Создание любой физической теории состоит из двух этапов. Первый – создание математической модели физического явления, второй – обработка этой модели и получение каких-либо следствий теории. Первый этап включает в себя формулировку определений физических величин, постулатов, аксиом, границ применимости теории и прочего, т.е. перевод физических объектов и принципов в соответствующие математические эквиваленты. Второй этап включает в себя математическую обработку полученной модели – поиск неочевидных взаимосвязей и следствий теории. Без первого этапа обойтись нельзя, т.к. математика оперирует только математическими понятиями. Если есть сомнения в справедливости теории, то нужно анализировать первый этап – этап создания математической модели. Анализировать математическую часть теории равносильно проверке математических теорем на наличие ошибок. Вот как об этом, применительно к геометрии, пишет Г. Рейхенбах [1 с.22-23], цитата:

«Если математик не связан использованием определенной системы аксиом и может применять аксиому не-а точно так же, как и аксиому а, тогда утверждение а не относится к математике, а математика есть не что иное, как наука об импликациях, то есть об отношениях типа «если …, то …». Следовательно, для геометрии как математической науки не существует проблемы истинности ее аксиом … Аксиомы не являются ни истинными, ни ложными, а лишь произвольными утверждениями».

Таким образом, математика ничего не может сказать об истинности аксиом теории, если только эти аксиомы не противоречат сами себе. Значит использование математического аппарата теории для исследования ее справедливости совершенно бессмысленно. Такое исследование нужно проводить с помощью анализа уже известных следствий теории на предмет их соответствия очевидным и неоспоримым физическим и логическим принципам, проверяя этим математическую модель. Именно такой подход использован далее в статье для анализа применимости теории относительности при описании пространства-времени в системе отсчета вращающегося диска. 

Синхронизация часов на вращающемся диске

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета (далее ИСО) A вращается плоский диск, ось вращения которого перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр (рис. 1а). На диске размещены одинаковые часы B₁ – B₂, которые прикреплены к ободу диска и вращаются вместе с ним. Такие же часы A₁ размещены в непосредственной близости от обода диска и неподвижны. Часы A₁ показывают, так называемое, координатное время, одинаковое во всех точках ИСО A.

Рис. 1. а) ИСО A, гравитационного поля нет, часы B₁ – B₂ вращаются вместе с диском; б) система отсчета B, связанная с диском, в которой существует гравитационное поле G, часы B₁ – B₂ неподвижны, а часы A₁ вращаются.

Покажем, что если часы на ободе диска были синхронизированы до начала вращения, то они будут идти синхронно всегда, независимо от характера вращения диска [6 с.309].

Перейдем в систему отсчета B связанную с диском (рис. 1б), в которой часы B₁ – B₂ неподвижны. Это неинерциальная система отсчета, поэтому в соответствии с теорией относительности в ней существует некоторое гравитационное поле G [2 c.329; 3 с.195]. Это поле зависит от характера вращения диска, оно может быть стационарным (если диск вращается с постоянной угловой скоростью) или нет, но при этом всегда будет центрально симметричным, в силу того, что оно должно оставаться неизменным при повороте системы отсчета относительно центра диска.

Пусть часы B₁ и B₂ синхронизированы до начала раскрутки диска. Часы B₁ и B₂ всегда абсолютно равноправны, т.к. всегда находятся в эквипотенциальных точках гравитационного поля, как при равномерном вращении диска, так и при его раскрутке. Поэтому однажды синхронизированные по координатному времени они будут всегда синхронны, независимо от характера вращения.

С точки зрения ИСО A часы B₁ и B₂ тоже идут синхронно. Действительно, если в ИСО A рассмотреть бесконечно малый отрезок обода диска B₁B₂, и предположить, что часы в точке B₂ отстают от часов в точке B₁, тогда для следующего бесконечно малого отрезка B₂B₃ часы в точке B₃ тоже отстают (в силу симметрии) от часов в точке B₂, следовательно, и от часов B₁. То есть каждые последующие часы отстают от предыдущих. Продолжая такие итерации n раз вдоль обода диска получим, что любые часы B_n отстают от часов B₁, но вернувшись в начальную точку B₁ получим, что часы B_n, теперь совпадающие с B₁, отстают от самих себя! Таким образом, наше предположение о том, что часы в точке B₂ отстают от часов в точке B₁, – ошибочно. Следовательно, все часы на ободе диска могут идти только синхронно. Таким образом, уже только в силу симметрии ситуации любая пара часов на диске (синхронизированная до начала вращения) в любой фиксированный момент координатного времени не может показывать разное время, иначе это приводит к логическому противоречию.

То, что часы на ободе диска идут синхронно как с точки зрения системы отсчета B, так и с точки зрения ИСО A, означает, что события, одновременные в системе отсчета B будут одновременными и в ИСО A (и наоборот).

Этот результат можно получить немного иначе. Пусть до начала вращения диска часы B₁ идут синхронно с координатными часами. При разгоне диска показания часов B₁ становятся не идентичными показаниям координатных часов. С точки зрения системы отсчета B это связано с возникновением гравитационного поля, а с точки зрения ИСО A – с движением часов B₁. В зависимости от характера разгона диска показания τ₁ часов B₁ будут связаны с показаниями t координатных часов некоторой функцией. С точки зрения системы отсчета B эта функция τ₁ = ψ(t, g_μν(t), γ_μν(t)) зависит от гравитационных потенциалов в точке B₁. С точки зрения ИСО A эта функция τ₁ = φ(t, V(t)) зависит от скорости точки B₁. Но и функция ψ, и функция φ совершенно идентичны для различных точек на ободе диска в силу симметрии. То есть для любой другой точки на ободе диска B₂ показания ее часов τ₂ = ψ(t, g_μν(t), γ_μν(t)) = τ₁ и τ₂ = φ(t, V(t)) = τ₁. Это означает, что для любых двух точек на ободе диска в один и тот же момент координатного времени t (события одновременны по часам ИСО A) – показания часов τ₁ и τ₂ в этих точках будут равны (события одновременны и по часам системы отсчета B).

Но как синхронизировать часы на ободе уже вращающегося диска, если они небыли синхронизированы до начала вращения? Хотя все часы на ободе диска идут с одинаковым темпом, в общей теории относительности доказывается невозможность синхронизации часов, расположенных на ободе диска, в системе отсчета диска [2 с.329], что объясняется свойствами гравитационного поля. Покажем далее, что общие логические принципы, на которых основаны способы синхронизации часов в инерциальной системе отсчета, применимы также и для синхронизации часов на ободе диска, нужно лишь найти соответствующий непротиворечивый способ.

С точки зрения какой-либо системы отсчета часы в точках B₁ и B₂ идут синхронно, если разность τ_B2 – τ_B1, времени прихода сигнала в точку B₂ (по часам B₂) и времени испускания сигнала из точки B₁ (по часам B₁) равна разности τ′_B1 – τ′_B2, времени прихода сигнала в точку B₁ (по часам B₁) и времени испускания сигнала из точки B₂ (по часам B₂) [5 c.417]. При этом предполагается, что условия распространения сигналов, посылаемых из точки B₁ в точку B₂ и обратно, абсолютно идентичны. Если время распространения сигнала из точки B₁ в точку B₂ известно, и равно ∆τ, то условие синхронности часов эквивалентно следующему:

τ_B2 – τ_B1 = ∆τ                                                                                                                    (1)

Действительно, если (1) ложно, то часы идут не синхронно. Причем применение уравнения (1) уже не требует идентичности условий распространения сигнала туда и обратно, но для его применения необходимо знать величину ∆τ. Рассмотрим далее способы синхронизации часов на ободе диска и проанализируем их, как с точки зрения связанной с диском системы отсчета B, так и с точки зрения ИСО A.

Способ №1. В системе отсчета B проложим вдоль обода диска световод. Хотя для синхронизации часов можно использовать и другие виды сигналов, но т.к. в теории относительности с этой целью как правило используется свет, то мы тоже не будем отступать от этой традиции. Для синхронизации часов на ободе диска при помощи уравнения (1) нужно знать время распространения сигнала ∆τ по световоду из точки B₁ в точку B₂, но его нельзя измерить, т.к. условия распространения сигнала туда и обратно не одинаковы. Однако измерять время распространения сигнала между точками B₁ и B₂ необязательно, его можно точно рассчитать. Для этого достаточно измерить длину L всего обода, длину l дуги B₁B₂ и время ∆T полного оборота сигнала по световоду вокруг диска. Сигнал синхронизации нужно будет посылать из точки B₁ в точку B₂ в том же направлении, как и при измерении ∆T, т.к. различные направления движения сигнала вдоль обода диска неравноправны. Время распространения сигнала ∆τ будет равно:

∆τ = ∆T∙l/L

Теперь синхронизировать часы B₂ можно послав сигнал из B₁ в B₂ (в том же направлении, как и при измерении ∆T), измерив время его приема τ₂ в точке B₂, а также передав любым способом время его отправления τ₁ по часам точки B₁. Для того, чтобы часы B₁ и B₂ были синхронны, требуется выполнение равенства (1), в данном случае:

τ₂ – τ₁ = ∆T∙l/L                                                                                                                       (2)

В точке B₂ есть значения всех величин, входящих в это равенство, поэтому, если оно не выполняется, скорректируем показания часов B₂ на величину несовпадения левой и правой частей уравнения. Корректность такого способа следует из того, что скорость сигнала по световоду не зависит от места на ободе диска и поэтому время его распространения между точками B₁ и B₂ может быть рассчитана из геометрических соображений.

Докажем, что часы B₁ – B₂, синхронизированные в системе отсчета B этим способом, с точки зрения ИСО A также идут синхронно, т.е. что одновременные с точки зрения системы отсчета B события будут одновременными и с точки зрения ИСО A. До начала синхронизации часов B₁ – B₂ между собой, произведем дополнительную регулировку часов B₁, по которым потом будут синхронизированы часы B₂. Эта регулировка заключается в том, что когда часы B₁, пролетая мимо очередных координатных часов A_n, обнаруживают их нулевое показание, то часы B₁ тоже устанавливаются на ноль. Теперь собственное время τ, отсчитываемое часами B₁, связано с координатным временем t, отсчитываемым часами A_n, соотношением [6 с.309; 3 с.183-184]:

t = γ∙τ                                                                                                                                           (3)

где:

γ = (1 – ω²r²/c²) ^–1/2                – Лоренц-фактор;

ω                                            – частота вращения диска;

r                                             – радиус диска;

с                                             – скорость света.

Далее, с точки зрения ИСО A сигнал синхронизации из точки B₁ отправляется в момент времени t₁ и приходит в точку B₂ в момент времени t₂. Время распространения сигнала между точками B₁ и B₂ (исходя из тех же геометрических соображений, как и ранее, а также синхронности часов ИСО A) равно:

t₂ – t₁ = ∆T₀∙l₀/L₀                                                                                                                   (4)

где:

∆T₀, l₀ и L₀ – время полного оборота сигнала по световоду вокруг диска, длина дуги B₁B₂ и полная длина обода диска соответственно (в ИСО A).

Уравнение (2) истинно, т.к. в соответствии с ним мы синхронизировали часы B₁ – B₂. Истинно и уравнение (4), т.к. описывает синхронные часы A_n. Умножим обе части уравнения (2) на Лоренц-фактор γ и вычтем получившееся уравнение из (4):

(t₂ – t₁) – (γ∙τ₂ – γ∙τ₁) = ∆T₀∙l₀/L₀ – γ∙∆T∙l/L

Учитывая, что ∆T₀ = γ∙∆T, а отношение длины дуги B₁B₂ к полной длине обода диска одинаково в обоих системах отсчета, получим:

(t₂ – t₁) – (γ∙τ₂ – γ∙τ₁) = 0

Подставляя для часов B₁ выражение для τ₁ из (3), имеем:

t₂ – γ∙τ₂ = 0 или

t₂ = γ∙τ₂

Мы получили уравнение, связывающее координатное время и показания часов B₂, причем абсолютно идентичное уравнению (3), связывающему координатное время и показания часов B₁. Это означает, что если τ₂ = τ₁ (события одновременны по часам B_n), то и t₂ = t₁ (события одновременны и по часам A_n), что и требовалось доказать.

Способ №2. Соединим часы B₁ и B₂ световодом, проложенным от часов B₁ вдоль радиуса диска к его центру, и далее от центра вдоль радиуса диска к часам B₂ (Рис. 2б). Синхронизируем часы B₂ с часами B₁ следующим образом. Испустим из точки B₁ световой импульс по световоду. Измерим время его испускания τ₁ по часам B₁, время отражения τ₂ в точке B₂ по часам B₂ и суммарную длительность распространения ∆τ₁ от точки B₁ до точки B₂ и обратно (по часам B₁). Время распространения ∆τ светового импульса из B₁ в B₂ складывается из двух интервалов: от точки на ободе диска до его центра, и от центра диска к точке на ободе диска. Точно из таких же интервалов складывается время распространения светового импульса обратно, из B₂ в B₁. Поэтому, независимо от того, является ли скорость импульса константой, время распространения светового импульса из B₁ в B₂ равно времени его распространения обратно в силу симметрии, таким образом:

∆τ = ∆τ₁/2,

Чтобы часы B₂ были синхронны с часами B₁, требуется выполнение равенства (1), в данном случае:

τ₂ – τ₁ = ∆τ₁/2                                                                                                                (5)

Для подстройки часов B₂ под часы B₁ передадим любым способом из точки B₁ в точку B₂ информацию о времени τ₁ и интервале ∆τ₁. В точке B₂ теперь есть значения всех величин, входящих в уравнение (5), поэтому, если оно не выполняется, скорректируем показания часов B₂ на величину несовпадения левой и правой частей этого уравнения. Или наоборот, для подстройки часов B₁ под часы B₂, можно передать любым способом из точки B₂ в точку B₁ информацию о времени τ₂. Тогда в точке B₁ будут значения всех величин, входящих в уравнение (5), поэтому, если оно не выполняется, скорректируем показания часов B₁ на величину несовпадения левой и правой частей этого уравнения.

Покажем, что часы B₁ и B₂, синхронизированные в системе отсчета B этим способом, с точки зрения ИСО A также идут синхронно, т.е. что одновременные с точки зрения системы отсчета B события будут одновременными и с точки зрения ИСО A. Пусть в системе отсчета B в какой-то момент времени τ₀ из точек B₁ и B₂ одновременно испущены сигналы к центру диска, т.е. время испускания сигнала по часам B₁ равно времени испускания сигнала по часам B₂ и равно τ₀. Очевидно, что с точки зрения системы отсчета B сигналы придут в центр диска одновременно в силу симметрии, затратив на движение время Δτ_x. Но одноместные и одновременные события остаются таковыми в любой системе отсчета, значит и с точки зрения ИСО A сигналы в центр диска придут одновременно в какой-то момент времени t_x по координатным часам, затратив на движение в силу симметрии одинаковое время Δt_x. Следовательно, с точки зрения ИСО A оба сигнала испущены в момент координатного времени, равный:

t₀ = t_x – Δt_x,

То есть в одно и то же время.

В обоих способах синхронизации мы получили, что на ободе диска одновременные по собственному времени события – будут одновременными и по координатному времени.

Взаимосвязь времени и длины на вращающемся диске

Согласно специальной теории относительности любые тела при движении подвергаются Лоренцеву сокращению. Этот кинематический эффект напрямую связан с понятием относительности одновременности, потому что длина в движущейся системе отсчета (по определению) должна измеряться приложением концов линейки к измеряемому отрезку одновременно, по часам, отсчитывающим собственное время в системе отсчета наблюдателя (неподвижной относительно него). Рассмотрим две точки B₁ и B₂ расположенные так близко друг от друга на ободе вращающегося диска, что дугу B₁B₂ можно считать отрезком, движущимся параллельно самому себе со скоростью V. С точки зрения неподвижной ИСО A расстояние между ними пусть будет равно Δx. Для любых двух событий время ∆t в ИСО A и ∆t′ в мгновенно сопутствующей отрезку B₁B₂ ИСО, связаны преобразованиями Лоренца:

∆t′ = γ∙(∆t + V∙Δx/c²)                                                                                                      (6)

где:

γ – Лоренц-фактор;

с – скорость света.

