Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » retract

Топологические операторы и абсолюты

Широков Лев Васильевич — Thu, 05 Feb 2015 13:40:52 +0000

Постановка вопросов, рассмотренных в данной статье, инспирирована результатами работ , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Всякое отображение  называется топологическим оператором. Топологический оператор  - называется -регулярным оператором, если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2)  для любых .
Определение 2. Топологический оператор  называется монотонным, если для любых открытых множеств  таких, что  выполняется .
Введем на семействе  всех -регулярных топологических операторов частичный порядок  следующим образом: , если для любого  выполняется . Заметим, что для любого -регулярного топологического оператора  существует монотонный -регулярный топологический оператор  такой, что . Построение  осуществляется следующим образом. Для всякого  положим

Непосредственная проверка подтверждает достижение цели.
Определяющую роль в формировании и доказательствах основных результатах работы играет следующее утверждение.
Теорема 1. Если - -регулярный оператор, то существует -регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3) для любых таких, что .
Доказательство. Итак на семействе всех -регулярных топологических операторов введен частичный порядок следующим образом: , если для любого выполняется . Покажем, что в каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть - цепь и для любого . Ясно, что является верхней гранью множества . Пусть - максимальный элемент множества . Покажем, что для любых таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества такие, что , но . Положим

По предположению . Для произвольного открытого множества положим

Оператор определим правилом:

для любого . Покажем, что оператор . Очевидно выполнение условия 1) определения 1. Пусть и . Если , то и, следовательно, . Если

то, в силу монотонности оператора (если , то ), элемент содержится как в множестве так и в множестве . Таким образом, . Пусть теперь . Выполнение условия следует из того, что

и .

Таким образом, выполнено условие 2) определения 1. Итак, , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказана.
Замечание. Аналогичным образом можно доказать существование -регулярного топологического оператора , удовлетворяющего кроме условия 3) условию 4) для любого , такого, что  или, вместо условия 3), условию   для любых  таких, что .
Существенную роль в изложении последующих результатов работы играет понятие неприводимого отображения . Непрерывное, сюръективное отображение  называется неприводимым, если для любого замкнутого подмножества  такого, что  выполняется .
Определение 3 (Gleason A.M., Rainwater J.). Компакт  называется проективным в классе компактов, если для любых компактов  и , каждого непрерывного отображения  компакта  на  и любого непрерывного отображения  существует непрерывное отображение  такое, что .
Известны следующие понятия и факты:
1. Компакт является проективным в классе в классе компактов в том и только в том случае, если он является ретрактом стоун-чеховское компактификации дискретного пространства .
2. Всякий компакт  является непрерывным образом некоторого проективного в классе компактов пространства  при неприводимом отображении  .
3. Пара  называется проективной резольвентой или абсолютом пространства  .
4. Компакт  является экстремально несвязным пространством, а отображение  - неприводимым .
5. Если некоторый компакт  и отображение  обладает свойствами  и , то найдется гомеоморфизм , такой, что  .
Таким образом,  и  определены однозначно (в понятном смысле), а  называется естественным отображением  на . В дальнейшем, если это не будет приводить к двусмысленности, абсолют компакта  будем обозначать , подразумевая, что его существованию сопутствует единственное естественное неприводимое отображение .
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть ,  - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное сюръективное отображение  необходимо и достаточно, чтобы существовал -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - непрерывное сюръективное отображение. Искомый -регулярный топологический оператор  определи следующим правилом. Для всякого открытого множества  положим

(если  - непрерывное отображение, то для  через  обозначается малый образ множество ). Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый.
Достаточность. Пусть  - -регулярный топологический оператор. Учитывая теорему 1 можно считать, что оператор  удовлетворяет условиям:
1. , .
2. для любых .
3. для любых  таких, что .
Для всякого открытого множества  положим

Пусть - подсемейство всевозможных открыто-замкнутых подмножеств пространства , а - сужение оператора на семейство . Оператор определим следующим правилом. Для всякого положим . По построению оператор является инъективным отображением и удовлетворяет условиям:
1. , .
2. Для любых таких, что выполняется

