Дифференциальное исчисление дает два определения кривизны кривой. Средняя кривизна дуги есть отношение угла смежности к длине дуги. Кривизной линии в данной точке называют предел средней кривизны дуги, когда она стремится к нулю. Далее, основываясь на этих постулатах, логически строго получают формулы, характеризующие параметры (радиус, координаты центра и др.) кривизны.

Не повторяя строгие математические выкладки, дающие итоговые зависимости, отметим, что в процессе их вывода сделано следующее допущения (правда, в завуалированной форме и по умолчанию): в пределе синус угла равен самому углу (sina =a). [1, с.174 4-я строка снизу]. Зависимость выполняется лишь при a=0, но на нуль делить нельзя.

Справедливости ради отметим, что формулы, полученные с этим допущением, в основном «работают», то есть дают необходимый результат, но не всегда. Исключением являются экстремальные точки: это так называемые начальные точки и точки перегиба кривой.

Так, в [1, с.506] утверждается «У циклоиды радиус кривизны в точке О равен нулю…». Более того, в [1, с.183] это свойство доказывается путем математических преобразований. Нулевая кривизна с математической точки зрения существует и в начальной точке эвольвенты круга: «В частности, в начальной точке радиус кривизны эвольвенты равен нулю: …» [1, с.782]. Это же свойство приписывается и кардиоиде [1, с.769].

Особенность математического способа определения параметров кривизны состоит в том, он применим лишь для кривых, имеющих математическое описание, а также, кроме того, первую и вторую производную. Это значительно сужает область применения этой теории. Поэтому, по крайней мене, в справочной литературе, приводится ограниченное число эволют кривых: эллипс, парабола, циклоида, эвольвента круга, некоторые другие и отдельные точки эволюты кардиоиды.

Именно, с помощью второй производной в математике доказывается, что в точке перегиба кривизна нулевая: «Если вторая производная равна нулю, то кривизна равна нулю, радиус кривизны бесконечен и центра кривизны нет» [1, с.501].

Прежде чем перейти к опровержению этих утверждений, докажем теорему.

Любая точка любой плоской кривой имеет конечный радиус, каждая ее точка может быть и начальной, и точкой перегиба.

Но вначале дадим термины и определения, а также способ определения параметров кривизны: радиус и центр кривизны. При этом будем исходить из того, что точка, как геометрический объект не имеющий измерения, параметров кривизны не имеет, даже находясь в составе какой-либо кривой.

Кривизна есть характеристика линии, содержащей бесчисленное количество точек, две из которых, расположены близко или бесконечно близко друг от друга, и определяют искривленность. Исходя из этой позиции, радиуса кривизны как абсолютной величины в любой точке не существует. Можно говорить лишь о предельном значении, величину которого можно определить экстраполяцией измеренных значений в исследуемую точку.

Строго говоря, и при этом подходе можно иметь три различных значения предельного радиуса. Одно значение можно получить, приближаясь к исследуемой точке с одной стороны кривой, другое − с противоположной, и, наконец, третье, если исследовать интервал кривой, ограниченный двумя точками, расположенными на равном расстоянии от исследуемой по разные стороны от нее.

В качестве истины можно принимать либо третий вариант, либо среднее значение из первых двух.

Определение понятий касательная и нормаль заимствуем из математики. Графически касательную представляют, как прямую имеющую единственную общую точку с кривой в данной ее части.

Дабы расширить способ определения параметров кривизны на произвольную плоскую линию введем следующий способ их определения. При этом в качестве параметров будем рассматривать только радиус и координаты центра кривизны, то есть «привязывая» их к определенной локальный системе отсчета, если в этом есть необходимость.

На заданной кривой выбираем две близко расположенные точки, с помощью графического редактора или вручную карандашом на бумаге, проводим в них две касательные, а к ним две нормали. Точку пересечения нормалей будем считать центром, а расстояние от него до одной из точек радиусом кривизны. Последовательно уменьшая расстояние между точками, добиваемся значение заданной точности. Допустим, что решено определить параметры с точностью трех верных знаков после запятой. Если третье измерение дает те же три знака поле запятой, как и второй, то можно считать, что задача решена.

Кстати, описанный метод можно считать алгоритмом компьютерного вычисления. Тогда можно увеличить и точность вычислений и задавать большее число точек на исследуемой кривой. Это будет еще один вид стандартной кривой (наряду с эквидистантой, кривой Безье и др.) однозначно характеризующее, в данном случае кривизну произвольной заданной кривой.