Если для измерения длины отрезка B₁B₂ в ИСО A линейка приложена к его концам одновременно (∆t = 0), то и в системе отсчета B события совмещения концов линейки и отрезка B₁B₂ будут одновременны (∆t′ = 0). Это неизбежное следствие непротиворечивой синхронизации часов системы отсчета B, подробно рассмотренной в предыдущем разделе. Учитывая, что V и Δx по условию не равны нулю, уравнение (6) может быть истинным только в случае с → ∞. В этом случае преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Одновременность разноместных событий в разных системах отсчета влечет за собой и отсутствие Лоренцева сокращения длины. Действительно, интервал ds в теории относительности задается выражением [3 с.76, 195; 4 с.235]:

ds² = dσ² – (c∙dt)²                                                                                                                 (7)

где:

dσ – пространственное расстояние между двумя точками физического пространства, между которыми произошли два события;

dt – разница во времени между этими событиями;

c – скорость света.

Из (7) квадрат длины движущегося отрезка B₁B₂ в неподвижной ИСО A равен:

dσ² = (c∙dt)² + ds²

Учитывая одновременность прикладывания линейки к его концам (dt = 0), получаем:

dσ² = ds²                                                                                                                                  (8)

Квадрат длины того же отрезка в его собственной системе отсчета равен:

(dσ′)² = (c∙dt′)² + (ds′)²

Но с точки зрения собственной системы отсчета отрезка B₁B₂ линейка тоже приложена одновременно (dt′ = 0). Это неизбежное следствие непротиворечивой синхронизации часов системы отсчета B, подробно рассмотренной в предыдущем разделе. Поэтому:

(dσ′)² = (ds′)²                                                                                                                         (9)

В силу инвариантности интервала ds² = (ds′)², сравнивая (8) и (9), получаем:

dσ = dσ′

То есть длина отрезка B₁B₂ с точки зрения системы отсчета B такая же, как и с точки зрения ИСО A.

Принимая во внимание все сказанное выше, получаем, что при рассмотрении движущейся системы отсчета, связанной с вращающимся диском, невозможно на его ободе непротиворечиво ввести понятия относительности одновременности и Лоренцева сокращения длины, и только преобразования Галилея способны связать в разных системах отсчета (неподвижной и связанной с диском) пространственно-временные координаты точек обода диска.

Скорость в системе отсчета вращающегося диска

Рассмотрим в неподвижной ИСО A неподвижную точку А₁, находящуюся вблизи обода диска. В системе отсчета B, связанной с диском, эта точка движется со «скоростью», равной [3 с.195, 199]:

U = dσ/dt = ω∙r/(1 – ω²∙r²/c²)^1/2

где:

dσ – интервал собственного расстояния в системе отсчета B;

dt – интервал координатного времени (времени ИСО A);

ω – угловая скорость вращения диска;

r – расстояние от точки до центра диска;

c – скорость света.

Так как ω∙r может быть сколь угодно близкой к скорости света (но не превышать ее), то очевидно, что U может быть любой, в том числе и сколь угодно превышать скорость света. Но эта «скорость» выражена через координатное время, и вообще говоря, не является скоростью в прямом смысле этого слова. Скорость, которую фиксирует наблюдатель, должна быть выражена через собственное время τ наблюдателя. Скорость V точки А₁, для наблюдателя на ободе диска, мимо которого в данный момент она пролетает, выраженная через собственные интервалы пространства и времени наблюдателя, равна:

V = dσ/dτ = (dσ/dt)∙(dt/dτ) = U∙ dt/dτ

Учитывая, что [3 с.194, 200]:

dt/dτ = 1/(1 – ω²∙r²/c²) ^1/2

получаем:

V = U/(1 – ω²∙r²/c²)^1/2 = ω∙r/(1 – ω²∙r²/c²)

Мы видим, что и эта скорость может сколь угодно превышать скорость света. Если рассмотреть наблюдателя-2, который находится в движущейся ИСО, и в момент совмещения точки А₁ и наблюдателя-1, находящегося на ободе диска, совпадает с последним и имеет ту же скорость относительно неподвижной ИСО A (т.е. движущаяся ИСО с наблюдателем-2 является мгновенно сопутствующей ИСО для наблюдателя-1 на ободе диска), то оба эти наблюдателя должны зафиксировать одну и ту же величину скорости точки А₁. Таким образом, наблюдатель-2 в движущейся ИСО может зафиксировать скорость точки А₁, превышающую скорость света.

Заключение

В свете сказанного выше можно сделать заключение о неприменимости теории относительности к описанию движения вращающегося диска. Очень наглядно противоречивость попыток такого описания представлена в [6 с.313], где анализируется движение двух тел M₁ и M₂ от точки M₀, неподвижной в системе отсчета S, связанной с диском, со скоростями +V и –V вдоль обода диска относительно системы S, цитата:

«В связанной с диском системе S разность времен движения тел M₁ и M₂ будет равна нулю, если при ее вычислении пользоваться естественными временами систем, связанных с каждым телом. (Действительно, двигаясь с одинаковой скоростью, тела M₁ и M₂ проходят одинаковое расстояние.) При этом естественные времена должны измеряться двумя связанными с движущимися телами часами H₁ и H₂, которые в начальный момент синхронизируются с неподвижными в системе S часами H, а затем сверяются с часами H при помощи световых сигналов. Когда движущиеся тела M₁ и M₂ возвратятся в начальную точку, часы H₁ и H₂ будут показывать одно и то же время. Но по отношению к H часы H₁, двигавшиеся в направлении вращения диска, будут запаздывать на 2ωⱾ/c², а часы H₂ – двигаться с опережением на 2ωⱾ/c². Таким образом, полный оборот по окружности тело M₁, двигавшееся в направлении вращения диска, совершит за больший промежуток времени, чем тело M₂. Разность времен обхода, вычисленная в естественном времени диска и измеряемая при помощи часов H, будет равна 4ωⱾ/c²».

Проанализируем приведенную выше цитату. Во-первых, если рассматривать разность времен движения тел M₁ и M₂ в связанной с диском системе S, то при этом нельзя пользоваться естественными временами систем, связанных с каждым телом. Время это одна из координат системы отсчета, как можно искать разность интервалов времени в системе отсчета S и для этого вычитать интервалы времени, измеренные в двух совершенно других системах отсчета. Во-вторых, скорость – это характеристика движения тела, выражаемая через пространственно-временные метрики одной и той же системы отсчета. Абсурдно выражать скорость тела, используя пространственные метрики из одной системы отсчета, а временны′е – из другой. Если, как оговорено в постановке задачи, скорости тел M₁ и M₂ в системе отсчета S равны и постоянны, то учитывая, что тела проходят один и тот же путь, вернуться в исходную точку M₀ они должны одновременно по часам H системы отсчета S, а не по часам H₁ и H₂, связанным с телами M₁ и M₂. Тогда, исключая возможность ошибки в расчетах в [2 с.329; 6 c.311], выход из ситуации возможен только при условии с → ∞, которое обращает в ноль выражение 2ωⱾ/c² и по сути является условием перехода к классической механике Галилея-Ньютона.

Пожалуй, самый известный из всех парадоксов теории относительности это «Парадокс близнецов» или «Парадокс часов». Разъяснение этого парадокса еще в 1918 г. дал сам А. Эйнштейн в статье «Диалог по поводу возражений против теории относительности» [1 с.616-625]. В этой работе описан следующий мысленный эксперимент. Пусть А и В – две удаленные друг от друга точки неподвижной системы К. Пусть U₁ и U₂ – двое совершенно одинаковых часов, расположенных в точке А и показывающих одинаковое время. Сообщим часам U₂ некоторую постоянную скорость к точке В. Пусть в точке В скорость часов U₂ меняется на противоположную и по возвращении в точку А они останавливаются. Так как наблюдаемое из К изменение показаний часов U₂, произошедшее при их развороте, имеет некоторую конечную величину, и так как часы U₂ при движении вдоль отрезка АВ идут медленнее часов U₁, то при достаточно большой длине отрезка АВ часы U₂ по возвращении в точку А должны отставать от часов U₁ на некоторое время ∆t₁. Если процесс перемещения часов U₂ в точку В и обратно рассмотреть относительно системы К′, связанной с часами U₂, в которой они неподвижны, то, учитывая неравноправность К и К′ (вследствие неинерциальности К′), для расчета показаний часов U₁ необходимо привлечение общей теории относительности. В этом случае, как утверждается в вышеупомянутой статье, суммарное отставание часов U₁ от U₂ на Δt₁ на участках постоянной скорости часов U₁ относительно К′ компенсируется их уходом вперед на Δt₂ во время разворота в гравитационном поле, возникающем в неинерциальной системе К′, причем:

Δt₂ = 2·Δt₁

Таким образом, суммарно, как и в случае рассмотрения процесса относительно системы К, часы U₂ будут отставать от U₁ на Δt₁, т.е. никакого противоречия нет.

В своей статье Эйнштейн не приводит расчетов, но такие расчеты можно найти, например, в книге М. Борна «Эйнштейновская теория относительности» [2 с.343-346]. В этих расчетах для сравнения длительности путешествия по часам U₁ и U₂ используются приближенные формулы (как в системе отсчета K, так и в системе отсчета К′), которые получены для случая движения часов U₂ вдоль прямой линии, при этом их разворот осуществляется путем торможения и последующего разгона в обратном направлении. Применимость этих приближенных формул обоснована двумя основными допущениями. Первое допущение заключается в том, что расстояние L между часами при развороте (отрезок AB) предполагается сколь угодно большим по сравнению с участком разворота. Второе допущение заключается в том, что при рассмотрении разворота часов U₁ в гравитационном поле g системы отсчета К′ расстояние L между часами должно быть ограничено соотношением [2 с.343; 3 с.305-306; 5 с.205]:

g∙L/c² << 1,

то есть не может быть сколь угодно большим. Как видим, использованные допущения взаимно исключают друг друга. Первое предполагает сколь угодно большую длину отрезка AB, а второе это запрещает. Данное противоречие можно устранить отказавшись от первого допущения, т.е. от сколь угодно большой длины отрезка AB по сравнению с участком разворота. Покажем, что это можно сделать, причем совершенно не усложняя расчетов. Рассмотрим похожий мысленный эксперимент, немного изменив траекторию движения часов U₂. Это изменение позволит нам для сравнения показаний часов U₁ и U₂ использовать не приближенные, а точные формулы теории относительности.

Разворот по дуге окружности.

Пусть при развороте часы U₂ не тормозят, а продолжают лететь с той же скоростью V, но по дуге радиуса r вокруг точки B (рис. 1), представляющей собой часть окружности. Причем прямые части траектории часов U₂ являются касательными к этой окружности, что исключает скачкообразное изменение направления скорости часов U₂ в точках начала и конца разворота, и обеспечивает, так сказать, «бесшовный» переход от равномерного и прямолинейного движения к движению по окружности, и обратно. Угловая скорость вращения часов U₂ вокруг точки B на участке разворота будет равна:

ω = V/r

Чтобы без потери точности расчетов исключить необходимость рассмотрения неинерциальных участков разгона и торможения часов U₂ в точке A, немного изменим для часов U₁ и U₂ порядок их синхронизации на старте и сверки показаний на финише. Пусть часы U₂ не разгоняются в точке A, а пролетают мимо нее со скоростью V в направлении к точке B и синхронизируются с часами U₁ в момент их совмещения. На обратном пути часы U₂ не останавливаются в точке A, а пролетают мимо с той же скоростью, сверяя свои показания с часами U₁ в момент их совмещения.

Рис. 1. Разворот часов U₂ в точке B по окружности.

Рассмотрим сначала ситуацию с точки зрения системы отсчета К′, связанной с часами U₂. Суммарное время ΔT′_U2, прошедшее по часам U₂ между событиями первой и второй встречи с часами U₁, равно:

ΔT′_U2 = ∆τ′_U2 + ∆t′_U2                                                                        (1)

где:

∆t′_U2 – время разворота по часам U₂;

∆τ′_U2 – суммарное время, прошедшее по часам U₂ на участках равномерного и прямолинейного движения.

Суммарное время ΔT′_A, прошедшее по часам U₁ между событиями первой и второй встречи с часами U₂, равно:

ΔT′_A = ∆τ′_A + ∆t′_A                                                                                     (2)

где:

Δt′_A – время разворота по часам U₁;

∆τ′_A – суммарное время, прошедшее по часам U₁ на участках равномерного и прямолинейного движения.

Учитывая, что согласно специальной теории относительности на участках равномерного и прямолинейного движения с точки зрения часов U₂ движущиеся часы U₁ идут медленнее в γ раз [1 с.74, 156; 2 с.243, 344], имеем:

∆τ′_U2 = γ∙∆τ′_A                                                                                  (3)

где:

γ = (1 – V ²/c²) ^–1/2 – Лоренц-фактор;

с – скорость света.

На участке разворота система К′ является вращающейся системой отсчета с центром в точке B, поэтому в ней существует гравитационное поле, в котором часы U₂ неподвижны, а часы U₁, вращаются с угловой скоростью ω вокруг неподвижной точки B, где находятся точно такие же часы U_B. Теория относительности ограничивает использование системы отсчета К′ на участке разворота следующим условием [4 с.329; 5 с.182]:

R < с/ω = с∙r/V,

которое для любых R и r всегда может быть соблюдено соответствующим выбором скорости V, не равной нулю.

Во вращающейся системе отсчета темп хода часов U₁ и U_B одинаков [5 с.211-212], т.к. в инерциальной системе отсчета K они неподвижны и являются так называемыми «координатными» часами [5 с.184]. В самом деле, предположим, что это не так. Тогда, если в системе К′ до начала вращения показания часов U₁ и U_B отличались на некоторую величину, то совершив достаточно много оборотов по окружности вокруг точки B, а потом вернувшись на прежнюю прямолинейную траекторию (рис. 2), их показания отличались бы уже на другую величину (в системе K при этом вращались бы, а потом вернулись на прежнюю траекторию часы U₂).

Рис. 2. Переход от прямолинейного движения к движению по окружности и обратно на ту же прямолинейную траекторию.

Получается, что мы вернулись в ту же инерциальную систему отсчета, в которой находились до начала вращения (она движется с той же скоростью и в том же направлении), но теперь показания часов U₁ и U_B отличаются на другую величину, зависящую от количества оборотов, сделанных часами U₂ по окружности. Это означает, что показания часов U₁ и U_B зависят не только от скорости системы отсчета К′ (которая до и после движения по окружности является инерциальной), но и от предыстории движения часов U₂, а это очевидный абсурд.

Так как часы U_B и U₁ на участке разворота идут с одинаковым темпом, а часы U₂ в γ раз медленнее [5 с.183, 200; 6 с.309], имеем:

Δt′_A = Δt′_B = γ∙∆t′_U2                                                                         (4)

где:

γ = (1 – ω²∙r²/c²) ^–1/2       – Лоренц-фактор;

Δt′_B – время разворота по часам U_B.