3. Для любых выполняется

4. Для любых  таких, что  выполняется .
Построение искомого отображения  осуществляется следующим образом.
Для каждой точки  совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств  таких, что  обозначим через . Ясно, что для любого  семейство  центрировано (соответствующее свойство оператора ). Таким образом,  для любого . Для каждой точки  множество  обозначим через . Покажем, что  для любого .
Допустим противное, т. е. что для некоторого  существуют точки  такие, что . Рассмотрим открыто-замкнутую окрестность  точки  в , не содержащую . В силу свойств оператора  точка  должна содержатся либо в , либо в , что и приводит к противоречию. Таким образом,  для любой точки .
Отображение, ставящее в соответствие каждой точке  одноточечное множество , обозначим через . Докажем непрерывность этого отображения.
Пусть  – произвольное открыто-замкнутое подмножество компакта  и  - произвольная точка множества , т. е. . Так как семейство  замкнуто относительно конечных пересечений (третье свойство оператора ), то существует , являющееся подмножеством . По построению  образы всех точек множества  относительно отображения  принадлежат множеству , а значит и множеству . Таким образом, непрерывность отображения  доказана.
Сюръективность отображения  следует из компактности  и инъективности оператора .
Теорема доказана.
Следствие 1. Если  - ретракт компакта , то существует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть  - ретракция. Искомый -регулярный топологический оператор  определяется следующим правилом. Для любого  положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый. Следствие доказано.
Для каждого хаусдофова пространства  через  обозначается множество всех непустых компактных подмножеств пространства , наделенное топологией Вьеториса. Базу этой топологии образуют всевозможные множества вида

для всех .
Следствие 2. Для любого компакта  существует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть  - естественное вложение компакта  в . Искомый -регулярный топологический оператор  определяется следующим правилом. Для любого  положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый. Следствие доказано.
Доказательство следующего утверждения основана на свойствах проективной резольвенты .
Следствие 3. Для любого компакта  существует непрерывное сюръективное отображение .
Через  обозначается множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве , через  - функция на , тождественно равная  на  .
Всякое отображение  называется функциональным оператором.
Определение 4. Отображение  называется -регулярным функциональным оператором, если отображение  инъективно и выполняются следующие условия:
1) ,
2)  для любых .
Теорема 3. Пусть ,  - компакты. Если существует -регулярный функциональный оператор , то существовует непрерывное сюръективное отображение  .
Доказательство. Пусть - -регулярный функциональный оператор. Определим топологический оператор  правилом

для каждого открытого множества . Непосредственная проверка показывает, что  является -регулярным топологическим оператором. Для завершения доказательства остается сослаться на теорему 2. Теорема доказана.
Определение 5. Топологический оператор  - называется регулярным оператором, если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то  для любых .
Теорема 4. Если  - регулярный оператор, то существует регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3)  для любых  таких, что .
Доказательство. Так же, как и при доказательстве теоремы 1считаем, что на семействе  всех регулярных топологических операторов введен частичный порядок  следующим образом:, если для любого  выполняется . Покажем, что в  каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть  - цепь и  для любого . Ясно, что  является верхней гранью множества . Пусть  - максимальный элемент множества . Покажем, что  для любых  таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества  такие, что , но . Положим

По предположению . Для произвольного открытого множества  такого, что  и  положим  и  для остальных любого . Непосредственная проверка показывает, что, что оператор , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказано.
Далее  - суперрасширение пространства  .
Система  замкнутых подмножеств топологического пространства  называется сцепленной, если любые два элемента системы  пересекаются. Всякая сцепленная система замкнутых подмножеств содержится в некоторой максимальной сцепленной системе. Суперрасширением пространства  называется множество  максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств , наделенное волмэновской топологией, т. е. замкнутую предбазу в  образуют множества вида , где  замкнуто в .
Теорема 5. Пусть ,  - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное отображение  такое, что  необходимо и достаточно, чтобы существовал регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - непрерывное отображение такое, что  и  - естественный регулярный оператор продолжения открытых множеств пространства , построенный в . Искомый регулярный топологический оператор  определим следующим правилом. Для всякого открытого множества  положим

