.

Решением уравнения будет

.

При  получаем  и , откуда .

Рис. 1. Схема двухсторонней прошивки

Максимальные касательные напряжения под пуансоном , тогда уравнение равновесия

.

Соответственно при условии пластичности

, получим .

Приравняем напряжения по общей границе

,

откуда нормальное напряжение и усилие прошивки

 и .

После деления на площадь под прошивнем  получим среднее напряжение прошивки [11]

.         (1)

Проиллюстрируем данный процесс примером горячей прошивки изделия диаметром  мм и  мм на высоту  мм при диаметре прошиваемой полости  мм.
Материалом принимается композит «железо-медь» с концентрациями  и  при плотности скомпактированной и спеченной заготовки.
Решение производим с применением уравнения равновесия для пористых тел.
По содержанию компонентов устанавливаем константу пористости, определяемую из условия пластичности Губера-Мизеса

,

где  – константа пористости композита, устанавливаемая связью высотных и продольных напряжений и зависящая от материала заготовки, температурных условий и плотности.
Для многокомпонентных систем, константа пористости будет оцениваться концентрацией соответствующих компонентов. Для исследуемых металлических порошков константы пористости [12-15]
железо ();
медь ().
Таким образом, константа пористости многокомпонентной системы

.

Относительное напряжение прошивки одной полости (1)

.

Приравнивая объем и плотность заготовки и изделия , определяем деформацию заготовки при заданной плотности изделия 

,

где , – объем скомпактированной заготовки и объем изделия

 мм³;

Исходя из найденной деформации, начальная высота заготовки

 мм.

Радиальная деформация (4) и диаметр заготовки при свободной осадке [16]

;
 мм.

Напряжение прессования отростка вследствие прошивки устанавливается с использованием метода баланса работ деформации, трения и прошивки. Так, для какой либо одной полости – верхней или нижней [17-20]

 мм³.

С полученными результатами, напряжение осаживания

.

Соответственно суммарное напряжение двухсторонней прошивки

.

Проверка кинематических и силовых расчетов процесса по сплошности осуществляется по методике Колмогорова В.Л. [21, 22]. Совокупность деформации формоизменения заготовки и радиальной деформации, определяют величину деформации сдвига

.

Степень деформации сдвига при разрушении, для отдельных составляющих композита, устанавливается по диаграмме пластичности (рис. 2).

Рис. 2. Диаграмма пластичности при холодной обработке

Оценочным критерием выбора  является показатель жесткости напряженного состояния

.

По диаграмме пластичности  и , тогда общая степень деформации сдвига для композита

,

где n – показатель пористости металлического порошка

 и ,

ρ , K – плотность и концентрация составляющих композита. Согласно уравнению связи плотностей композита «железо-медь» [23]

;
;
.

Полученная плотность металлических порошков с учетом их концентрации устанавливает совокупную плотность композита

.

Степень использования запаса пластичности определяется предельной величиной деформации сдвига, обуславливающей разрушение материала

,

что допускает деформирование заготовки по выбранному режиму без разрушения [24-30].