Подставляя (3) и (4) в (1), получим:

ΔT′_U2 = γ∙∆τ′_A + Δt′_A/γ                                                                     (5)

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения системы отсчета К, связанной с часами U₁. Пусть ΔT_A это собственное время, прошедшее по часам U₁ между событиями первой и второй встречи с часами U₂, тогда интервал ΔT′_A, который является по сути прогнозом величины интервала ΔT_A, полученным в системе отсчета К′ на основе теории относительности, должен быть ему равен (в противном случае теория относительности дает неверный прогноз). Действительно, если часы U₁ и U₂ при синхронизации в момент первой встречи (на старте) установлены на ноль, то в момент второй встречи (на финише) наблюдатель, находящийся рядом с часами U₁, увидит на них время ΔT_A, а наблюдатель, находящийся рядом с часами U₂, должен увидеть на часах U₁ время ΔT′_A. Очевидно, что наблюдатели, находясь в одной и той же точке пространства и в один и тот же момент времени (на финише), не могут видеть разные показания на одних и тех же часах U₁, поэтому, с учетом (2), имеем:

ΔT_A = ΔT′_A = ∆τ′_A + ∆t′_A                                                                         (6)

В системе отсчета К часы U₂ все время двигаются со скоростью V. Учитывая, что согласно специальной теории относительности с точки зрения часов U₁ часы U₂ идут медленнее в γ раз [1 с.74, 156; 2 с.243, 344], получаем, что время ΔT_U2, затраченное часами U₂ на путешествие, должно быть равно:

ΔT_U2 = ΔT_A/γ                                                                                  (7)

Подставляя в (7) выражение для ΔT_A из (6), найдем:

ΔT_U2 = ∆τ′_A/γ + ∆t′_A/γ                                                                      (8)

Интервал ΔT_U2 является по сути прогнозом собственного времени ΔT′_U2 (времени, прошедшего по часам U₂ между событиями первой и второй встречи с часами U₁), рассчитанным в системе отсчета К на основе теории относительности, поэтому должен быть ему равен (в противном случае теория относительности дает неверный прогноз).  Действительно, если часы U₁ и U₂ при синхронизации в момент первой встречи (на старте) установлены на ноль, то в момент второй встречи (на финише) наблюдатель, находящийся рядом с часами U₂, увидит на них время ΔT′_U2, а наблюдатель, находящийся рядом с часами U₁, должен увидеть на часах U₂ время ΔT_U2. Очевидно, что наблюдатели, находясь в одной и той же точке пространства и в один и тот же момент времени (на финише), не могут видеть разные показания на одних и тех же часах U₂. Это дает нам право приравнять выражения (5) и (8), в результате получим:

γ∙∆τ′_A + Δt′_A/γ = ∆τ′_A/γ + ∆t′_A/γ

и после преобразования:

γ = 1/γ

Очевидно, что для любой скорости V ≠ 0 это равенство может быть истинным только в случае с → ∞, при этом преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, действуя строго в рамках теории относительности мы пришли к противоречию с ее основным постулатом.

Напомним, что в представленных выше расчетах мы не использовали никаких приближений, следовательно, и все полученные соотношения должны быть абсолютно точны. Таким образом, рассмотренный мысленный эксперимент, не смотря на то, что он вполне физически реализуем, тем не менее не может быть непротиворечиво описан в рамках теории относительности.

Пусть SA = SB = l, скорость движения Земли относи­тельно эфира равна V, скорость света – c, тогда время прохождения первым лучом пути от S до A и обратно будет равно:

,

путь, пройденный этим лучом, будет равен: . Продолжи­тельность прохождения пути другим лучом от S до B и обратно будет следующей: ; расстояние, проходимое туда и обратно:  . Таким образом, движение Земли в эфире оказывает различ­ное вли­я­ние на лучи, движущиеся в направлении движения Земли и в перпен­ди­куляр­ном направлении. При повороте плеч интерферометра на 90° теоретически ожидалось наблюдение смещения интерференционных полос, соответствующее изменению разности хода лучей, однако эксперимен­тально оно не было обна­ружено. Отрицательный результат опыта Майкельсона 1881 года, затем опыта Майкельсона-Морли 1887 года, неожиданный для авторов эксперимента, потребовал объяснений. Выдвинутая Х.А. Лоренцем гипотеза сокращения размеров движущегося тела в направлении движения в соотношении  , за счёт чего могла компенсироваться разность хода лучей, была принята и послужила основой для вывода релятивистских преобразований. Такова, вкратце, элементарная теория опыта Майкельсона-Морли. 
Однако при детальном анализе общей концепции эксперимента Майкель­сона-Морли и в его элементарной теории, и в его методологии обнару­живаются ошибки. 
Элементарная теория эксперимента Майкельсона-Морли должна строиться следующим образом.

Пусть вектор скорости движения системы  направлен вдоль оси x, на этой же оси находится точка A, точка B находится на оси y (Рис. 2). Луч, испущенный в направлении точки A, в движущейся системе придёт в точку A’  (Рис. 3), смещённую относительно точки A на расстояние, которое пройдёт система за время хода луча, и имеющую координаты: 

Время прямого хода луча A:

 ; 
пройденный лучом путь в прямом направлении равен:

При обратном ходе, из-за движения системы, луч приходит в точку Sⁿ с координатами: 

время обратного хода луча составит:

Пройденный лучом в обратном направлении путь будет равен:

Таким образом, в движущейся системе длины пути луча вдоль оси x неодинаковы при прохождении луча в прямом и обратном направлениях. Суммарное время его хода будет равно:

общая длина траектории луча A: 

Время прямого хода луча B (Рис. 4) составит:


, где, может быть определён путём реш­ения кубического уравнения: 

реальный путь луча в направлении B:

При обратном ходе этого луча и время хода, и путь будут такими же, как и при его ходе в прямом направлении, так что общее время хода и общая длина пути составят соответственно:

Это элементарный, чисто кинематический расчёт, но он должен быть стро­­гим, чтобы быть корректным. Из приведённого расчёта видно, что коэффици­­ент, введённый Лоренцем для компенсации разности хода лучей A и B, не имеет смысла, так как является следствием неправильного рас­чё­та. А следовательно, лишены смысла и Лоренцевы преобразования координат.

Полученные в расчёте зависимости остаются не­­изменными, если луч, парал­лельный оси x, будет испущен в направлении, противоположном на­прав­­лению вектора скорости , то есть в на­пра­в­­лении отрицательных значений оси x (Рис. 5):



При обратном ходе этот луч будет сонаправлен вектору :


Общее время хода и общая длина траектории луча, параллельного направлению движения системы, одинаковы, независимо от того, сонаправлен ли изначально вектору  испущенный луч или противоположно направлен:

Этот вывод справедлив и для луча, перпендикулярного на­­правлению дви­же­ния системы, для которого картина симметрична относительно оси x, испу­­щен ли луч в положительном направлении оси y или в отрицательном, так что:

 
где  точка, симмет­­ричная точке относительно оси абсцисс, в момент прихода к ней луча.
В отличие от первоначального эксперимента Майкельсона, в котором лучи при своём ходе образовывали угол, в последующих экспериментах лучи при своём ходе – до интерференции – образовывали крест, то есть после возврата продолжали свой ход по границам III квадранта. По окончании движения лучей по границам III квадранта для каждого луча – A и B – общее время хода и общая длина пути удваиваются, так как характер зависимостей не меняется.
В любом случае математическое выражение для разности хода лучей отлично от того, которое могло бы допускать Лоренцево сокращение длины в . Этот коэффициент основан на неверном расчёте.
Положение Френеля об увлечении света движущейся средой с коэффи­ци­ентом , где n − показатель преломления среды, рассматривал сам Майкельсон, но справедливо полагал, что для воздуха этой величиной можно пренебречь. К этому нужно добавить, что формула Френеля была экспери­мен­тально подтверждена в опыте Физо. Можно заметить, что элементарная теория опыта Майкельсона-Морли строилась по аналогии с расчетом, выполненным для опыта Физо. В нем определялось время хода двух разде­ленных и затем интер­ферирующих лучей на участках трубы с водой: ; [3]. Учитываемые длины путей лучей в этом опыте заданы фиксированной длиной участков трубы с водой, тогда как в опыте Майкельсона-Морли они должны рассчи­тываться с учетом орбитального движения Земли вместе с лабораторной установкой, что и составляет суть эксперимента, это во-первых. Во-вторых, скорости среды, фигурирующие в формулах для времени хода лучей в обоих опытах, имеют совершенно разный физический смысл. В опыте Физо движе­ние среды, через которую проходил свет (воды), совершалось относительно лабо­­ра­торной системы отсчета, так что опыт Майкельсона-Морли соответ­ствует случаю неподвижной среды (в данном случае воздуха) в опыте Физо, следо­вательно, формула Френеля для опыта Майкельсона-Морли не актуальна (то же самое можно сказать и об опытах Хука и Клинкерфуса).
Некоторые современные исследователи полагают, что смещение полос интерференции может происходить из-за изме­нения длины волны вследствие эффекта Доплера. Если описывать эффект Доплера классически, отказываться от чего на данном этапе рассмотрения нет ос­нований, для луча А наблюдаемая длина волны λ_Р на участке пути  будет  где λ₀ – длина волны при неподвижном источнике, c – скорость волны относительно среды (а не относительно наблюдателя), V_S и V_P – скорости источника волны и приемника соответ­ственно, рассматриваемые относительно радиуса-вектора, соединяю­щего источник с приемником (а не относительно оси x; такова методика вывода этой формулы [1]). На участке пути  (– положение зеркала, симмет­рич­ного зеркалу в точке А, в момент прихода к нему луча)  на участке пути  ( – положение точки S в момент завершения пути луча у разделительной пластины) 
Для луча В  на всех участках пути: , , ,
так как углы между радиусом-вектором и векторами скоростей источника и приемника везде равны α_S = α_P = α. Таким образом, выясняется, что эффекта Доплера в классическом понимании нет ни для луча А, ни для луча В.
Требует критического разбора и методология эксперимента Майкельсона-Морли.
Ставя в 1881 году свой эксперимент по обнаружению эфирного ветра, А. Майкельсон рассуждал следующим образом. Если аппарат сконструирован так, что в нём имеются два луча света, идущие по траекториям, расположенным под прямым углом друг к другу, и интерферирующие между собой, то луч, который проходил в направлении движения Земли, в действительности пройдёт расстояние, большее на величину , чем он прошёл бы, если бы Земля находилась в покое. Второй луч, перпендикулярный первому, этого влияния не испытывает. Если затем повернуть аппарат на угол 90 так, чтобы второй луч пошёл в направлении движения Земли, то его траектория увеличилась бы на ту же величину , что для жёлтого cвета составит  длины волны. Общее смещение интерференционных полос станет в два раза большим и составит расстояния между полосами, что нетрудно будет измерить [4]. 
В этом рассуждении Майкельсона не учитывались, по крайней мере, два мо­мента. Луч, перпендикулярный направлению движения Земли, тоже испы­ты­вает влияние её движения, так что разность траекторий лучей меньше пред­по­лагаемой величины . На эту ошибку тогда же было указано Лоренцем, так что в последующем влияние движения системы на перпен­дикулярный луч учитывалось. Также первоначально предполагалось, что при повороте интерферометра на 90изменится разность хода лучей, а именно, удвоится, тогда как на самом деле она не меняется, а только меняет знак.
При постановке эксперимента с интерферометром совместно с Морли в 1887 г. Майкель­сон внёс в теоретическую часть соответствующие коррективы. Он считал, что длина пути луча, параллельного движению Земли, будет равной  Второй луч, перпендикулярный первому, пройдёт расстояние, которое с той же степенью точности составит

Таким образом, разность хода лучей будет равна . (Майкельсон только применял другие обозначения.) Если затем повернуть аппарат на 90° так, чтобы второй луч пошёл по направлению движения Земли, то разность хода лучей поменяет знак, общее смещение интерференционных полос составит , что для жёлтого света будет соответствовать 0.04 расстояния между интерференционными полосами [4].
Под смещением полос интерференции Майкельсон понимал сдвиг середины централь­ной полосы, и основными результатами экспериментов Майкельсона 1881 г. и Майкельсона-Морли 1887 г. являлись значения именно этого сдвига, изме­ря­емые в долях ширины полосы. Но это оказывается методологической ошибкой.
В элементарной теории эксперимента рассматривается разность хода лучей до их интерференции, при этом предполагается, что их дальнейший путь – до объектива – не сказывается на этой разности. Разность хода лучей определяет ширину полос интерференции. Положение центральной полосы зависит не от этой разности, а от местоположения точек, в которые возвращаются отражённые лучи, и от дальнейших путей лучей.
Более того, ожидание удвоения величины сдвига интерференционных полос при изменении знака разности хода лучей необоснованно.
При интерференции двух синусоидальных волн с амплитудами  и  соответственно и разностью хода  амплитуда результирующих гармонических колебаний в соответствии с принципом суперпозиции определяется следующим образом [5]:
.
Оптическая разность хода лучей в воздухе практически равна геометрической. Если разность начальных фаз для лучей, испущенных из одного источника, , то положения интерференционных максимумов и минимумов будут определяться следующим образом:

Так как волновое число  , где  − длина волны, то условия максимумов и минимумов могут быть записаны так:

Таким образом, положение максимумов и минимумов интерференции зави­сит только от модуля разности хода лучей и не зависит от знака этой раз­ности, картина симметрична относительно центрального максимума нулевого порядка (в силу симметрии косинуса относительно оси ординат). Положение же центрального максимума определяется геометрическим положением источников интерферирующих волн; он находится на равном удалении от них.
При повороте на угол 90° (или кратный ему) интерферометра с жёстко свя­зан­ными между собой плечами лучи просто меняются статусом, разность их хода по модулю не меняется, а изменение её знака не влияет на результат, следовательно, сдвига интерференционных полос, обусловленного искомым эффектом, не должно быть. Смещение центральной полосы фактически обусловлено только изменением угла наклона разделительной пластины, в которой сходятся ранее разделённые лучи для последующей интерференции.
Сам Майкельсон признавал, что в обоих его экспериментах полученные значения смещения интерференционных полос, не будучи строго нулевыми, не выходили за пределы погрешности измерений, так что относительное движение Земли и эфира при такой постановке экспериментов не было обнаружено.
Таким образом, 1) методика эксперимента не соответствует его теории; 2) экспериментально определяется не тот параметр, который следовало бы измерять для подтверждения (или опровержения) теории. Опыт в такой постановке, при всём значении идеи и конструкции интерферометра, бессмыслен, его результаты заведомо отрицательны. 
Для обнаружения орбитального движения Земли с помощью интерфе­ро­метра преобразование системы, в соответствии с элемен­тар­ной теорией, долж­но приводить к изменению модуля итоговой разности хода лучей по сравнению с исходной и к соответствующему изменению интерференционной картины. При этом измеряться должно относи­тельное изменение ширины полос интерфе­ренции, обусловленное изменением искомой разности хода лучей, без привязки к какой-либо центральной отметке. Для этого можно изменить (симметричным сдвигом соответствующих зеркал) длину пути сначала одного луча (например, луча, идущего по направлению орбитального движения Земли) при сохранении длины пути второго (перпендикулярного) луча неизменной, затем наоборот – изменить на ту же величину длины плеч интерферометра, по которым проходит второй луч, восстановив при этом длины плеч, по которым прохо­дит первый луч. Новые разности хода лучей, определяемые по соответ­ству­ю­щей ширине интер­ферен­ци­онных полос, должны поочередно сравниваться с исходной разностью (опреде­ляемой по исходной ширине полос), когда длины плеч интерферометра одинаковы, а затем полученные результаты должны быть сопоставлены. Их отличие будет свидетельствовать об обнаружении орбиталь­ного движения Земли и о правильности классического подхода к свету.
Для обнаружения собственно эфирного ветра можно предложить в порядке обсуждения идею более тонкого эксперимента. Можно подобрать в исходном состоянии длину плеча интерферометра для перпендикулярного луча так, чтобы

когда длина плеча А равна l. Если при этом будет наблюдаться интерфе­рен­ционная картина, значит, возможно выявление эфирного ветра. Для проверки этого можно опять-таки изменить сначала длину l на Δl , затем изменить длину l_B на Δl_Bтак, чтобы , когда длина плеча А восста­новлена до l. Если изменение разности хода лучей по сравнению с исходной в первом и втором случаях будет различным, значит, эфирный ветер обнаружен.
Выводы. Гипотеза Лоренца о сокращении линейного размера движущегося тела в направлении его движения, послужившая базой для преобразований Лоренца, основана: 1) на ошибочной элементарной теории опыта Майкельсона-Морли, конкретно, на неправильном расчёте разности хода интерферирующих лучей; 2) на результате методологически неправильно поставленного эксперимента – эксперимента, дающего заведомо отрицатель­ный результат. Таким образом, гипотеза Лоренца, а следовательно, и преобразования Лоренца, и релятивистская теория лишены научного базиса.
Автор посвящает эту статью памяти А.И. К.