Непосредственная проверка показывает, что оператор искомый.
Достаточность. Пусть - регулярный топологический оператор. Рассмотрим регулярный оператор , определенный правилом: для любого . В силу теоремы 4 можно считать, что оператор удовлетворяет условию: 3)

для любых  таких, что . Для каждой точки  совокупность всех открытых подмножеств  компакта  таких, что , обозначим через  и положим . Ясно, что семейство  является сцепленной системой и единственным образом дополняется до максимальной сцепленной системы  замкнутых подмножеств компакта . Отображение  определим правилом  для любого . Непосредственная проверка доказывает непрерывность отображения  и выполнение условия . Теорема доказана.
Следствие 4. Если  - компакты,  и  - каппа-метризуемый компакт , то существует непрерывное отображение  такое, что .
Доказательство. В силу результатов работ  существует регулярный оператор продолжения открытых подмножеств . Факт его существования и подтверждает, с учетом теоремы 5, справедливость данного следствия.

О ретрактах, псевдокомпактных пространствах и топологических операторах

Широков Лев Васильевич — Mon, 09 Feb 2015 10:21:54 +0000

Результаты, приведенные в данной статье, возникли под влиянием вопросов теории топологических операторов, изученных в работах , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Всякое отображение  называется топологическим оператором. Топологический оператор  - называется -регулярным оператором ( - натуральное число, отличное от нуля), если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) ,
2) если , то  для любых ,
3) для любого покрытия ,  пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства .
Лемма 1. Если  - нормальное пространство,  - -регулярный оператор и , то  является -регулярным оператором для любого .
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Начало индукции суть условие леммы. Допустим, что то  является -регулярным оператором и докажем его -регулярность. Предположим противное. Тогда существует покрытие  пространства  открытыми множествами такое, что  не является покрытием пространства . Положим . Рассмотрим два семейства  и  открытых подмножеств пространства . В силу предположения противного ни одно из них не является покрытием пространства . Следовательно, подмножества  и  замкнутые непересекающиеся непустые подмножества пространства . Так как  - нормальное пространство, то существуют открытые в  множества  и  такие, что  и , причем . В силу предположения индукции семейства открытых множеств  и  пространства являются покрытиями . Тогда  и , а это противоречит тому, что . Лемма доказана.
Определение 2. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .
Лемма 2. Если существует -регулярное вложение компакта  в тихоновский куб , то и всякое вложение  в произвольный компакт является -регулярным.
Доказательство леммы не сложно и основано на классических свойствах тихоновских кубов.
Из лемм 1 и 2 и результатов работы  вытекает
Теорема 1. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
2) всякое вложение  в тихоновский куб  является 3-регулярным.
Доказательство. Доказательство импликации  тривиально и основано на леммах 1 и 2 и результатах работы .
Докажем импликацию . Пусть  - произвольный компакт,  и  - 3-регулярный оператор продолжения топологии пространства . Двойственный оператор продолжения замкнутых подмножеств пространства  обозначим через . Для любого замкнутого подмножества  пространства  выполняется . Для каждой точки  через  обозначим семейство всех замкнутых подмножеств  пространства  таких, что . Ясно, что для любого  семейство  является центрированным и, следовательно, для любого  множество  не пусто. Покажем, что для любого  выполняется . Допустим противное, т. е. существует  и  такие, что . Выберем непересекающиеся открытые множества  соответственно содержащие  и . Тогда точка  содержится или в , или в . Последнее противоречит правилу построения множеств . Отображение  определим правилом  для любого .
Докажем непрерывность отображения . Пусть  – произвольное открытое подмножество бикомпакта  и  – произвольная точка множества . Выберем окрестность  точки  в такую, что . Положим . Ясно, что . Покажем, что для любого  выполняется . Достаточно показать, что . Допустим, что . Выберем открытое подмножество  такое, что  и . Выполнение условия  и приводит к противоречию.
Таким образом,  - искомая ретракция. Теорема доказана.