Для доказательства вышеизложенной теоремы выберем произвольную замкнутую или непрерывную (можно периодически повторяющуюся) плоскую кривую (рис.1), образованную кинематическим путем, как и большинство замечательных математических кривых. В частности, это может быть траектория одной из точек многозвенного механизма.

Все точки этой кривой естественно имеют конечный (не нулевой) радиус кривизны. С другой стороны, по способу создания кривой, все точки «равноправны», поэтому любую из них можно считать начальной. Сопоставляя оба суждения, приходим к выводу, что начальная точка не может иметь нулевой радиус кривизны. К этому же выводу можно прийти и логическими рассуждениями. Невозможно мысленно представить кривую нулевого радиуса кривизны даже в одной ее точке.

Для доказательства сформулированной выше теоремы возьмем произвольный фрагмент произвольной кривой, выберем на нем произвольную точку (А) с известным предельным радиусом кривизны (R) и построим в ней касательную (k) к кривой. Поделим кривую в точке А на две отдельные части. Заменим одну из частей кривой ее симметричным отображением относительно касательной.

Рис.1 Радиусы кривизны кривой в точке перегиба.

В результате получим новую кривую с точкой перегиба (в точке А). Она непрерывна, не имеет излома, обе составные части имеют общую касательную. Но точка А имеет по построению два равных конечных разнонаправленных радиуса кривизны, что и требовалось доказать. Кстати это свойство точки перегиба широко используется в инженерной графике или черчении (здесь она называется точкой сопряжения), для построения сопряжения кривых линий или прямой с кривой. При этом радиусы кривизны кривой по обе стороны от точки перегиба может иметь разные значения.

Для графического исследования кривизны кривой в начальной точке выбрана Циссоида Диокла. В ее описании [1] также отмечается, радиус кривизны в нулевой точке, она же точка возврата, равен нулю (R₀=0).

Рис.2. Графическое изображение (´100) начального участка Циссоиды Диокла

По уравнениям (в прямоугольной и полярной системах), приводимых в [1], на графике рис.2 строим 6 точек вблизи от начальной. Например, первая из них имеет координаты: x=0.12182; y=0.00425.

Визуальная оценка формы кривой при 100 кратном увеличении показывает, что она ближе к прямой, чем к непонятно как изображаемой кривой нулевого радиуса.

Построения дали количественные параметры радиуса кривизны в области нулевой точки. С этой целью построены две нормали к одной ветви в нулевой (n₀) и первой точке, координаты которой указаны выше (n₁). Они пересеклись в точке A – центре средней кривизны начального участка Циссоиды Диокла. Измерение по чертежу показали, что численное значение радиуса кривизны равно@2,62 мм.

Более точно численное значение координат центра и радиуса кривизны можно получить аналитическим путем. Для этого достаточно составить с использованием первой производной, если кривая дифференцируема, или по чертежу два уравнения нормалей в двух точках (в данном случае нулевой и первой) и совместно решить их.

Но это предмет специальных исследований, выходящий за рамки поставленной автором задачи. Приводимые на рис.2 данные убедительно показывают, что кривизна в начальной точке имеет конечное, далеко не нулевое значение.

Конечное значение радиуса кривизны в точке перегиба рассмотрим на кривой, описываемой параметрическими уравнениями:

При положительных значениях переменного параметра t – это параметрические уравнения циклоиды, при отрицательных – кривая одновременно симметричная относительно осей абсцисс и ординат.

Рассмотрим часть этой кривой в пределах изменения аргумента от t= – 0,15° до t=+0,15° (Рис. 3).

Рис.3. Начальный участок кривой и его параметры.

На рис.3 показан участок кривой (кривая b), построенный по точкам при следующих значениях аргумента: t=±0,4; ±0,6; ±0,48; ±0,10; ±0,12 и ±0,15, величина параметра a=100 мм. Здесь же нанесена эволюта (с) верхней части кривой (циклоиды), построенной также по точкам уравнения эволюты циклоиды, найденной методами дифференциального исчисления.

Кроме того, графически по двум нормалям (в нулевой точке и ближайшей к ней) определены параметры кривизны: центр кривизны имеет координаты x=7,52 и y= -0,06 мм, радиус кривизны 7,53 мм.

Выполним сравнение и анализ полученных разными методами: графическим и дифференциального исчисления.