Математическая безупречность любой теории ничего не говорит об истинности этой теории. Вот как об этом, применительно к геометрии, пишет Г. Рейхенбах [1 с.22]:

«Если математик не связан использованием определенной системы аксиом и может применять аксиому не-а точно так же, как и аксиому а, тогда утверждение а не относится к математике, а математика есть не что иное, как наука об импликациях, то есть об отношениях типа «если …, то …». Следовательно, для геометрии как математической науки не существует проблемы истинности ее аксиом … Аксиомы не являются ни истинными, ни ложными, а лишь произвольными утверждениями».

Теория относительности построена чисто математически на двух постулатах (аксиомах или принципах), поэтому, если мы считаем эти постулаты верными, то нам не остается ничего другого, как признать верной и всю теорию. Давайте внимательнее присмотримся к этим постулатам. Как известно, они взаимно противоречивы, но их противоречивость устраняется допущением относительности времени. Вот как об этом писал Эйнштейн [2 с.418]:

«Оказывается, что принцип постоянства скорости света и принцип относительности противоречат один другому только до тех пор, пока сохраняется постулат абсолютного времени, т.е. абсолютный смысл одновременности. Если же допускается относительность времени, то оба принципа оказываются совместимыми; в этом случае, исходя из этих двух принципов, получается теория, называемая «теорией относительности».

Таким образом, принцип относительности времени, так сказать, «склеивает» исходно несовместимые постулаты теории относительности. При этом у релятивистского физического времени появляются две очень интересные особенности. Первая – это его замедление на движущихся телах, вторая – это относительность одновременности.

Релятивистское замедление времени – методологический эффект?

Как известно, согласно теории относительности, в движущейся системе отсчета, по сравнению с неподвижной, время замедляется [2 с.185; 3 с.250]. Это следствие вытекает из сравнения промежутков физического (в формулировке Эйнштейна [2 с.149-150]) или собственного (в формулировке Борна [3 с.244]) времени этих систем отсчета, между двумя одними и теми же пространственно-временными событиями. Причем эти пространственно-временные события выбираются таким образом, что в неподвижной системе отсчета эти события происходят в разных пространственных точках, а в движущейся – в одной и той же. То есть время в неподвижной системе отсчета измеряется парой разноместных часов этой системы, а в движущейся системе – ее единственными часами, и потом эти измерения сравниваются. Нетрудно заметить, что условия проведения измерений в разных системах отсчета различны. Причем известно, что именно этому различию обязано своим происхождением утверждение о замедлении времени в движущейся системе отсчета [4 с.23], и только ему. Очень доступно данный факт был описан доктором физико-математических наук, профессором физического факультета МГУ в его работе «Выражение общих свойств физических процессов в пространственно-временной метрике специальной теории относительности» [5 с. 644], цитата:

«В действительности в специальной теории относительности речь идет о сопоставлении интервала времени, прошедшего в одной точке какой-либо системы отсчета, с разностью времен, прошедших в разных точках другой системы отсчета… Взятые в единственном числе часы в определенной точке какой-либо системы отсчета, всегда отстают от совместных показаний пары синхронизированных часов другой системы».

Действительно, если для сравнения отрезков времени, прошедших в разных системах отсчета, выбрать пару событий, таких, что в неподвижной системе отсчета они будут фиксироваться единственными часами (события происходят в одной и той же точке неподвижной системы отсчета), а в движущейся системе отсчета – парой часов, то разность показаний двух часов движущейся системы отсчета будет больше, чем разность показаний одних и тех же покоящихся. То есть в данном случае получаем, что время в движущейся системе идет быстрее, а не медленнее. Здесь можно услышать возражение, что с точки зрения неподвижного наблюдателя разноместные часы движущейся системы отсчета идут не синхронно, поэтому такое сравнение не является корректным. Но ведь физическое время в движущейся системе отсчета это время движущегося вместе с этой системой наблюдателя, для которого все ее часы синхронны. Движущийся наблюдатель имеет полное право измерять время в своей системе отсчета по разноместным часам.

Если мы запрещаем наблюдателю какой-либо системы отсчета пользоваться разноместными часами, то, во-первых, вступаем в противоречие с эйнштейновским определением физического времени, как множества синхронизированных часов данной системы отсчета, цитата [2 с.150]:

«Пусть даны две системы координат S и S′, движущиеся равномерно и прямолинейно одна относительно другой. Предположим, что с каждой из этих двух систем связана группа часов, причем все часы, принадлежащие к одной и той же системе, идут в фазе. В этих условиях показания группы часов, связанной с S, определяют физическое время по отношению к системе отсчета S; подобным же образом показания группы часов, связанной с системой отсчета S′, определяют физическое время по отношению к S′».

А во-вторых, как уже подчеркивалось ранее, мы ставим наблюдателей в заведомо неравные условия при проведении измерений.

Если же мы уравняем условия проведения измерений, т.е. сделаем их идентичными, то получим равенство темпов хода времени в движущихся друг относительно друга системах отсчета, что наглядно показано в приведенном далее примере встречно летящих ракет.

Пусть в голове и хвосте двух идентичных ракет A и B, имеющих собственную длину L₀, закреплены идентичные синхронизированные часы. Ракеты сближаются со скоростью V, двигаясь по инерции вдоль соединяющей их прямой. При встрече ракет сначала совмещаются их головные часы, а потом хвостовые. Назовем пространственно-временную точку встречи головных часов ракет – событием X, а точку встречи хвостовых часов – событием Y. Найдем, отличаются ли темпы хода физического времени ракет, измерив отрезки времени между событиями X и Y по часам каждой из ракет. По часам ракеты А, учитывая, что в результате Лоренцева сокращения длина ракеты В меньше и равна L, события X и Y разделены отрезком времени:

∆t_A = (L₀ + L)/V

 Аналогично по часам ракеты В те же события разделены отрезком времени:

∆t_B = (L₀ + L)/V

Оба эти отрезка совпадают по величине, что с очевидностью следует не только из приведенных выше равенств, но и из соображений симметрии. Сравнив полученные значения отрезков времени, пилоты ракет убедятся, что один и тот же интервал XY имеет одинаковую длительность как по часам ракеты А, так и по часам ракеты В, значит темп хода физического времени на ракетах одинаков.

В качестве еще одного примера, подтверждающего неоднозначность «стандартной» релятивистской методики сравнения темпов хода часов, можно привести следующий. Пусть имеется неподвижная кольцевая железная дорога сколь угодно большого радиуса. По этой дороге по инерции движется поезд. Учитывая, что кривизна дороги сколь угодно мала, – система отсчета, связанная с поездом, на конкретном небольшом участке пути, сколь угодно близка к инерциальной системе отсчета; пассажир поезда, сравнивая показания единственных часов на дороге с парой часов на своем поезде, получит, что часы на дороге идут медленнее. Однако в данном случае это не верно [6 с.200, 7 с.309].

Относительность одновременности и принцип причинности.

С точки зрения наблюдателя какой-либо инерциальной системы отсчета часы в точках A и B, неподвижных в этой системе отсчета, идут синхронно, если разность τ_B2 – τ_A1, времени прихода светового сигнала в точку B (по часам B) и времени испускания светового сигнала из точки A (по часам A) равна разности τ′_A2 – τ′_B1, времени прихода светового сигнала в точку A (по часам A) и времени испускания светового сигнала из точки B (по часам B) [2 c.417]. При этом предполагается, что скорости распространения сигналов, посылаемых из точки A в точку B и обратно, равны. Причем в рамках данной неподвижной системы отсчета это правило справедливо как в теории относительности Эйнштейна, так и в классической механике Галилея-Ньютона. Действительно, согласно классической механике, скорости распространения сигналов в обоих направлениях (от точки A к B и от точки B к A) складываются со скоростью источника, но в системе отсчета, где и источник, и приемник неподвижны – скорости этих сигналов равны.

С точки зрения движущегося относительно этих часов наблюдателя (согласно специальной теории относительности) скорость света остается неизменной, и поэтому времена распространения сигналов от точки A к B и от точки B к A в общем случае уже не равны, что и дает этому наблюдателю основание считать часы в точках A и B несинхронными. Данный эффект называется релятивистской «относительностью одновременности». Согласно же классической механике, скорости световых сигналов «туда» и «обратно» складываются со скоростью системы отсчета, поэтому времена распространения сигналов от точки A к B и от точки B к A остаются для наблюдателя равными, что означает синхронность часов в точках A и B для наблюдателя. Хотя заключения движущегося наблюдателя о синхронности часов в точках A и B с позиций классической механики и с позиций специальной теории относительности различны, тем не менее, оба эти заключения не противоречат причинной теории времени, т.к. в обоих случаях использованные определения метрической одновременности пространственно разделенных событий вполне согласуются с топологической одновременностью, что подробно рассмотрено в [8 с.447-462].

Как уже упоминалось выше, часы, синхронные в собственной инерциальной системе отсчета, где они неподвижны, – с точки зрения движущегося относительно них со скоростью V наблюдателя (согласно теории относительности) в общем случае идут не синхронно. Это означает, что часы в точках A и B показывают разное время, отличающееся на величину ∆t₀, которая дается выражением [9 с.17; 10 с.68-69; 11 с.62]:

∆t₀ = γ∙V∙Δx/c²

где: γ = (1 – V ²/c²) ^–1/2       – Лоренц-фактор; Δx – проекция расстояния между часами в системе отсчета наблюдателя на прямую, параллельную скорости V; с – скорость света.

В системе отсчета этого наблюдателя, вследствие Лоренцева сокращения, величина Δx в γ раз меньше величины Δx₀, представляющей собой проекцию расстояния между часами на прямую, параллельную скорости V, но в системе отсчета, где эти часы неподвижны. Поэтому предыдущее уравнение эквивалентно следующему:

∆t₀ = V∙Δx₀/c²                                                                                                                                        (1)

Причем, для наблюдателя отстают (показывают меньшее на ∆t₀ время) часы, движущиеся с его точки зрения впереди.

Исследуем ход неподвижных часов с точки зрения движущегося наблюдателя, при изменении им своей скорости (т.е. при его переходе в другую инерциальную систему отсчета). Пусть в неподвижной системе отсчета в точках A и B, расстояние между которыми равно Δx₀, расположены идентичные и синхронные часы. Наблюдатель движется вдоль прямой AB с постоянной скоростью V. Причем вначале он находится за границами отрезка AB и в процессе своего движения первыми встречает часы в точке B (рис. 1).

Рис. 1. Наблюдатель начинает и заканчивает разворот в непосредственной близости от точки B внутри отрезка AB, поэтому при совмещении с часами B он покоится в соответствующей инерциальной системе отсчета.

В момент первого совмещения с точкой B наблюдатель фиксирует на часах B время t₁. С точки зрения наблюдателя, в этот момент часы в точке A опережают часы в точке B, и согласно (1), имеют следующие показания:

τ₁ = t₁ + V∙Δx₀/c²

Сразу после встречи с часами B наблюдатель включает двигатели и разворачивается, путем торможения и последующего разгона в обратную сторону с постоянным ускорением a. Когда на обратном пути, непосредственно перед повторной встречей с точкой B, он достигает скорости –V, то выключает двигатели и продолжает двигаться по инерции. После этого, при совмещении с точкой B, наблюдатель фиксирует на часах B время t₂. Теперь для него часы в точке A отстают от часов в точке B, и согласно (1), имеют следующие показания:

τ₂ = t₂ – V∙Δx₀/c²

Сколько времени с точки зрения наблюдателя прошло по часам A пока он разворачивался? Чтобы найти это время вычтем показания часов A перед разворотом из их показаний после разворота, в результате получим:

τ₂ – τ₁ = t₂ – t₁ – 2∙V∙Δx₀/c²

Заметим, что t₂ – t₁ это время разворота наблюдателя по часам B, т.е. время, которое затратил наблюдатель на разворот с точки зрения неподвижной системы отсчета, в которой отрезок AB покоится. Учитывая, что ускорение наблюдателя в неподвижной системе отсчета постоянно, это время равно:

t₂ – t₁ = 2∙V/a

Подставляя полученное значение в предыдущее уравнение, получим:

τ₂ – τ₁ = 2∙V/a – 2∙V∙Δx₀/c²

Если при этом выполняется неравенство:

2∙V/a < 2∙V∙Δx₀/c²,

то τ₂ < τ₁, и значит, с точки зрения наблюдателя, пока он разворачивался – часы A шли вспять. Проверим, может ли полученное нами неравенство быть истинным. Преобразовав его получим:

a∙Δx₀/c² > 1

Очевидно, что при достаточно большой величине a и/или Δx₀, это неравенство будет истинно. Оценим при каких значениях a и Δx₀ выражение a∙Δx₀/c² будет равно единице. Пусть ускорение a равно 10⁶ м/с², что примерно соответствует ускорению пули в стволе огнестрельного оружия, тогда:

Δx₀ ≈ 9∙10¹⁰ м. = 90 млн. км.

Это меньше чем расстояние от Солнца до Земли. То есть с точки зрения пули, выпущенной на Земле, пока она летела в стволе – время на Солнце, согласно теории относительности, шло вспять.

Таким образом, мы получили, что если в точке A находится какое-либо физическое тело, и с ним происходит причинно-связанная последовательность событий, такая, что событие X₁, произошедшее в момент времени τ₁ является причиной события X₂, произошедшего в момент времени τ₂, то с точки зрения наблюдателя, событие X₁ может произойти позже X₂ (τ₂ < τ₁). Иначе говоря, хотя релятивистское определение метрической одновременности пространственно разделенных событий и не противоречит топологической одновременности событий в разных точках A и B, однако заставляет наблюдателя считать, что при его развороте причинная последовательность событий, происходящих с одним и тем же телом в точке A, нарушается, что вряд ли может соответствовать действительности [1 с.156-163]. Вот что пишет, например, А.И. Жуков в своей книге «Введение в теорию относительности» по поводу возможности нарушения принципа причинности [12 с.30]:

«Никакое явление не может произойти раньше своей причины. Этот закон не допускает никаких исключений; если какая-либо теория приходит с ним в противоречие, то это для нее является смертельным приговором».

Здесь мы можем услышать возражение, что при развороте – для наблюдателя меняется не «реальная» последовательность причинно-связанных событий в точке A, а меняется «соглашение об одновременности», которое и заставляет наблюдателя считать, что последовательность этих событий изменилась. Но тогда релятивистское «соглашение об одновременности», которое приводит наблюдателя к такому заключению, нуждается в пересмотре. В подтверждение сказанного приведем далее простой мысленный эксперимент.

Пусть имеется неподвижный жесткий стержень. На одном конце этого стержня расположен излучатель фотонов, а на другом – зеркало. Вдоль прямой, на которой лежит этот стержень, движется наблюдатель, его скорость равна половине скорости света. Наблюдатель подлетает к стержню со стороны излучателя. Когда наблюдатель и излучатель совмещаются, то излучатель испускает в сторону зеркала фотон. Фотон летит до зеркала, отражается от него и возвращается к излучателю. Наблюдатель летит ровно до середины стержня, которая отмечена флажком, быстро разворачивается и летит обратно к излучателю с прежней скоростью (Рис.2). Для простоты условимся, что ускорение наблюдателя при развороте сколь угодно велико. Это позволит нам не учитывать время, затраченное наблюдателем на разворот.

Рис. 2

По условию, скорость наблюдателя в 2 раза меньше световой, и расстояние, которое преодолевает наблюдатель, тоже в 2 раза меньше, чем расстояние, которое преодолевает фотон. Значит, наблюдатель и фотон по возвращении встретятся у излучателя. То есть вернутся к излучателю одновременно.