Пространство  называется совершенно каппа-нормальным, если всякое каноническое замкнутое в  множество является множеством нулей некоторой непрерывной на  вещественной функции . Ясно, что если  является компактным, то это равносильно тому, чтобы каждое каноническое замкнутое подмножество  имело тип  в .
Лемма 3. Пусть  - совершенно каппа-нормальный компакт,  - всюду плотное в  подпространство и точка  такая, что для любого замкнутого подмножества  типа  в , содержащего эту точку, пересечение множества  с  не пусто. Тогда , где  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на .
Доказательство. Допустим, что . Обозначим через  семейство всех замкнутых типа  подмножеств пространства , содержащих точку . Ясно, что  для любого элемента . Так как отображение  замкнуто, то  для любого . Заметим, что для любого счетного подсемейства  выполнено , т. е. семейство  является центрированным. Так как  - компакт, то множество  не пусто. Выберем в  точки  и  такие, что  и . Рассмотрим непересекающиеся окрестности  и  этих точек в . Так как отображение  неприводимо, то множества  и  являются каноническими замкнутыми подмножествами , причем . Так как  для любого элемента , то  для любого . Отсюда следует, что замкнутое типа  в  множество  не может принадлежать семейству . Это означает, что точка  содержится в . Так как точка  принадлежит множеству , то  - противоречие. Лемма доказана.
Предложение 1. Для того, чтобы множество  было всюду плотным псевдокомпактным подмножеством совершенно каппа-нормального компакта  необходимо и достаточно, чтобы любое замкнутое подмножество  типа  в  имело непустое пересечение с .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - всюду плотное псевдокомпактное подпространствосовершенно каппа-нормального компакта  и  - замкнутое типа  подмножество . Так как для каждого центрированного счетного семейства  открытых в  множеств имеет место , то .
Достаточность. Пусть  - произвольная счетная центрированная система открытых подмножеств пространства . Тогда семейство  является центрированным в , т. е. множество  не пусто. Так как компакт  совершенно каппа-нормален, то множество  имеет тип  в  и, следовательно, . Пусть . Ясно, что , т. е. пространство  является псевдокомпактным. Предложение доказано.
Теорема 2. Стоун-чеховская компактификация  всюду плотного и псевдокомпактного подмножества  совершенно каппа-нормального компакта  совпадает с .
Доказательство. Пусть  - стандартное отображение  на . Из предложения 1 следует, что любое замкнутое подмножество  типа  в  имеет не пустое пересечение с множеством . В силу леммы 3 выполняется  для любой точки , т. е.  - гомеоморфизм. Теорема доказана.
Так как всякий каппа-метризуемый компакт  совершенно -нормален, то из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Стоун-чеховская компактификация  всюду плотного и псевдокомпактного подмножества  каппа-метризуемого компакта  совпадает с .
Лемма 4. Если  - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства  в тихоновский куб , то  является стоун-чеховским расширением пространства .
Доказательство. Так как  является совершенно каппа-нормальным компактом, то справедливость данного утверждения обосновывается теоремой 2. Лемма доказана.
Теорема 3. Для псевдокомпактного пространства  следующие условия эквивалентны:
1) является каппа-метризуемым пространством;
2) существует 1-регулярное вложение  в тихоновский куб .
Доказательство. Докажем импликацию . Так как пространство  каппа-метризуемо и псевдокомпактно, то стоун-чеховское расширение  является каппа-метризуемым компактом . Для завершения доказательства данной импликации остается воспользоваться результатами работ .
Докажем импликацию . Пусть  - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства  в тихоновский куб . В силу лемма 4  является стоун-чеховским расширением пространства . Кроме того,  1-регулярно вложено в тихоновский куб  и, следовательно, является каппа-метризуемым пространством . Для завершения данной импликации остается воспользоваться теоремой 2 . Теорема доказана.
Следствие 2 . Каждое псевдокомпактное каппа-метризуемое пространство удовлетворяет условию Суслина.
Пример. Полученные результаты позволяют построить пример псевдокомпактного каппа-метризуемого пространства , для которого существует вложение в тихоновский куб, не являющееся 1-регулярным. Для построения этого вложения достаточно взять такое псевдокомпатное каппа-метризуемое пространство, у которого существует компактное расширение , не являющееся стоун-чеховским, и рассмотреть произвольное вложение его в некоторой тихоновский куб . Сужение этого вложения на пространство  является искомым.