Итак, с точки зрения дифференциального исчисления точка О, как нулевая точка циклоиды должна иметь нулевой радиус кривизны. Это означает, что центр кривизны (точка А) должна совпадать с точкой О. Визуально видно, что и кривая b целиком, и ее верхняя часть ближе к прямой, чем к непонятно как выглядящей кривой нулевой кривизны.

С другой стороны, у кривой b точка O является точкой перегиба. Но она, согласно теории дифференциального исчисления, должна иметь бесконечный радиус кривизны (что судя по рис.3 ближе к истине). Налицо явное противоречие.

Ближе к истине, по-видимому, третий вариант, полученный графически. Радиус кривизны в нулевой точке, она же точка перегиба, конечен и примерно равен указанной выше величине. Не абсолютное, но более точное его значение можно найти аналитически, хотя существенно оно отличаться не будет.

Повторяясь отмечу, что цель автора не критика, а разработка инженерного метода графического определения параметров кривизны произвольной кривой, что и будет выполнено далее.

В качестве объекта построения эволюты выберем «замечательную» (по терминологии [1, с.769] кривую – улитку Паскаля, а точнее ее частный случай кардиоиду. Это сделано потому, что в ней известны две точки (хотя одна с ошибкой присущей используемому методу) эволюты (для сравнения полученных результатов), но не известна приблизительно даже ее форма. К слову исследованием различных свойств (форма, параметры кривизны, точки перегиба, кинематические свойства, площади, объемы) замечательных кривых занимались многие известные геометры, в основном прошлого времени. Компьютерное исследование этих кривых позволяет уточнить некоторые полученные ранее параметр и зависимости. Но об этом будет сказано в последующих публикациях.

Итак, используя уравнение кардиоиды в полярной форме с интервалом 5-10 градусов по точкам построена кривая, диаметр производящего круга которой принят 20 мм. В исследуемой точке и точке, отстоящей от нее на расстояние 0,02 мм, по хорде, проводились касательные (k), а к ним нормали (n). Точки пересечения нормалей считались центрами кривизны. Их геометрическое место также кардиоида, но с основной окружностью примерно в 3 раза меньшего размера (рис.4). Радиусы кривизны в исследуемых точках также графически показаны на рис.4.

Рис.4. Графическое построение эволюты кардиоиды.

Построение эволюты (рис.4а) выполнено по описанному выше методу. Диаметр основной окружности a=20 мм. Параметр l для кардиоиды всегда равен a, а полюс в точке с нулевыми координатами. Кардиоида построена по точкам: вспомогательные прямые, проходящие через полюс, проводились через 10 градусов (0, 10, 20 …). Точки эволюты находили для участка кривой с хордой длиной 0,2 мм. При этом плавности кривой (эволюты) добивались увеличением числа исследуемых участков.

В результате установлено: в точке А радиус кривизны равен 4/3a, что совпадает с параметром, указанном в справочнике. Остальные точки эволюты кардиоиды образуют также кардиоиду, но размерами меньшими примерно в три раза. Эта зависимость установлена, по-видимому, впервые. Термин примерно означает, что фактически кардиоида больше своей эволюты в 2,97. И это число нельзя считать окончательным, необходимо установить последующие знаки, если это окажется возможным.

Особое внимание было уделено начальному участку кардиоиды. Установлено, что угол между касательными в начальной точке составляет примерно 7 градусов. Нормали в начальной точке и точке дуги, отстоящей по хорде на 0,2 мм, пересеклись в точке D с координатами: x=0,076; y=1,308. Измеренное расстояние до начальной точки – радиус кривизны – 1,31 мм (рис.4в). Таким образом, графически доказано, что радиус кривизны в начальной точке кардиоиды не равен нулю, как это утверждает дифференциальное исчисление. Разрыв в эволюте составляет примерно 2,62 мм, ее отдельное изображение показано на рис.4б.

Радиус кривизны в полюсе кардиоиды естественно не равен нулю, его графическое определение дает значение R=1,31 мм. На величину удвоенного радиуса кривизны в начальной точке эволюта имеет разрыв.

В заключение отметим, что графическое и аналитическое (методами дифференциального исчисления) определение параметров кривизны (эволюты) эллипса ввиду отсутствия нулевых точек и точек перегиба расхождений не дает. Построение эволют произвольных кривых имеет лишь прикладной характер, поэтому здесь не приводится.