Посмотрим теперь на этот мысленный эксперимент глазами нашего наблюдателя. Хотя наблюдатель не может непосредственно видеть положение фотона относительно стержня, но он всегда может рассчитать это положение. Давайте проделаем этот несложный расчет вместе с ним.

Сначала найдем положение фотона с точки зрения наблюдателя, не за долго до встречи наблюдателя с флажком. С точки зрения наблюдателя – он покоится, а стержень движется относительно него со скоростью, равной половине скорости света. Когда излучатель совмещается с наблюдателем – в сторону зеркала испускается фотон (Рис.3).

Рис. 3

Так как согласно теории относительности с точки зрения наблюдателя скорость фотона неизменна, а зеркало движется навстречу фотону со скоростью, равной половине скорости света, то скорость сближения фотона и зеркала составляет полторы скорости света, т.е. в три раза больше скорости сближения наблюдателя и флажка, которая равна половине скорости света. Расстояние же между фотоном и зеркалом только в два раза больше расстояния между наблюдателем и флажком. Следовательно, фотон и зеркало встретятся раньше, чем наблюдатель и флажок, значит, фотон отразится от зеркала еще до встречи наблюдателя с флажком. Пусть, для наглядности, зеркало сразу же после отражения фотона самоликвидируется (взрывается). Тогда наблюдатель уверен, что зеркало разбилось еще до его встречи с флажком.

Теперь посмотрим, где же должен находиться фотон с точки зрения наблюдателя уже после разворота. Сразу после разворота наблюдатель опять вправе считать себя неподвижным. Относительно него стержень движется, но уже в обратную сторону. Теперь излучатель приближается к наблюдателю со скоростью, равной половине скорости света. И фотон, если он уже отразился, тоже приближается к наблюдателю (Рис.4).

Рис. 4

Наблюдатель считает, что фотон движется со скоростью света, поэтому фотон приближается к наблюдателю в два раза быстрее, чем излучатель. Для того, чтобы фотон и излучатель встретились одновременно около наблюдателя – расстояние между фотоном и наблюдателем тоже должно быть в два раза большим, чем между излучателем и наблюдателем, но это невозможно. Если фотон уже отразился, то расстояние между ним и наблюдателем будет даже меньше, чем между излучателем и наблюдателем. Следовательно, фотон еще не мог отразиться. То есть сразу после разворота, когда наблюдатель перестал испытывать что-то похожее на гравитационное поле, зеркало с его точки зрения должно быть еще цело, иначе фотон и излучатель прибудут к нему не одновременно.

Таким образом, опираясь только на постулат о постоянстве скорости света, наблюдатель уверен, что до его встречи с флажком зеркало уже разбито, однако после встречи с флажком, на том же основании он уверен, что зеркало еще цело. Это может быть только в том случае, если зеркало в нарушение принципа причинности само собралось из осколков.

Синхронизация часов на ободе вращающегося диска.

Как мы уже отмечали ранее, «время» и «одновременность» в теории относительности являются ключевыми понятиями, обеспечивающими целостность и непротиворечивость ее аксиом, но эти понятия уже не являются самостоятельными, они определяются с помощью еще более фундаментального для этой теории понятия – синхронно идущих часов. Вот цитата из первого тома собрания сочинений Эйнштейна, где он об этом пишет [2 с.10]:

«Таким образом, пользуясь некоторыми (мысленными) физическими экспериментами, мы установили, что′ нужно понимать под синхронно идущими, находящимися в различных местах покоящимися часами, и благодаря этому, очевидно, достигли определения понятий: «одновременность» и «время». «Время» события – это одновременное с событием показание покоящихся часов, которые находятся в месте события и которые идут синхронно с некоторыми определенными покоящимися часами, причем с одними и теми же часами при всех определениях времени».

Способов синхронизации часов можно придумать множество, но каждый из них должен удовлетворять требованию симметрии. Вот фрагмент стр. 148 первого тома собрания сочинений Эйнштейна, где описано это важнейшее и по сути единственное требование к процедуре синхронизации [2 с.148]:

«Для того, чтобы получить полное физическое определение времени, необходимо сделать еще один шаг. Надо сказать, каким образом все часы были выверены в начале эксперимента. Поступим следующим образом: во-первых, найдем способ передавать сигналы, например, из A в B или из B в A. Этот способ должен быть таким, чтобы мы были абсолютно уверены, что явления передачи сигналов из A в B нисколько не отличаются от явлений передачи сигналов из B в A. В этом случае очевидно, что существует только одна возможность поставить часы в точке B по часам в A так, чтобы сигнал, идущий из A в B, проходил бы этот путь за то же время, измеренное с помощью этих же часов, что и сигнал, идущий из B в A».

Как следует из цитаты, условия распространения сигналов, посылаемых от часов A к часам B и обратно, должны быть абсолютно идентичны. Только уверенность в этом дает нам право считать, что времена движения сигналов «туда» и «обратно» равны, и позволяет правильно выставить время на часах B в соответствии с формулой:

τ_B = τ_A + ∆τ/2                                                                                                                                          (2)

где τ_A – время отправления сигнала по часам A; τ_B – время отражения сигнала по часам B; ∆τ – время распространения сигнала «туда» плюс «обратно», измеренное единственными часами A.

Здесь следует отметить, что требование идентичности условий распространения сигналов синхронизации «туда» и «обратно», и, как следствие, равенство соответствующих времен – не является каким-то нововведением теории относительности, оно очевидно вытекает из логических соображений и не вызывает никаких сомнений. Однако, в теории относительности, это справедливо только для наблюдателя, неподвижного относительно синхронизируемых часов. Если для пассажира движущейся ракеты часы на ракете идут синхронно, то для неподвижного наблюдателя «головные» часы этой ракеты отстают от ее «хвостовых» часов (см. формулу (1)).

Рассмотрим теперь проблему синхронизации стандартных (т.е. одинаковых) часов, закрепленных на ободе вращающегося диска. Теория относительности утверждает, что непротиворечиво синхронизировать их невозможно, хотя темп хода всех таких часов одинаков [4 с.329, 7 с.311]. Вот как об этом пишет Л. Мардер на стр. 194-195 в своей книге «Парадокс часов» [13 с.194]:

«Пусть на карусели находится (и вращается вместе с ней) большое число стандартных часов C₁, C₂, …, C_n, закрепленных на равных расстояниях друг от друга по ее круговой кромке. Радиус такой окружности равен r, а угловая скорость вращения карусели – ω; тогда множитель, описывающий замедление хода каждых таких часов с точки зрения системы S, будет равняться (1 – r²ω²)^1/2. Однако если пассажир карусели попытается синхронизовать друг с другом последовательно все эти часы, основываясь на эйнштейновской методике, у него ничего не получится. Пусть он синхронизует C₂ с C₁, потом C₃ с C₂ и т.д. по всей окружности. Когда он дойдет до часов C_n, то обнаружит, что они будут рассинхронизованы с соседними часами C₁».

Мардер не уточняет каким именно способом синхронизируются часы. Не делает он этого видимо потому, что в теории относительности обычно применяется один и тот же, так сказать, «стандартный» способ. Он заключается в том, что часы при синхронизации обмениваются световыми сигналами вдоль соединяющего их отрезка прямой [4 с.329, 7 с.311].

Результат, полученный пассажиром карусели, подтвердит и неподвижный наблюдатель, иначе они пришли бы к противоречию в суждении о синхронности часов C₁ и C_n, находящихся в одной точке (Рис. 5). Действительно, с точки зрения неподвижного наблюдателя часы C₂ отстают от часов C₁, т.к. являются «головными» для движущегося отрезка C₁C₂, соответственно C₃ отстают от C₂, C₄ отстают от C₃ и т.д., следовательно, часы C_n отстают от часов C₁.

Рис. 5. Часы на ободе диска и «относительность одновременности».

Мы видим, что «стандартная» релятивистская процедура синхронизации часов на ободе вращающегося диска не является транзитивной. Кроме того, как будет показано далее, она не является и симметричной.

Докажем, что часы на ободе вращающегося диска синхронизировать можно. Сделаем так. Синхронизируем все часы на ободе диска до начала его вращения. После этого раскрутим диск, и зададим себе вопрос – синхронно ли теперь идут часы? В процессе раскрутки все часы находились в абсолютно равных условиях в силу круговой симметрии диска, причем как с точки зрения неподвижного наблюдателя, так и с точки зрения пассажира диска. Следовательно, что бы не влияло на ход часов, – это влияние будет идентичным для всех часов. Значит и после раскрутки диска все часы на его краю останутся синхронными, как для неподвижного наблюдателя, так и для пассажира диска. Иными словами, все часы на краю диска равноправны, поэтому, как для неподвижного наблюдателя, так и для пассажира диска, не существует причины, по которой какие-либо часы могли бы уйти вперед или назад по отношению к любым другим. То есть, как с точки зрения наблюдателя на диске, так и с точки зрения неподвижного наблюдателя, все часы на краю диска, после его раскрутки, могут идти только синхронно.

Рассмотрим теперь синхронизацию часов на ободе уже вращающегося диска. Соединим часы A и B световодом, проложенным от часов A вдоль радиуса диска к его центру, и далее от центра вдоль радиуса диска к часам B (рис. 6).

Рис. 6. Часы на ободе диска, соединенные световодом.

Время движения светового сигнала от A к B складывается из двух промежутков: времени движения от точки на ободе диска до его центра, и времени движения от центра диска к точке на ободе. В силу круговой симметрии диска, время движения светового сигнала обратно, от B к A, складывается точно из таких же промежутков, поэтому время распространения светового сигнала от A к B равно времени его распространения обратно. Таким образом, чтобы часы B и A были синхронны, требуется просто подвести часы B так, чтобы выполнялось равенство (2). Данный способ синхронизации, в отличие от «стандартного» релятивистского, является транзитивным. При его использовании наблюдатели не столкнутся с описанным ранее противоречием при синхронизации часов по кругу. Все часы будут синхронны, как с точки зрения неподвижного наблюдателя, так и с точки зрения наблюдателя на диске.

Мы получили, что синхронизировать часы на ободе вращающегося диска можно, пользуясь только соображениями симметрии, без каких бы то ни было условий или допущений. Мы получили также, что безусловно симметричные способы синхронизации часов на ободе вращающегося диска приводят к тому, что события, одновременные для наблюдателя на диске, – будут одновременными и для неподвижного наблюдателя.

Почему же «стандартный» релятивистский способ синхронизации в данном случае дает другой результат? Ответ очевиден – потому что при использовании этого способа условия распространения сигнала «туда» и «обратно» отличаются; «туда» сигнал идет по ходу вращения диска, а «обратно» – против его вращения. Для наблюдателя на диске условия движения вдоль обода в противоположных направлениях различны. А ведь согласно требованиям самой же теории относительности [2 с.148]: «Этот способ должен быть таким, чтобы мы были абсолютно уверены, что явления передачи сигналов из A в B нисколько не отличаются от явлений передачи сигналов из B в A». Следовательно, «стандартный» релятивистский способ в данном случае непригоден, а утверждение теории относительности о невозможности непротиворечивой синхронизации часов на ободе вращающегося диска необоснованно.

Заключение.

Часто говорят, что критика теории относительности – это шаг назад, ведь она решила проблему неинвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея. Вот, например, цитата из книги Р. Фейнмана [9 с.7]:

«Однако уравнения Максвелла, по-видимому, не подчиняются принципу относительности: если преобразовать их подстановкой (15.2), то их вид не останется прежним».

Подстановка (15.2) это преобразования координат Галилея. Обратите внимание, Фейнман не утверждает, он говорит «по-видимому», и не зря. Инвариантность своих уравнений относительно преобразований Галилея анализировал уже сам Максвелл в «Трактате об электричестве и магнетизме». Этот параграф так и называется «Об изменении уравнений электродвижущей интенсивности в случае, когда оси, к которым они относятся, движутся в пространстве» [14 с. 467]. Вывод, который делает Максвелл, говорит сам за себя [14 с. 469]: «Отсюда вытекает, что электродвижущая интенсивность выражается формулой того же самого типа, будут ли движения проводников отнесены к неподвижным осям или к осям, движущимся в пространстве».

Уравнения Максвелла не являются полной системой уравнений электродинамики. Для полноты им не хватает материальных уравнений. Причем известно, что сами уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Галилея, это легко проверить непосредственной подстановкой, вопросы возникают только с материальными уравнениями. Вот более-менее современное описание этой проблемы, представленное группой ученых в журнале УФН [15 с.525], цитата:

«Довольно распространено мнение, что преобразования Лоренца

x′ = γ (x – Vt),       y′ = y,         z′ = z,         t′ = γ (t – Vc^–2x),                                                                                                     (1.1)

где γ = [1 – (V²/c²)]^–1/2 выделены среди других преобразований координат и времени (например, классических преобразований Галилея) тем, что, в отличие от последних, они (и только они) оставляют инвариантными уравнения Максвелла. Хорошо известно, однако, что уравнения Максвелла

                                                                                                   (1.2)

могут быть записаны в 4-тензорной форме без конкретизации связи между векторами полей в веществе. А это означает не только их лоренц-инвариантность (что обычно подчеркивается в физической литературе), но также инвариантность относительно произвольных невырожденных линейных преобразований пространственно-временных переменных (аффинная ковариантность).

Иначе говоря, если вместе с координатами по соответствующему закону пересчитывать поля и источники (как это делается, в частности, и в специальной теории относительности (СТО)), уравнения (1.2) сохранят свой вид при любых линейных преобразованиях, включая и галилеевские. Разумеется, каждому такому преобразованию (т.е. каждой системе 4-координат) будут при этом соответствовать свои материальные уравнения среды.

С формальной точки зрения преобразования Лоренца выделены только тем, что в вакууме они сохраняют вид материальных уравнений среды (D = E, B = H), что физически и соответствует релятивистскому постулату инвариантности скорости света. Для полей в веществе преобразования Лоренца таким преимуществом уже не обладают …». Конец цитаты.

Учитывая, что вакуум в общем случае тоже является средой распространения электромагнитных полей, то почему бы не допустить возможность изменения материальных уравнений и для вакуума?

Математическая безупречность любой теории ничего не говорит о ее истинности. Вот как об этом, применительно к геометрии, пишет Рейхенбах [1 с.22]:

«Если математик не связан использованием определенной системы аксиом и может применять аксиому не-а точно так же, как и аксиому а, тогда утверждение а не относится к математике, а математика есть не что иное, как наука об импликациях, то есть об отношениях типа «если …, то …». Следовательно, для геометрии как математической науки не существует проблемы истинности ее аксиом … Аксиомы не являются ни истинными, ни ложными, а лишь произвольными утверждениями».

Теория относительности построена чисто математически на двух постулатах (аксиомах или принципах), поэтому, если мы считаем эти постулаты верными, то обязаны считать верной и всю теорию. Однако, без дополнительных допущений признать постулаты теории относительности верными мы не можем, т.к. они взаимно противоречивы. Только допущение относительности времени устраняет их противоречивость [2 с.18]. Этот факт отмечал уже сам Эйнштейн [3 с.418]:

«Оказывается, что принцип постоянства скорости света и принцип относительности противоречат один другому только до тех пор, пока сохраняется постулат абсолютного времени, т.е. абсолютный смысл одновременности. Если же допускается относительность времени, то оба принципа оказываются совместимыми; в этом случае, исходя из этих двух принципов, получается теория, называемая «теорией относительности».