Функциональные операторы, ретракты и пространства Дугунджи

Широков Лев Васильевич — Sun, 29 Mar 2015 13:15:45 +0000

Исследуемые в данной работе вопросы возникли в результате проведения анализа взаимоотношений между задачами продолжения непрерывных отображений и поведением различного рода семейств функций, определенных на топологических пространствах. Подобного типа определение содержания исследований весьма актуально. Последнее подтверждается результатами работ . Описание всех используемых в данной статье понятий можно найти в работах . В дальнейшем компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства . Всякое отображение  называется топологическим оператором. Далее  - множество непрерывных функций на пространстве ,  - множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве ,  - функция на , тождественно равная  на  . Пусть  и . Всякое отображение  называется функциональным оператором.
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Функциональный оператор  называется слабо инъективным, если для любой константы  выполняется условие .
Определение 2. Функциональный оператор  называется -оператором, если отображение  слабо инъективно и выполняются следующие условия:
1) ,
2)  для любых ,
3)  для любых .
Определение 3. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется слабо инъективным, если для любых  таких, что  выполняется условие .
Определение 4. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется -оператором, если отображение  слабо инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2)  для любых ,
3)  для любых дизъюнктных  таких, что .
Лемма 1. Пусть  и  - компакты. Если существует -оператор , то существует -оператор  .
Доказательство. Пусть - -оператор. Определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -оператором.
Покажем, во-первых, что для любой функции  такой, что  выполняется . Допустим противное, то есть, что существует функция  такая, что , но . Положим . Очевидно . Учитывая условия 1) и 3) определения 2 и слабую инъективность оператора  имеем . Отсюда получаем равенство  - противоречие.
Докажем слабую инъективность оператора . Пусть  такие, что  и пусть, для определенности,  и . Выберем функцию  такую, что . Покажем, что для любого элемента  такого, что  выполняется условие . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда  и  и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства  - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора  доказана.
Выполнение условия 1) определения 4 следует из того, что , .
Докажем справедливость условия 2) определения 4. Покажем, во-первых, что  для любых . Пусть  такое, что . Тогда  и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть  и  такие, что  и . Введем следующие обозначения:  и . Покажем, что существует функция  такая, что выполняются условия  и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент  такой, что , то есть . Так как , то . Так как  для любых  (условие 3) определения 2), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 4.
Докажем справедливость условия 3) определения 4., то есть, что  для любых дизъюнктных  таких, что . Итак, пусть , причем . Положим , . Ясно, что . Выберем функции  и  такие, что , , причем выполняется условие . Покажем, что . Положим . По построению, для любого  выполняется . Пусть . Тогда выполняются следующие равенства , . Так как , то . Последнее означает, что для любого элемента  выполняется , то есть,  для любого . Отсюда следует, что , а это и означает, что выполняется равенство . Лемма доказана.
Теорема 1. Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
1) существует сюръективное непрерывное отображение ;
2) существует -оператор .
Доказательство. Докажем импликацию . Функциональный оператор  определим правилом:  для каждого . Очевидно выполнение условия 1) определения 2. Докажем, что выполняется условие 2) определения 2, то есть, что справедливо равенство  для любых . Для любого элемента  выполняются равенства . Так как справедливо , то . Аналогично доказывается выполнение условия 3) определения 2. Импликация  доказана.
Докажем импликацию . Пусть существует -оператор . Тогда, в силу леммы 1, существует -оператор . Для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим . Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Равенство  для любого  следует из условия 3) определения 4. Отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Сюръективность построенного отображения  следует из того, что для любых  таких, что  выполняется . Докажем непрерывность отображения . Пусть  и . Так как , то существует  такое, что  и . Тогда для всякого элемента множества  его образ относительно отображения  содержится в . Теорема доказана.
Определение 5. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .
Определение 6. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Топологический оператор  продолжения топологии пространства  относительно отображения , называется оператором продолжения топологии  пространства .
Определение 7. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Функциональный оператор  называется оператором продолжения функций, если для любой функции  выполняется условие .
