,     (1)

где  при  и может обращаться в нуль при  и , .
Пусть  – конечная односвязная область плоскости независимых переменных  с границей  – часть Г, где характеристическая форма уравнения (1) , а  совпадает с множеством точек , для которых функции  – направляющие косинусы вектора нормали к Г, , .
Заметим, что уравнение (1) является прямым параболическим уравнением при  и обратно параболическим [1] при  и .
Задача G. Найти регулярное решение  уравнения (1) в области из класса , удовлетворяющее краевому условию

.      (2)

Пусть L^* – оператор, сопряженный по Лагранжу с оператором L:

,      (3)

 пространство Соболева [2] со скалярным произведением  и нормой 
Обозначим через  множество функций  из класса , для которых  и соблюдено краевое условие (2), а через  – множество функций  из W, для которых  и выполнено краевое условие

,     (4)

здесь  – множество точек , где функция .
Для любых функций  и  справедливо равенство

.      (5)

Действительно, пусть  – область прямой параболичности уравнения (1), а  и  – области обратной параболичности (1). Тогда, будем иметь [3]:

где  – элементы длины , () – направляющие косинусы внешней нормали N к границам областей . Принимая во внимание условия (2) и (4), а также и свойства направляющих косинусов, из последнего выражения получаем равенство (5).
В соответствии с этим задачу : найти функцию  из класса , удовлетворяющую уравнению (3) в области и краевому условию (4), будем называть сопряженной задаче G.
Слабым решением задачи G назовём любую функцию , для которой

, ,

а слабым решением задачи  – функцию , для которой

, .

Для любых функций  и  имеют место энергетические неравенства

 ,      (6)
 ,      (7)

где  – положительные постоянные, независящие от , соответственно.
В самом деле, пусть  – произвольная функция класса , обладающая тем свойством, что

.      (8)

Из очевидных тождеств

,

В результате почленного сложения и применения формулы Грина аналогично [4, 5], нетрудно убедиться в справедливости равенства:

      (9)

Из (9), с учётом (2) и (8), заключаем, что

,      (10)

где

.

Далее, пользуясь хорошо известным неравенством , получаем

.

Из последнего неравенства и (10), убеждаемся в справедливости (6). Аналогично может быть получена априорная оценка для.
Энергетические неравенства (6) и (7) – необходимое и достаточное условие существования при любой  полусильного решения.