Таким образом, допущение относительности времени, так сказать, «склеивает» исходно несовместимые постулаты теории относительности. Общий подход к такой «склейке» заключается в следующем. Скорость (как и многие другие физические величины) не может быть измерена непосредственно, она может быть только вычислена как отношение длины пройденного отрезка пути к затраченному на это времени. Очевидно, что результат измерения времени, зависит от применяемой модели времени. Более того, и результат измерения длины зависит от применяемой модели времени, т.к. в движущейся системе отсчета она определяется посредством одновременного прикладывания измерительной линейки к началу и концу отрезка. Это означает, что при соответствующем «подборе» модели времени можно получить «нужную» зависимость скорости объекта от скорости системы отсчета, в которой анализируется его движение. Именно таким способом теория относительности добивается совместимости своих постулатов. Она декларирует такую модель времени, которая обеспечивает для одного и того же фотона одинаковую скорость сразу во всех инерциальных системах отсчета [4 с.454-455]. Следует отметить, что такой способ обеспечения совместимости постулатов теории относительности делает невозможной их прямую экспериментальную проверку, цитата [5 с.619]:

«На самом же деле возможность принять в каждой системе отсчета равенство скоростей света для противоположных направлений действительно зависит от свойств реального мира, в частности, от того факта, что в природе отсутствует мгновенная передача действий. Но принять это положение, в случае его допустимости, по мнению Пуанкаре, можно только в качестве соглашения, так как эксперимент в равной степени может быть согласован и с противоположным предположением о неравенстве этих величин».

Ввиду того, что исходная противоречивость аксиом теории относительности устранена за счет модификации модели времени, – полученную в результате новую модель, на наш взгляд, стоит исследовать на предмет отсутствия в ней внутренних противоречий. Лоренцево сокращение длины движущихся тел в теории относительности является прямым следствием релятивистской «относительности одновременности» [6 с.12; 7 с.71; 8 с.681], т.е. является прямым следствием используемой в этой теории модели времени. Лоренцево сокращение меняет геометрическую форму движущегося тела, поэтому форма тела в состоянии движения называется кинематической. Проанализируем далее совместимость кинематических форм тел при их сложном взаимосвязанном движении.

Противоречия совместимости кинематических форм тел при их сложном взаимосвязанном движении.

Рассмотрим тонкую жесткую симметричную цилиндрическую спираль, имеющую собственный шаг S₀. Спираль находится в трубе, которая имеет точно такие же форму и размеры (труба закручена как спираль, рис. 1). Трение между поверхностями спирали и трубы отсутствует. Труба и спираль неподвижны в некоторой инерциальной системе отсчета, ось x которой проходит по оси трубы (рис. 1).  Пусть труба остается неподвижной, а спираль постепенно приводится в движение, начинает «вкручиваться» в трубу (аналогично вкручиванию болта в гайку по резьбе). Труба не препятствует увеличению скорости точек спирали, т.к. скорость любого элементарного участка (далее Элемента) спирали  всегда направлена вдоль трубы. Ввиду того, что скорость любого Элемента спирали направлена вдоль него самого, – лоренцево сокращение каждого Элемента спирали приводит только к уменьшению его длины, оставляя параллельным стенкам трубы [3 с.74, 155; 9 с.302-303; 10 с.38, 182-183; 11 с.27; 7 с.72; 12 с.241-242]. То есть общая длина спирали уменьшается, но ее шаг остается неизменным. Поэтому спираль свободно движется в трубе. Пусть это будет утверждением №1.

Рис. 1. Жесткая спираль движется в неподвижной трубе.

Когда точки спирали достигают скорости V, ее ускорение прекращается. После окончания периода ускорения все точки спирали движутся вдоль оси x с одинаковой скоростью V_x. Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся со скоростью V_x. В этой системе отсчета спираль не движется поступательно, а только вращается вокруг своей оси. Труба же движется поступательно со скоростью – V_x. В этой системе отсчета, в результате лоренцева сокращения продольных размеров трубы, шаг «намотки» трубы будет уменьшен. Напротив, шаг спирали будет увеличен, т.к. угол наклона φ каждого Элемента спирали к ее оси, в результате лоренцева сокращения в направлении вектора скорости, – будет уменьшен (рис. 2) [9 с.135]. Это обусловлено тем, что размеры Элемента спирали уменьшаются только в направлении его скорости, а в перпендикулярном направлении остаются неизменными [3 с.74, 155; 9 с.302-303; 10 с.38, 182-183; 11 с.27; 7 с.72; 12 с.241-242].

Рис. 2. Элемент вращается вокруг оси спирали.

Таким образом, в этой системе отсчета шаг «намотки» трубы и спирали не могут совпадать. Следовательно, спираль не может свободно двигаться в трубе. Пусть это будет утверждением №2.

Утверждение №2 противоречит утверждению №1. Это означает, что релятивистское сокращение размеров движущихся тел логически противоречиво, и должно быть отброшено как ошибочное.

Парадокс близнецов берёт своё начало в основополагающей работе Эйнштейна “К электродинамике движущихся тел” от 1905 года. Это первый и наиболее известный парадокс СТО, сформулированный Эйнштейном как “своеобразное следствие” из факта замедления темпа хода движущихся часов. Статус “парадокса” и название “парадокс близнецов” появились позднее в результате расширения формулировки: согласно принципу относительности с точки зрения движущихся часов отставать должны неподвижные.

Более чем за сто лет после публикации работы Эйнштейна решению парадокса было посвящено множество статей, однако дискуссии по нему не прекращаются и в наши дни (2019 год). Видимо, главной причиной продолжающихся споров является то, что ни одно из предложенных решений, по сути, не является бесспорным. Аргументы, использованные разными авторами, нередко не дополняют, а противоречат друг другу, приводя к весьма спорным решениям парадокса. Практически всегда указывается, что парадокс близнецов в специальной теории относительности, её средствами не имеет решения, что для его решения необходимо использовать формализм общей теории относительности:

“При изучении СТО указывается, что “парадокс близнецов” не может быть объяснен в рамках этой теории. … Только в рамках ОТО мы можем понять и объяснить “парадокс близнецов” естественным образом, опираясь на положения OТО” [11, c.220].

“… парадокс близнецов … ограничен специальной теорией относительности, которую можно сразу отбросить из-за абсолютного характера ускоренного движения в этой теории” [3].

Согласно ещё одному замечанию [10, с.40], мнение о возможности использования формулы Лоренца для замедления времени в ускоренных системах ошибочно, поскольку эта формула “… справедлива только для инерциалышх систем и совершенно неприменима к системе R, скорость которой изменяется от v до – v.”Найти вместо этого уравнения “… уравнение, справедливое для системы R, в рамках специальной теории относительности невозможно, так как последняя справедлива лишь для систем отсчета, движущихся с постоянной скоростью” [10, с.40].

“Эйнштейн допускает существование парадокса, если он признает, что одной специальной теории относительности достаточно для анализа ситуаций, в которых нет истинного гравитационного поля” [5, с.2011].

“… парадокс часов есть результат ошибочного применения специальной теории относительности, именно ее применения к случаю, когда следует использовать общую теорию” [7 с.346].

Следует явно отметить, что у парадокса близнецов есть весьма широко используемая собственная проблема. Считается, что для сравнивания возрастов путешествующий близнец должен обязательно вернуться к своему брату. Однако это очевидная ошибка. Для того чтобы сравнить часы C с часами A, совсем не обязательно к ним приближаться. Вполне достаточно сравнить показания часов C с показаниями других часов B, которые синхронизированы с часами A, но могут находиться от них на любом расстоянии. То же самое относится и к парадоксу близнецов. Чтобы сравнить их возраст после того, как один из них удалился на большое расстояние, вполне достаточно сравнить возраст путешественника с возрастом ровесника своего брата в конечной точке путешествия. Или же просто посмотреть в этой точке на календарь, синхронный со всеми календарями в этой ИСО, относительно которой совершено путешествие. Более того, совершенно оставлено без внимания обстоятельство, что с определённой точки зрения, в противоположность традиционным решениям парадокса, путешественник окажется старше своего брата, остававшегося неподвижным.

Рассмотрим несколько вариантов решения парадокса (перевод статей наш). Выбор статей для рассмотрения произведён буквально наугад, но при условии наличия в них хоть какого-то решения, а не распространённого простого описания парадокса.

1. Еще одна заметка о парадоксе близнецов, Eisenlohr H.

В этой короткой заметке [2] автор использует вместо часов сердцебиения участников эксперимента, приняв их в состоянии покоя равными единице. Один из участников, астронавт удаляется от Земли со скоростью β на расстояние L, где мгновенно разворачивается и движется к Земле. На Земле, после возвращения астронавта мы просматриваем журналы двух участников и обнаруживаем в них следующие записи. В журнале астронавта указано, что за время полёта, равное T’, им отправлено на Землю R’_emitted = 1×T’ = T’ импульсов его сердца. При этом им было получено с Земли, от второго участника количество импульсов его сердца, равное R’. В период удаления от Земли, равный T’/2, для астронавта частота сердцебиений землянина была пониженной:

а на обратном пути – повышенной:

Следовательно, за весь период путешествия астронавт получил с Земли количество импульсов:

     (7.1)

Не откладывая на потом, заметим, что пояснений к уравнениям для p’ и q’ автор заметки не приводит. Однако по виду уравнений догадываемся, что используются уравнения для релятивистского эффекта Доплера:

где принято, что скорость света равна единице, v – относительная скорость приёмника и источника. Если источник и приемник сближаются, то скорость имеет знак “плюс”. Если удаляются друг от друга, то скорость имеет знак “минус”. Таким образом, на этом этапе выкладки вполне корректны.

Далее в журнале земного близнеца находим схожие записи: количество отправленных астронавту импульсов равно R_emitted = 1×T = T. С точки зрения землянина, частота поступающих импульсов от астронавта также меняется согласно эффекту Доплера. При удалении астронавта частота импульсов понижена:

а на обратном пути – повышена:

Но вот что интересно. “Половина” пути для земного близнеца в заметке оказывается смещённой. Импульсы повышенной частоты начинают поступать на Землю не ровно через половину времени в пути, а на величину времени, необходимого на приход сигнала из самой дальней точки траектории:

“Импульс, испускаемый в точке поворота, требует времени τ=L/c=(T/2)β, чтобы пройти расстояние L и достичь Земли”.

То есть, импульсы пониженной частоты приходят на Землю более длительное время, чем импульсы повышенной частоты. Исходя из этого, суммарное количество импульсов, полученных землянином равно:

     (7.2)

Теперь из простого сравнения полученных величин, находим, что землянин испустил T импульсов, а получил R импульсов, а астронавт, соответственно, испустил T’ импульсов, а получил R’ импульсов. Из чего делается вывод:

“Следовательно, оба близнеца приходят к одному и тому же выводу: во время путешествия сердце космонавта билось меньше в (1-β²)^1/2 раза, чем сердце его брата. Кстати, формула для замедления времени получается, если положить R = T’ или R’ = T…”

Действительно, на первый взгляд всё строго сходится:

Однако обратим внимание на последнюю фразу в цитате “если положить…“. Воспользуемся указанным предположением, но в инверсном виде. Подставим в уравнение одно из этих соотношений:

Сразу же возникает вопрос, в чём смысл этого нового, явно странного равенства? Обратимся к значениям этих же величин, полученных ранее, рассматривая их не как время, а как количества импульсов. Астронавт, как указано, испустил T’ импульсов, следовательно, землянин все их должен был получить. То есть, согласно сравнению величин, мы должны сделать несколько изменённую запись. Согласно исходным условиям задачи астронавт отправил на Землю R’ = 1×T’ = T’ импульсов своего сердца. Именно их и получил землянин, то есть, согласно уравнению (7.1):

Здесь к величинам, обозначающим количества импульсов, мы добавили нижние индексы, поясняющие направление передачи, получателя и отправителя. Буквально полученное уравнение означает, что астронавт отправил на Землю R’ импульсов, а землянин получил R импульсов:

     (7.3)

Ситуация противоречивая, невозможная: отправлено импульсов меньше, чем получено. Действительно, рассматривать ситуацию, когда получено импульсов больше, чем отправлено, не имеет никакого смысла. Как легко заметить, совпадут эти два количества только в единственном случае, когда астронавт никуда не улетал:

Обнаруженное противоречие не надуманное, а является следствием весьма завуалированной подмены понятий, которая произошла, очевидно, вследствие приравнивания частот сердцебиений единице. Проделаем повторно преобразования, отказавшись от этого приравнивания v₀=v₀‘ = 1. Тогда астронавт за время полёта, равное T’, отправил на Землю R’_emitted = v₀‘T’ импульсов своего сердца, где индекс emitted мы добавили выше как для уточнения отправителя, так и во избежание одинаковых обозначений, поскольку R’ обозначает количество импульсов, полученных землянином. Приняв v₀‘ = 1, мы, разумеется, получим тот же результат, что и ранее. Но при отличии частот сердцебиений от единицы результат уже несколько иной. В период удаления от Земли, равный T’/2, для астронавта частота сердцебиений землянина была пониженной:

а на обратном пути – повышенной:

Следовательно, за весь период путешествия астронавт получил с Земли количество импульсов вместо (7.1):

     (7.4)

Соответственно, и для землянина при удалении астронавта частота импульсов понижена:

а на обратном пути – повышена:

То есть, в общем случае частоты получаемых сигналов сердцебиений не равны для участников. С учётом времени получения последнего сигнала до разворота, суммарное количество импульсов, полученных землянином вместо (7.2) равно:

     (7.5)

Вот теперь мы можем принять некоторые конкретные, условные значения величин и описать их физический смысл. Пусть v₀ = v₀‘ = v₆₀ ≈ 60 ударов в минуту. Тогда уравнения (7.4) и (7.5) можно записать в расшифрованном виде. С Земли астронавт получил следующее количество импульсов:

     (7.6)

Соответственно, землянин получил от астронавта импульсы в количестве:

     (7.7)

Обращаем внимание, что произведения v₆₀T’ и v₆₀T не просто количественно равны, соответственно, отправленным импульсам с Земли R’_emitted = v₆₀T’ и от астронавта R_emitted = v₆₀T, это и есть эти величины, которые ранее были обозначены как R’ и R. Отметим, что штрихи в уравнениях (7.6) и (7.7) и других вносят некоторую двусмысленность, которую мы снимаем окончательно нижними индексами, точно указывая получателя-отправителя:

Мы пришли к выражениям, подобным выражению (7.3), и выявили источник подмены понятий. Рассматривать ситуацию, когда получено импульсов меньше, чем отправлено, не имеет никакого смысла. Таким образом, хотя метод решения парадокса, описанный в заметке, оригинален, но решить парадокс близнецов как таковой он не позволил.

2. Парадокс близнецов и принцип относительности, Grøn Ø.

Отметим, что традиционное замечание о возможности решения парадокса в специальной теории относительности приводится в самом начале, во введении к рассматриваемой статье:

“Можно сразу избавиться от парадокса близнецов, заметив, что для того, чтобы встретиться, отойти и встретиться снова, по крайней мере, один из близнецов должен ускориться. А в рамках специальной теории относительности принцип относительности не действует для ускоренного движения. Ускорение абсолютно. Следовательно, по крайней мере, один из близнецов не может считать себя в состоянии покоя. Близнец с наибольшей средней скоростью между событиями P1 и P2 будет моложе, когда близнецы встречаются в P2″ [3, с.1].