Из теоремы 1 с учетом естественных уточнений следует теорема 2.
Теорема 2. Пусть . Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является ретрактом компакта ;
2) существует -оператор продолжения функций .
Напомним, что функция  называется полунепрерывной снизу, если для любого  множество  является открытым подмножеством пространства . Далее  - множество неотрицательных полунепрерывных снизу функций на пространстве ,  - функция на , тождественно равная  на .
Определение 8. Функциональный оператор  называется -регулярным оператором, если отображение  слабо инъективно и выполняются следующие условия:
1) ,
2)  для любых .
Определение 9. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется -регулярным оператором, если отображение  слабо инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2)  для любых .
Многозначное отображение  - отображение, ставящее в соответствие каждому  некоторое замкнутое подмножество  пространства . Отображение  называется полунепрерывным сверху, если для любого открытого в  множества  малый прообраз  - открытое в  множество.
Лемма 2. Пусть  и  - компакты. Если существует -регулярный топологический оператор , то существует многозначное полунепрерывное сверху отображение  такое, что  для любого .
Доказательство. Итак, пусть  - -регулярный топологический оператор. Также как и при доказательстве теоремы 1 для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим . Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Многозначное отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Покажем, что отображение  является полунепрерывным сверху. Пусть  - произвольное открытое подмножество пространства  и  для некоторого . По построению отображения  и определению -регулярного топологического оператора найдется открытое множество  такое, что  и . Ясно, что для любого  выполняется . Таким образом, полунепрерывность отображения  доказана. Осталось доказать, что для любого непустого открытого множества  выполняется условие . Пусть , , причем . Так как , то по определению -регулярного топологического оператора выполняется условие . Отсюда следует, что для любого выполняется . Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть  и  - компакты,  - полунепрерывное сверху многозначное отображение, причем для любого непустого открытого множества  выполняется . Тогда существует -регулярный оператор .
Доказательство. Пусть  - полунепрерывное сверху многозначное отображение. Оператор  определим правилом: для всякой функции  положим  для любого элемента . Очевидно, для любой функции  выполняется  и . Докажем, что отображение  слабо инъективно. Допустим, что существуют функция , константа  такие, что  для любого элемента  и  не равная тождественно  на . Тогда существуют точки  такие, что  и . Рассмотрим окрестность  точки , не содержащую точку . Для получения противоречия теперь достаточно учесть условие леммы 2: для любого открытого множества  множество . Докажем, что  для любых . Рассмотрим произвольную точку . Имеем . Так как выполняется равенство , то тем самым доказательство свойства 2) определения 9 завершено. Лемма доказана.
Теорема 3. Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
существует -регулярный функциональный оператор ;
существует -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Докажем импликацию . Пусть  - -регулярный функциональный оператор. Также как и при доказательстве леммы 1 определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором. Докажем слабую инъективность оператора . Пусть  такие, что  и пусть, для определенности,  и . Выберем функцию  такую, что . Покажем, что для любого элемента  такого, что выполняется условие  справедливо равенство . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда  и  и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства  - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора  доказана.
Выполнение условия 1) определения 9 следует из того, что , .
Докажем справедливость условия 2) определения 9. Покажем, во-первых, что  для любых . Пусть функция  такая, что . Тогда  и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется условие . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть  и  такие, что  и . Пусть, далее,  и . Покажем, что существует функция  такая, что выполняются условия  и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент  такой, что , то есть . Так как , то . Так как  для любых  (условие 2) определения 8), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 9. Импликация  доказана.
Докажем импликацию . Для доказательства этой импликации достаточно воспользоваться соответствующей комбинацией лемм 2 и 3.
Определение используемого далее понятия пространства Дугунджи, а также характеризации пространств Дугунджи посредством использования операторов продолжения топологий можно найти в работах .
Теорема 4. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является пространством Дугунджи;
2) для любого (некоторого) вложения  в тихоновский куб  существует -регулярный функциональный оператор продолжения функций .
Справедливость теоремы 4 следует из результатов работ  и теоремы 3 данной статьи.
Замечание. Возможные обобщения результатов данной статьи, могут быть определены содержанием работ .

