Приближенная оценка устойчивости сооружений по диаграмме равновесных состояний

Ладин Роман Акбарович — Wed, 19 Nov 2014 15:00:30 +0000

В задачах сейсмики сооружений [1,2,3,4,5], ветровых колебаний [6,7], или в физически нелинейных задачах при учете истории нагружения [8, 9,10] необходимо отслеживать состояние системы с оценкой устойчивости. При этом, данная вспомогательная задача должна достаточно просто решаться.
Для характеристики величины изменения амплитуд с ростом нагрузки необходимо ввести некоторую норму этого отклонения. Эту норму целесообразно сделать зависимой от приращения нагрузки, т. е. нормировать . При этом необходимо отслеживать, какую кривизну кривой равновесных состояний создают два последовательных отношения приращений и исходная амплитудная точка.
Самым эффективным и общим методом анализа произвольных систем дифференциальных уравнений, описывающих НДС конструкции, является метод пошагового анализа уравнений равновесия. Именно эту методику удобно использовать при анализе устойчивости напряжённо-деформированного состояния по кривой равновесных состояний системы. При этом собственно для анализа устойчивости достаточно сопоставить результаты расчётов двух шагов – начального и конечного.
Пусть действующая на конструкцию нагрузка. - возможное приращение нагрузки, составляющее малую определённую часть от (например, 0.05). - начальное обобщённое перемещение системы, соответствующее полной нагрузке, равной . Если при стыковочном анализе начального и текущего участков кривой (рис.1) имеется весьма существенное отклонение от начальной прямой – процесс деформирования неустойчив. Для исследования устойчивости данного равновесного состояния можно сделать малое положительное приращение нагрузки и оценить приращение обобщённого перемещения . Пусть норма сеточной функции есть неотрицательное число, которое принимается за меру отклонения линии ВС от прямолинейной зависимости -. Здесь точки В и С имеют координаты и , соответственно.

Рис. 1. К определению критерия входа в зону предельной нагрузки

Определим методику вычисления этой нормы. Если при одинаковых приращениях нагрузки имеются одинаковые приращения перемещений, то имеет место линейная связь Р – U. Мягкое снижение жесткости соответствует отношению
, (1)
где t – некоторое предельное число, принимаемое за критерий входа в зону слабой устойчивости, например t=2 .
Как известно, теория устойчивости по Ляпунову утверждает, что если система находится в состоянии устойчивого движения, то в ответ на малые возмущения следуют малые отклонения. Аналогичный, по сути, подход применяется и здесь: если на исследуемом участке движения (равновесия) малые возмущения нагрузки вызывают малые изменения напряжённо-деформированного состояния – система устойчива.
Определимся с термином «малое изменение напряжённо-деформированного состояния».
Если диаграмма Р – U имеет вид плавной кривой с ниспадающей ветвью, то всегда можно найти такое, что на одной из ступеней нагружения будет
. (2)
Итак, если норма сеточной функции достигла или превысила значение t , то конструкция исчерпала заданный показатель устойчивости.
Величина t, очевидно, связана с начальной жёсткостью системы. Поэтому для гибких тонкостенных систем достаточно принять t=2. Для достаточно жёстких систем можно принять t=3.
Сближение концов k-го стержня
(3)
где i – номер сечения стержня.
Обобщенное перемещение системы
, (4)
где K- количество стержней системы.
Величина, определяемая по соотношению , покажет нам состояние системы.

Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » rate of the grid function

Приближенная оценка устойчивости сооружений по диаграмме равновесных состояний