Однако далее автор всё-таки использует парадокс близнецов, как он указал, в качестве “педагогического входа в общую теорию относительности”. При этом он ссылается на Эйнштейна, который указал на необходимость расширения постулата относительности на любые виды движения, а не только инерциальные. Исходя из этого, теперь уже “оба близнеца имеют право считать себя в состоянии покоя”. В качестве примера автор рассматривает обычную версию парадокса с полётом близнеца к ближайшей звезде Альфа-Проксима. Звезда находится в 4-х световых годах от Земли. Скорость полёта туда и обратно равна v = 0.8c. Автор вычисляет с точки зрения Земли возраст близнеца A, остававшегося на Земле, и возраст близнеца-путешественника B в момент его возвращения, которые равны:

Затем, используя принцип относительности, он делает такие же расчёты, считая теперь находящимся в покое близнеца B, а движущимся – близнеца A. Поскольку теперь движущимися являются Земля и звезда, то этот интервал близнецу B виден сократившимся [3, с.3]:

Следовательно, с его точки зрения он провёл в пути [3, с.4]:

Таким образом, предсказания обоих близнецов относительно возраста близнеца B совпали:

Но вот в отношении возраста близнеца A их предсказания разнятся. По мнению близнеца B его брат состарится меньше [3, с.4]:

Однако это вычисление вызывает некоторое недоумение. Автор выше отметил, что близнец B “видит” трассу Земля-звезда укороченной, поскольку эта трасса является движущимся стержнем в его системе отсчёта. Следовательно, близнецу B определённо известно, что в собственной системе покоя её длина больше, чем вычисленная по уравнению (3):

Поэтому близнец B должен определить время старения A как время, за которое он, близнец B с точки зрения A совершит своё путешествие:

В этом случае предсказания двух близнецов совпали бы и в отношении старения близнеца A, что означает строго корректное решение парадокса близнецов в рамках специальной теории относительности. На этом дальнейшие выкладки мы могли бы опустить, поскольку нас как раз и интересовал способ решения парадокса в рамках СТО. Однако это решение автор отклонил, обосновав это в выводах тем, что в рассмотренной ситуации:

“… ускоренный близнец не имеет права говорить, что он находится в покое, потому что гравитационное поле, которое он испытывает, не имеет источника. Это специальное гравитационное поле вводится в описание, когда мы говорим, что близнец A находится в покое, а B путешествует” [3, c.12].

Это довольно странно, поскольку выше он указал, что трасса Земля-Звезда близнецу B видна сократившейся, а это является прямым следствием преобразований Лоренца, если считать близнеца B неподвижным. Тем не менее, вывод сделан и он совпадает с традиционным мнением, что СТО неприменима из ускоренных систем отсчёта, поэтому в ней парадокс не имеет решения и даже не может быть корректно сформулирован. Дальнейшие выкладки автор приводит уже без использования формализма специальной теории относительности.

3. Парадокс близнецов и принцип Маха, Lichtenegger H. and Iorio L.

Авторы статьи рассматривают различные варианты парадокса близнецов. Но мы обратимся только к разделу работы, рассматривающему парадокс в формулировке, близкой к традиционной. В этом варианте близнец-путешественник не возвращается в исходную точку, а сравнение его возраста в конечной точке пути производится с возрастом третьего участника в неподвижной системе отсчёта. Такой вариант правильнее назвать парадоксом трёх часов или парадоксом ровесников. Сами авторы назвали этот вариант “модифицированной версией стандартного парадокса близнецов“.

Основным достоинством этого варианта является то, что в процессе движения не используются ускорения, и применение формализма общей теории относительности здесь не требуется. Вариант не имеет принципиальных отличий от традиционного, поскольку возрасты двух близнецов или показания часов рядом с ними, находящихся в неподвижной системе отсчёта всегда тождественны. Поэтому сравнивать возраст путешественника можно с любыми часами в этой неподвижной системе отсчёта.

В работе учитываются текущие показания часов, то есть, в начальный момент движения они не обнулены. Следствием этого стали довольно длинные уравнения и замысловатые обозначения переменных, изобилующие “крышками” – короткой горизонтальной чертой над переменной, эквивалентами обычных штрихов. Рассматривая выкладки, мы сделаем два изменения: вместо “крышек” будем ставить традиционный штрих – неподвижные участники A и B, а путешественник – A’. Показания всех часов в начальный момент движения примем равными нулю. Уравнения станут заметно короче, но, хотя это будут, по сути, другие уравнения, мы будем давать им прежние, авторские номера.

Итак, в работе рассмотрены два состояния участников: в начальный момент времени и после перемещения в неподвижной системе K. Скорость перемещения путешествующих часов A’ и их наблюдателя в конечную точку равна V. Расстояние перемещения из положения A в положение B равно Δx = AB. В конечной точке наблюдатель A’, находящийся в движущейся ИСО K’, встречается с третьим участником B. По часам неподвижных наблюдателей A и B от начала движения и до этой встречи прошёл интервал времени [4, с.3]:

Наблюдатель A’ движется инерциально относительно K, поэтому с точки зрения этой ИСО и наблюдателей A и B часы A’ покажут время:

Следовательно, разница в показаниях часов B и A’ при их встрече в ИСО K равна:

С другой стороны, с точки зрения часов A’ и наблюдателей в ИСО K’ движущейся является ИСО K и находящиеся в ней часы A и B. Однако наблюдатели в K’ видят, что интервал Δx испытал лоренцево сокращение, стал короче, поскольку движется со скоростью V относительно ИСО K’. Следовательно, с точки зрения A’ и K’ время в пути составило:

Здесь мы должны заметить, что в отличие от парадокса с ускоренным движением при развороте, в данном случае наблюдатель в движущейся ИСО K’ имеет полное право считать себя неподвижным. В этом случае для наблюдателя A’ часы, находящиеся в ИСО K теперь уже не синхронизированы, с его точки зрения, вследствие движения, они показывают разное время. В соответствии с преобразованиями Лоренца он считает, что часы B опережают часы A с коэффициентом ΔxV/c², причём, как мы установили для начального момента, t’_A = 0, т.е.:

Действительно, уравнение преобразований Лоренца для времени имеет вид:

Правое слагаемое в числителе и есть это опережение (5) двух движущихся часов, разделённых интервалом x. По той же причине движения часов A и B относительно ИСО K’, интервал времени движения, отображаемый часами B, с точки зрения K’ на этом интервале движения от A к B (4) сокращается, уменьшается относительно t_A = t_B с коэффициентом γ⁻¹, то есть время t’_B, увиденное в K’ на часах B при встрече с A’, равно сумме сократившегося интервала (4) и опережения (5) часов B над часами A:

Таким образом, часы A’ с точки зрения ИСО K’ с показаниями (6) отстают от часов B с показаниями (4) на время:

Часы A’ находятся в состоянии покоя в ИСО K’ и показывают меньший интервал времени между показаниями, полученными при последовательном, поочерёдном сравнении с парой часов A и B, синхронизированных в ИСО K. Таким образом, сравнение пар уравнений (2) с (4) и (1) с (6) показывает, что оба наблюдателя – A и B в ИСО K и наблюдатель A’ в ИСО K’ приходят к согласию о показаниях часов при одновременной проверке их в одном и том же месте. Иначе говоря, в рассмотренном варианте парадокса близнецов в формализме специальной теории относительности нет никакого парадокса и моложе при встрече оказался путешественник A’.

4. Парадокс близнецов, Witman D.M.

Рассматриваемый парадокс близнецов описан в одной из глав данного учебника, предлагаемого как курс теории относительности для неспециалистов. Парадокс рассматривается в традиционном виде, а в качестве близнецов выступают ставшие традиционными участниками в квантовой физике близнецы, ровесники Алиса и Боб. Алиса улетает на ракете в путешествие по галактике. В процессе путешествия близнецы ежегодно посылают друг другу радиосигналы с приглашениями на свои дни рождения.

В общем, представленная картина традиционна: по возвращению Алиса оказывается моложе Боба. При этом отмечено, что парадокс возникает, если применяются правила для инерциального движения к явно неинерциальному движению Алисы [6, с.117]. В этом отношении представляет особый интерес напоминание о том, что Алиса не может рассматривать движение Боба как ускоренное, поскольку у неё есть объективные тесты для определения собственного ускоренного движения. Из этого делается и традиционный вывод, что из-за релятивистского замедления времени в инерциальной системе отсчёта Боба действительно моложе именно Алиса.

Словесное решение парадокса сопровождается диаграммами Минковского и не содержит уравнений. Большое внимание уделено тому, что наблюдает путешествующая Алиса, что сопровождается множеством рисунков, правда, довольно абстрактных: круги – планеты и космолёты, на фоне которых изображены годы их текущего времени.

Следует с сожалением отметить, что такая художественная иллюстрация довольно слабо улучшила понимание, аргументацию. Например, планеты с одинаковыми датами на их фоне ничего, по существу, не добавили к тексту в подписи к рисунку 10.3:

“На мгновение остановившись на развороте, Алиса обнаруживает, что все часы планет снова синхронизированы по значению часов локальной планеты. Она прочитали на них четыре года с начала ее путешествия, несмотря на то, что прошло всего два года по ее собственным часов” [6, с.120].

Поясняется, что в этот момент Алиса ненадолго перешла в систему покоя планет. Это устранило релятивистское искажение времени, и Алиса оказалась в том же 2529 году, что и на этих планетах, несмотря на то, что была в пути только 2 года, начав его в 2025 году:

“Алиса уже моложе Боба, и обратный путь лишь увеличит эффект вдвое, повторяя процесс. Ключевым действием была смена системы отсчёта, также известная как ускорение. Ускорение фактически не повлияло ни на какие часы планеты, но оно изменило набор отдаленных событий, которые Алиса считает одновременными событию здесь и сейчас” [6, с.120].

Задаётся, можно сказать, риторический вопрос:

“Кажется, что-то волшебное произошло во время ускорений Алисы. Как, например, часы планет могли внезапно стать синхронизированными, когда она замедлилась при повороте?” [6, с.120].

Однако последующий ответ на него, рассуждения о перекосах сетки пространства-времени и о “перемотке времени” через часть жизни Боба, довольно туманны и плохо раскрывают суть возникших преобразований. Интересно замечание, что величина ускорения сама по себе не влияет на изменение возраста Алисы, не вызывает замедления её старения по сравнению с Бобом. На этом, собственно, конструктивное описание парадокса завершено. В качестве корректного научного решения парадокса близнецов принять его сложно.

5. Новый взгляд на парадокс близнецов, Бузмаков И.В.

Данную работу мы рассматриваем критически, несмотря на то, что в интернете, на форуме она была подвергнута весьма серьёзной, даже разгромной критике. Мы не будем сравнивать, совпала наша критика с критикой на форуме или нет, а просто укажем на некоторые ошибки в этой работе. Как заявил автор:

“Доказана невозможность объяснения парадокса в рамках теории относительности при движении одного из близнецов по такой траектории” [8].

Доказательство представлено с помощью схемы движения рис.1 в статье:

Рис.1. Разворот часов U₂ в точке B по окружности.

Рассмотрены двое часов U₁, находящиеся в неподвижной системе отсчёта K в точке A, и часы U₂, в системе отсчёта K‘, движущиеся по замкнутой траектории, состоящей из двух прямолинейных, инерциальных участков, и участка разворота по дуге окружности радиуса r.

Отметим, что схема содержит неинерциальный отрезок пути, поэтому в доказательстве рассматривается эффект падения часов U₁ в эквивалентном гравитационном поле. При этом утверждается, что в отличие от известных доказательств используются не приближенные, а точные формулы теории относительности, что, по мнению автора, позволило получить такие же абсолютно точные соотношения.

Тем не менее, некоторые допущения всё-таки довольно условны. Заявлено, что при развороте часы U₂ не тормозят, а продолжают лететь с той же скоростью V, но по дуге радиуса r вокруг точки B, что, как считается, вроде бы исключает скачкообразное изменение направления скорости часов U₂ в точках начала и конца разворота. Однако такой разворот с изменением скорости на противоположную назвать плавным можно весьма условно, поскольку радиус дуги довольно мал. Тем не менее, это допущение можно принять как вполне безобидное. Но вот следующее рассуждение выглядит весьма двусмысленно:

“Так как наблюдаемое из К изменение показаний часов U₂, произошедшее при их развороте, имеет некоторую конечную величину, и так как часы U₂ при движении вдоль отрезка АВ идут медленнее часов U₁, то при достаточно большой длине отрезка АВ часы U₂ по возвращении в точку А должны отставать от часов U₁ на некоторое время ∆t₁” [8].

В действительности всё то же самое можно сказать и о наблюдениях из системы K‘, если учесть, что эта система отсчёта некоторое время является неинерциальной, и часы U₁ с её точки зрения на этом этапе идут ускоренно, быстрее часов U₂. В результате, согласно приведённой ссылке, отстающими оказываются часы U₂ и парадокс снимается сразу же.

Далее мы изменим порядок рассмотрения ситуации с точек зрения каждой системы отсчёта. Сначала традиционно рассмотрим ситуацию, как она описана в статье, с точки зрения изначально неподвижной системы K.

“В системе отсчета K часы U₂ все время двигаются со скоростью V. Учитывая, что согласно специальной теории относительности с точки зрения часов U₁ часы U₂ идут медленнее в γ раз …, получаем, что время ΔT_U2, затраченное часами U₂ на путешествие, должно быть равно:

ΔT_U2 = ΔT_A/γ     (7)

Автор использует величину лоренц-фактора γ = (1 – V²/c²)^–1/2 > 1. Однако, замечаем, ΔT_U2 содержит также и неинерциальную составляющую – время разворота по часам U₂. На этом интервале движения медленнее часы идут согласно общей теории относительности, поэтому лоренцев коэффициент в этом случае неприменим.

Теперь рассмотрим эту же картину с точки зрения движущейся системы отсчёта K‘ с часами U₂. Автор указывает, что

“Учитывая, что согласно специальной теории относительности на участках равномерного и прямолинейного движения с точки зрения часов U₂ движущиеся часы U₁ идут медленнее в γ раз …, имеем:

∆τ′_U2 = γ∙∆τ′_A     (3)

Здесь допущена распространённая ошибка. Дело в том, что в этом уравнении время ∆τ′_A – это не суммарное время ∆τ′_A, прошедшее по часам U₁ на участках равномерного и прямолинейного движения, входящее в уравнение (2):

ΔT′_A = ∆τ′_A + ∆t′_A     (2)

Для их различения уравнение (3) следует записать иначе:

∆τ′_U2 = γ∙∆τ′′_A     (3a)

Если же использовать авторское значение ∆τ′_A, то уравнение (3) должно иметь инверснвый вид:

∆τ′_U2 = ∆τ′_A/γ     (3б)

Связано это с тем, что длина отрезка AB имеет разную величину с точки зрения систем отсчёта K и K‘. Действительно, с точки зрения движущейся системы K‘ этот отрезок движется ей навстречу, поэтому испытывает лоренцево сокращение. Время на прохождение со скоростью V часами U₂ этого интервала с точки зрения часов U₁ равно:

Соответственно, время на прохождение со скоростью V часами U₁ этого интервала с точки зрения часов U₂ равно:

Сравнивая эти времена, находим

что отличается от уравнения (3) и совпадает с уравнением (3б). По этой же причине следует изменить и соотношение времени на разворот. Если использовать некорректное, лоренцево сокращение интервалов времени на неинерциальном участке и исправленное уравнение (3б), то в этом случае уравнение (5) примет следующий вид:

ΔT′_U2 = ∆τ′_A/γ + Δt′_A/γ     (5)

Воспользовавшись сформулированным в статье правом, приравниваем исправленное уравнение (5) и уравнение (8), получив в результате тождество:

∆τ′_A/γ + Δt′_A/γ = ∆τ′_A/γ + ∆t′_A/γ

Получается, что вывод автора о приходе к противоречию специальной теории относительности с ее основным постулатом ошибочен. Заявление автора о том, что все полученные им соотношения абсолютно точны, поскольку в представленных расчетах он не использовал никаких приближений, также неверно. Кроме того, рассуждения в статье содержат явную геометрическую ошибку:

“На участке разворота система К′ является вращающейся системой отсчета с центром в точке B, поэтому в ней существует гравитационное поле, в котором часы U₂ неподвижны, а часы U₁, вращаются с угловой скоростью ω вокруг неподвижной точки B, где находятся точно такие же часы U_B” [8].

Это утверждение геометрически некорректно, ошибочно. Очевидно, что часы U₁ не могут вращаться вокруг точки B по радиусу r, поскольку они попросту находятся дальше от этой точки. Можно было бы предположить, что по этому радиусу r вокруг часов U₂ вращаются синхронные с U₁ часы U_B, находящиеся в центре вращения B. Однако и это неверно, что легко показать вычислениями. Движение часов U₂ вокруг часов U_B напоминает движение автомобиля по кольцу. Центр кольца всегда неподвижен относительно автомобиля. Таким же образом часы U₂ всегда движутся “лицом вдоль траектории”, поэтому часы U_B по отношению к ним на рисунке всегда слева. Следовательно, и падают в эквивалентном гравитационном поле вращающихся часов U₂ именно неподвижные часы U_B.