О каппа-метризуемых пространствах, ретрактах и функциональных операторах

Широков Лев Васильевич — Sun, 07 Feb 2016 19:08:12 +0000

Приведенные ниже утверждения возникли под влиянием результатов работ  и .
Определение всех используемых понятий можно найти в работах. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства . Всякое отображение  называется топологическим оператором.
Определение 1. Пусть . Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства , если для любого открытого множества  выполняется .
Определение 2. Пусть . Топологический оператор  продолжения топологии пространства  называется регулярным оператором, если выполняются условия:
1) , ,
2) если , то  для любых .
Определение 3. Вложение  называется регулярным, если существует регулярный оператор  продолжения топологии пространства .
Напомним, что функция  называется полунепрерывной снизу, если для любого  множество  является открытым подмножеством пространства . Далее  - множество полунепрерывных снизу функций на пространстве ,  - множество непрерывных функций на пространстве ,  - множество неотрицательных полунепрерывных снизу функций на пространстве ,  - множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве,  - функция, определенная на множестве , тождественно равная  на  .
Пусть  - совокупность всех функций на множестве ,  и . Всякое отображение  называется функциональным оператором.
Определение 4. Если  и для любой функции  выполняется , то функциональный оператор  называется оператором продолжения функций.
Далее  - суперрасширение пространства  .
Система  замкнутых подмножеств топологического пространства  называется сцепленной, если любые два элемента системы  пересекаются. Всякая сцепленная система замкнутых подмножеств содержится в некоторой максимальной сцепленной системе. Суперрасширением пространства  называется множество максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств , наделенное волмэновской топологией, т. е. замкнутую предбазу в  образуют множества вида , где  замкнуто в .
Теорема 1. Для всякого компакта  существует функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых ,
3)  для любых ,
4)  для любых , таких, что выполняется .
Доказательство. В основу построения оператора  положим несколько видоизмененную идею, изложенную в работе  (теорема 3.). Для всякой функции  и каждого замкнутого подмножества  положим . Пусть  и . Ясно, что система замкнутых подмножеств является сцепленной и, следовательно, центрированной, причем  - отрезок. Положим  и покажем, что . Допустим, что и зафиксируем произвольный элемент  такой, что . Так как выполняется , то или , или  - противоречие. Положим  для каждой функции  и всякого . Докажем непрерывность функции  для каждой функции . Пусть  и  - произвольная окрестность элемента . Так как семейство  является центрированным, то найдется набор  такой, что . Выберем интервалы  прямой , удовлетворяющие условиям , где  и . Далее для каждого  положим . Нетрудно заметить, что для любого элемента  такого, что для каждого  существует  такое, что , выполняется . Итак, непрерывность функции  для каждой функции  доказана. Таким образом, построен оператор продолжений функций .
Покажем, что выполняются условия 1) – 4) теоремы 1.
Очевидно, выполнение условия 1).
Покажем, что выполняется условие 2) теоремы 1, то есть, что справедливо неравенство  для любых .
Пусть ,  и  такие, что выполняются условия ,  и . Таким образом выполняется равенство . Очевидно, что выполняются следующие неравенства  и . Если , то имеем , если , то . Следовательно, выполняется хотя бы одно из неравенств

или

Таким образом, для любого выполняется хотя бы одно из неравенств

или

и, следовательно, выполняться хотя бы одно из неравенств

или

Учитывая определение оператора получаем, что выполняется хотя бы одно из неравенств

или

Таким образом, для любого , выполняется

Итак, неравенство  доказано.
Покажем, что выполняется условие 3) теоремы 1, то есть, что выполняется неравенство  для любых .
Пусть ,  и  такие, что ,  и . Ясно, что . Очевидно, что  и . Заметим, что нетрудно проверить выполнение условий  и . Отсюда следует, что справедливо неравенство , то есть справедливо неравенство

