостям следует считать незначимым.

2. Коэффициенты корреляции между средними геометрическими параметрами зерен фракции D_c и l_c, b_c, P_c, S_c, d_c внутри каждой зернистости и по всем зернистостям F

Поскольку связь между параметрами D_c и l_c, b_c, P_c, S_c, d_c весьма сильная, ее описали функциональными зависимостями, полученными методом наименьших квадратов (рис 2):

Коэффициент достоверности аппроксимации рассмотренных зависимостей 0,98–0,99.

                                            а                                                                    б

Рис. 2. Зависимость между средними геометрическими параметрами зерен фракций b_c, l_c, P_c (а), S_c (б) и D_c

Выводы.

По внешнему виду кривые распределения эквивалентного диаметра зерен фракций шлифовальных порошков из карбида кремния черного производства Волжского абразивного завода зернистостей F180-F60 в большей степени приближаются к логарифмически нормальному закону.

Средние и дисперсии эквивалентного диаметра зерен фракций, полученных рассевом шлифовальных порошков по ГОСТ Р 52381, имеющие одинаковые размеры соответственно верхнего и нижнего сит, возрастают с увеличением зернистости шлифовального порошка.

Коэффициенты парной корреляции между средним эквивалентным диаметром зерен фракции и средними геометрическими параметрами зерен (длина, ширина, площадь, периметр, приведенный диаметр), полученных методом микроскопического анализа, внутри каждой зернистости изменяются от 0,7 до 1,0, свыше 70 % пар имеет коэффициент корреляции более 0,9. При объединении фракций всех зернистостей в одну выборку коэффициент корреляции более 0,97.

Коэффициент корреляции средних значений параметров D_с и коэффициента неизометричности зерен фракций внутри каждой зернистости имеет отрицательное значение в диапазоне от –0,65 до –0,97, что свидетельствует об уменьшении неизометричности зерен с увеличением эквивалентного диаметра внутри каждой зернистости. При объединении фракций всех зернистостей в одну выборку коэффициент корреляции становится незначимым.

Для зернистостей F180-F60 установлена прямая пропорциональная зависимость между средним размером эквивалентного диаметра и средними геометрическими параметрами зерен фракций (длина, ширина, периметр), степенная зависимость со средней площадью зерен фракций.