Таким образом, вывод о том, что рассмотренный мысленный эксперимент не может быть непротиворечиво описан в рамках теории относительности является ошибочным.

6. Парадокс часов, Мардер Л.

Парадокс в книге рассматривается в наиболее полном, сложном варианте, в котором движение путешественника разбивается на 5 этапов. Отмечается, что с точки зрения неподвижного, земного участника три участка ускоренного движения занимают непродолжительное время по сравнению с участками инерциального движения [9, с.83]. Считая, в общем, что продолжительность инерциального движения с обеих точек зрения существенно превышает продолжительность времени ускорения, разворота и торможения, которым можно пренебречь, делается очевидный вывод: время в пути по часам путешественника меньше времени по часам земного наблюдателя.

Пренебрегая временем неинерциального движения, мы приходим к традиционной формулировке парадокса близнецов. На участках инерциального движения теперь уже можно неподвижным рассматривать путешественника, вследствие чего, меньшее время должны показать часы на Земле.

Решение парадокса производится на диаграмме Минковского. Отмечается, что критерии одновременности на двух участках инерциального движения в системе отсчёта путешественника не одинаковы. Далее утверждается, что при наблюдении путешественником Земли не будет никаких разрывов, и земные часы не будут “идти в бешеном темпе”. Однако последующее пояснение имеет довольно туманный смысл:

“Быстрое изменение происходит лишь с критерием одновременности, но это не играет физической роли, так как понятие одновременности на расстоянии – дело условное. И все же это понятие прекрасно срабатывает, когда требуется рассчитать абсолютный результат вроде различия времени путешествия часов, сначала разлетающихся друг от друга, а затем вновь встречающихся. [9, с.86].

Далее приводятся достаточно детальные ссылки на взгляды разных авторов на парадокс. В заключение сторонникам мнения, что периоды ускоренного движения путешественника “могут быть последовательно рассмотрены лишь в общей теории относительности” [9, с.87] противопоставляется мнение, что “общая теория относительности мало что добавляет к истолкованию парадокса часов, если нет реальных гравитационных полей, хотя в фокусе всех споров находится именно такой случай” [9, с.202].

Собственно решение парадокса близнецов в рамках специальной теории относительности этим и ограничивается. Назвать его исчерпывающим и убедительным мы не можем.

7. Сказка о двух близнецах, Benguigui L.

В этой работе автор отмечает, что по парадоксу близнецов в специальной теории относительности: “Похоже, что во многих статьях есть ошибки” [1, с.3] и указывает, что он рассматривает, даёт общий обзор только тех решений, которые, как утверждается, находятся в рамках специальной теории относительности [1, с.25]. В частности автор схематично рассмотрел несколько вариантов применения преобразований Лоренца в контексте парадокса близнецов и получил специфические выводы. Поскольку обозначения переменных в цитатах общепринятые, их расшифровку мы не приводим. Рассматривая продолжительность некоторого процесса в двух относительно движущихся ИСО, автор приходит к классической, наивной формулировке парадокса близнецов:

“Можно считать, что τ – это истекшее время пути для каждого близнеца в его собственной системе (земле или ракете), и каждый из них измеряет время γτ для другого. Вопрос в том, какие времена измеряются в обеих системах, когда они снова встречаются?” [1, с.5].

Наивность заключается в том, что происходит отождествление времён, на самом деле качественно не связанных друг с другом, фактически это времена, относящиеся к двум парам разных событий. Правильнее говорить, что один близнец измеряет времена τ и γτ, а другой – t и γt. Именно такое отождествление и лежит в основе традиционной формулировки парадокса. Точно такое же отождествление автор производит и для расстояний:

“Третий случай интересен для расследования … Какова связь между двумя расстояниями L и L’? Поскольку существует полная симметрия между двумя точками зрения в S и в S’, времена, измеренные в S и S’, должны быть равны. Это приводит к тому, что L = L’ и, в частности, нет “сокращения длины” [1, с.6].

Здесь происходит отождествление теперь уже двух пар расстояний, обозначим их как L₁ и L’₁ и L₂ и L’₂. Каждая пара расстояний относится к одной из рассмотренных систем отсчёта и качественно они не эквивалентны, поскольку L₁ и L₂ – это собственные длины в своих ИСО, это два разных отрезка, два разных стержня. Возникает вопрос: это мнение автора или он приводит мнение других исследователей, с которым он не согласен? Пояснений в статье мы не увидели.

Далее в своём анализе автор демонстрирует возможность применения формализма СТО к ускоренно движущимся системам отсчёта. Для этого интервал движения такой системы разбивается на последовательность инерциальных систем отсчета, имеющих также название мгновенно сопутствующая инерциальная система отсчёта – МСИСО. Эти ИСО можно рассматривать как последовательные интервалы исходной неинерциальной системы отсчета. Для такой неинерциальной системы отсчёта собственное время определяется интегрированием коэффициента Лоренца с переменной скоростью:

Это уравнение позволяет вычислить показания часов, движущихся с переменной скоростью, и показывает, что формализм СТО применим к ускоренно движущимся системам отсчёта с точки зрения обычной инерциальной системы. В качестве примера рассматриваются две ИСО S и S’, движущиеся навстречу, причём перед самой встречей ИСО S’ изменяет свою относительную скорость до нуля, то есть, останавливается в ИСО S. Эта ситуация описывается уравнением:

Принимается, что часы двух систем обнулены на момент начала движения. Интеграл после первого знака равенства – это общее время движения ИСО S’ с точки зрения неподвижной системы S. Первое слагаемое справа – время инерциального движения S’ с точки зрения S, второе слагаемое – время, в течение которого движущаяся система S’ замедлилась до остановки. Как утверждается, интеграл правой части (6) меньше, чем (t₁ – t₀), следовательно, t’₁ < t₁ и при их встрече часы S’ покажут меньшее время, чем часы S. При мгновенной остановке t₀ = t₁, и интеграл в правой части (6) обращается в ноль. Поэтому t’₁ = t₁/γ, что является традиционным решением парадокса при мгновенном развороте путешественника.

Описывается также и ещё один корректный вариант решения. Если дистанция между ИСО “привязана” к системе S’, то возникает противоположное решение парадокса: t’₁ > t₁. Иначе говоря, в этом случае путешественник оказывается старше близнеца, остававшегося неподвижным [1, с.7]. Также корректно рассмотрен последний вариант, когда обе ИСО движутся встречно с одинаковой скоростью относительно третьей, неподвижной системы отсчёта. В этом случае при встрече показания их часов будут тождественными. Отметим небольшую неточность в выкладках. При объяснении взглядов Ланжевена на парадокс близнецов автор приводит схему движения, рис.1 в статье, и поясняет:

“Штриховые линии BK и BL – это мировые линии световых сигналов, посылаемых путешественником. Сигнал BK – это последний сигнал, отправленный непосредственно перед его обратным ходом, а BL – первый сигнал, который он отправил сразу после начала своего обратного хода” [1, с.10].

Как видно на рисунке, при такой трактовке световой сигнал BK должен двигаться в прошлое. Далее делается традиционное замечание по парадоксу с ускорением:

“Поскольку система отсчета путешественника ускоряется относительно системы отсчета Земли, она не является инерциальной. Тем не менее, решение проблемы в ИСО Земли может быть достигнуто с помощью специальной теории относительности, но решение в ИСО путешественника с помощью общей теории относительности даст больше понимания” [1, с.12].

Другими словами, землянин может использовать формализм СТО, а путешественнику следует обратиться к ОТО. Рассмотрен также и вариант с тремя системами отсчёта, названный в статье решением без ускорения. От Земли близнец удаляется инерциально в одной системе, а в точке обычного разворота просто перескакивает в такую же ИСО, но движущуюся к Земле. При этом показания своих часов (возраст) он сохраняет неизменными. Этот вариант, следует заметить, отличается от своего традиционного аналога трёх ИСО, в котором никто не перескакивает, просто возвратно движущиеся часы устанавливаются в показания только что прибывших с Земли. При перескакивании близнец испытывает ускорение. Поэтому следует признать ошибочным утверждение автора статьи, что этот сценарий не использует ускорения, следовательно, совместим со специальной теорией относительности. Это неверно, поскольку ускорение просто завуалировано и соответствует мгновенному развороту.

Вместе с тем, следует признать ошибочным и другое утверждение, отрицающее указанное утверждение о совместимости в части величины ускорения. Это утверждение, высказанное при рассмотрении гравитационного решения Мёллера, что:

“… время в точке поворота, несмотря на то, что оно происходит на нулевом расстоянии, не равно нулю при измерении в системе отсчёта “остающегося дома”! Это приводит к тому, что общее время ΔT имеет разрыв в точке поворота. Это является причиной нарушения симметрии во временах двух близнецов. Меллер объясняет этот особенно удивительный результат тем, что в таком случае (g → ∞) гравитационный потенциал бесконечен. Этот результат очень важен, потому что он показывает, что, даже если времена ускорения очень короткие, существует асимметричное старение. Очень часто утверждается, что, если времена ускорения очень малы, ускорение становится несущественным для проблемы, и это неверно” [1, с.17].

Вывод о ненулевом времени получен в результате некорректных аналитических выкладок. Нулевое расстояние разворота ведёт к тождественно нулевому времени разворота. А при любом коэффициенте соотношения между временами в движущейся и покоящейся системах второе, относительное время также будет равно нулю. Это верно даже для поля гравитации Чёрной дыры: нулевые интервалы времени под горизонтом событий и над горизонтом – тождественны.

“… столь частый аргумент о том, что короткие времена ускорения делают их ненужными, является ложным. … полные расчеты показывают, что разница в возрасте обусловлена двумя факторами: ускорением и замедлением времени” [1, с.27].

При желании расчёты могут показать любой желаемый результат. Хорошо известны решения, использующие мгновенный разворот путешественника, с нулевым временем ускорения. Это, конечно же, приводит к невозможному, бесконечно большому ускорению, однако в этом гипотетическом случае парадокс решается строго в рамках специальной теории относительности и строго в соответствии с другими корректными решениями, с более молодым путешественником в конце полёта. Формально в этом случае путешественник всё время двигался инерциально, без ускорения. В этой связи следует отметить интересное замечание автора:

“В неускоренной версии близнецы никогда не находятся в одной и той же системе отсчета, и, таким образом, нет ни поездки одного из них, ни возвращения на Землю” [1, с.23].

Этот вывод, по меньшей мере, является неоправданным упрощением. Неускоренную версию можно назвать традиционной, “жёсткой” версией парадокса близнецов. Действительно, речь идёт о соотношении показаний двух относительно движущихся часов, роль которых нередко исполняют близнецы. Близнецы заметно усложняют задачу, поскольку для них в неускоренной версии общей точкой является только место их рождения. Но для часов это не проблема. В пределах бесконечно протяжённой неподвижной ИСО существует любое число синхронизированных часов. Следовательно, в варианте трёх ИСО из исходной точки могут начать путешествие часы, синхронизированные с неподвижными. А в точке условного разворота обратно могут двигаться такие же часы, синхронизированные с прибывшими в эту точки путешествующими часами. В исходной точке сравниваются неподвижные часы и эти, возвращающиеся. Никаких ускорений в этом случае не требуется и вариант формально полностью эквивалентен “жёсткому” варианту парадокса. Действительно, для того чтобы узнать время на другом конце страны, нам не обязательно ускоряться и ехать туда, поскольку все часы синхронизированы.

Рассмотренный обзор решений в статье приводит к выводу, что в классической, “жёсткой” формулировке парадокс не имеет не только решения средствами специальной тории относительности, но он даже не может быть в ней сформулирован просто по определению инерциальной системы отсчёта.

Вместе с тем, хотя и с некоторой долей неуверенности, в расширенных и, по сути, эквивалентных формулировках парадокс близнецов в специальной теории относительности имеет непротиворечивое, корректное решение. Все разногласия и разночтения относятся к разным вариантам его формулировки.

8. О решении Эйнштейна парадокса пары часов, Unnikrishnan C. S.

В данной работе автор критически анализирует решения Эйнштейна и делает вывод, что решение, использующее гравитационное замедление времени, “… страдает от логических и физических недостатков и дает неправильные ответы в общем контексте” [5, с.2009]. Буквально это можно трактовать, что решение парадокса близнецов не нуждается в использовании гравитационных полей. Анализ и выводы автор делает в отношении редко цитируемой работы Эйнштена:

“Поскольку сам документ не очень известен, и поскольку расчет не часто обсуждается в контексте парадокса близнецов, я восстанавливаю его здесь. Вывод здесь более подробный, чем приблизительный расчет, упомянутый в некоторых обсуждениях, и, возможно, более подробный, чем имел в виду Эйнштейн …” [5, с.2011].

В результате восстановления расчетов Эйнштейна, автор приходит к традиционному виду парадокса близнецов [5, с.2012], двум уравнениям, противоречию: близнец А стареет меньше, чем В и, наоборот, близнец B стареет меньше, чем A:

Заметим, что при выводе замедления с точки зрения движущегося близнеца ΔT_A-B, автор использует некорректные предположения о равенстве ускорений при развороте с разных точек зрения. Однако ускорение само зависит от времени разворота с точки зрения каждого из близнецов. Получается, что во втором случае, с точки зрения движущегося близнеца B для вычисления времени замедления темпа хода часов A в уравнении требуется использовать (через вычисление ускорения) это самое искомое время. Далее, используя гравитационное замедление, автор приходит к следующему выводу [5, с.2012]:

“Общее замедление времени A относительно B равно

“

Однако выкладки выгдядят подозрительно. Проверим их. Для удобства записываем исходные уравнения, использованные в (8):

Подставляем их в первое равенство (8):

Собираем подобные члены:

Подробные преобразования делаем, чтобы не упустить мелкие детали:

Окончательно получаем уравнение (8a) и добавляем для сравнение проверяемое уравнение (8):

Это очень странно, но предложенное автором заключительное выражение не соответствует исходным данным, использованным при его выводе. Заодно замечаем, что и уравнение (7) явно не соответствует уравнению (5). Опечатка? Если учесть, что в статье неоднократно делается ссылка на логику, то это более чем странно.

Можно сказать, что в заключение в статье приведены два контрпримера, на основании которых делаются весьма далеко идущие выводы:

“… все стандартные решения парадокса-близнецов, использующие ускорение или эквивалентное псевдо гравитационное поле в качестве физического эффекта, ответственного за асимметричное замедление времени, ошибочны, и решение Эйнштейна не является исключением. Таким образом, решение Эйнштейна, использующее общую теорию относительности, принцип эквивалентности и гравитационное замедление времени, просто не работает, за исключением конкретного случая, состоящего только из двух часов в совершенно особой последовательности движения. Следовательно, это решение парадокса часов, равно как и любое, которое основано на каком-то физическом эффекте, связанном с ускорением, должно быть отвергнуто. … возможность выключения или остановки часов делает все стандартные решения неадекватными” [5, с.2014].

Надо отметить, что, в общем, мы разделяем позицию о чрезмерности формализма ОТО для решения парадокса близнецов. Для его решения вполне достаточно собственных средств специальной теории относительности. Однако со следующим фундаментальным заявлением, спорным заявлением автора согласиться можно лишь с большой долей осторожности:

“Утверждение … о том, что не существует физического метода измерения скорости движения в пространстве, аннулируется различными маркерами, доступными в космологии …” [5, с.2015].

В заключение отметим, что при наличии объёмной, но всё-таки определённо спорной аргументации, опровержений традиционных гравитационных решений, автор, тем не менее, не привёл хотя бы кратких аналитических доводов, уравнений в пользу решений без формализма ускорений и общей теории относительности.