Таким образом,

для каждого . Это означает, что и, следовательно,

для каждого .
Отсюда получаем

и, следовательно,

Последнее означает, что выполняется неравенство  для любых .
Докажем выполнение условия 4) теоремы 1. Пусть  и выполняется условие . Покажем, что . Положим  и . Так как , то . Допустим, что для некоторого  выполняется . Тогда существует  такое, что . Так как для любого  выполняется условие , то , то есть . Теорема доказана.
Определение 5. Пусть . Функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых , таких, что  называется регулярным.
Теорема 2. Пусть  и  - компакты,  и существует регулярный оператор продолжения функций . Тогда вложение  в  является регулярным.
Доказательство. Определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является регулярным оператором. Проверка выполнения условия 1) определения 2 осуществляется тривиальным образом. Пусть , причем . Допустим, что . Тогда существуют  такие, что выполняются условия ,  и выполняется условие . Рассмотрим произвольный элемент x такой, что . Ясно, что . Так как , то приходим к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 3. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является каппа-метризуемым пространством;
2) для любого (некоторого) вложения  в тихоновский куб  существует регулярным функциональный оператор продолжения функций .
Доказательство. Докажем импликацию . Рассмотрим произвольное вложение . В силу теоремы 1 существует регулярный оператор продолжения функций . Так как  является пространством Дугунджи, то существует -регулярный функциональный оператор продолжения функций . Оператор  является искомым.
Докажем импликацию . Пусть  и  - регулярный оператор продолжения функций. В силу теоремы 2 вложение  в  является регулярным. Остается сослаться на результаты работ . Теорема доказана.
Определение 6. Пусть . Топологический оператор  продолжения топологии пространства называется -регулярным оператором, если отображение удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то  для любых ,
3) если , то  для любых .
Теорема 4. Пусть  - компакты,  и пусть существует функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых ,
3)  для любых ,
4)  для любых , таких, что выполняется .
Тогда существует -регулярный оператор  продолжения топологии пространства .
Доказательство. Определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором.
Выполнение условия 1) определения 4 следует из того, что , .
Пусть . Допустим, что  и пусть . Тогда найдутся функции  такие, что   и выполняется условие . Ясно, что выполняется . Так , то  - противоречие.
Покажем, что если , то  для любых ,
Положим , . Ясно, что . Выберем функции  и  такие, что , , причем выполняется условие. Покажем, что . Допустим противное, то есть, что существует . Тогда . Положим . По построению, для любого  выполняется . Пусть . Ясно, что . Тогда, очевидно, выполняются следующие условия  и . Так как выполняется , то . Последнее означает, что для любого элемента  выполняется , то есть выполняется неравенство для любого - противоречие. Теорема доказана.
Определение 7. Пусть . Топологический оператор  продолжения топологии пространства называется -регулярным оператором ( - натуральное число, отличное от нуля), если отображение  удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то  для любых ,
3) для любого покрытия ,  пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства .
Определение 8. Пусть . Функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых функций  таких, что ,
4)  для любых , таких, что выполняется
называется -регулярным.
Справедливо следующее утверждение .
Теорема 5. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
всякое (некоторое) вложение  в тихоновский куб  является 3-регулярным.
Теорема 6. Пусть  - компакт и . Следующие условия равносильны:
компакт  является ретрактом ,
существует -регулярным функциональный оператор продолжения функций .
Доказательство. Доказательство импликации  тривиально.
Докажем импликацию . Пусть  - -регулярный функциональный оператор продолжения функций . Покажем, что существует 3-регулярный оператор  продолжения топологии пространства . Также как и при доказательстве теоремы 4 оператор  определим правилом

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором.
Выполнение условия 1) определения 7 следует из того, что , .
Пусть . Допустим, что  и пусть . Тогда найдутся функции  такие, что   и выполняется . Ясно, что . Так , то  - противоречие.
Покажем, что для любого покрытия , пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства . Положим , , . Ясно, что . Выберем функции  таким образом, что

, , ,

причем выполняется условие . Покажем, что выполняется равенство . Если существует точка

то , и, следовательно, выполняется равенство . Последнее противоречит тому, что . Завершение доказательства данной теоремы достигается посредством использования рассуждений, приведенных при доказательстве теоремы 1 из работы . Теорема доказана.
Из теоремы 6 вытекает
Теорема 7. Для компакта следующие условия эквивалентны:
является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
для всякого (некоторого) вложения в тихоновский куб существует 3-регулярный функциональный оператор продолжения функций пространства .