1. Признание факта существования задачи и ее формулировка.

2. Выбор факторов и уровней.

3. Выбор переменной отклика (параметра оптимизации).

4. Выбор плана эксперимента.

5. Проведение эксперимента.

6. Анализ данных.

7. Выводы и рекомендации.

На начальной стадии планирования  эксперимента с учетом поставленных целей экспериментатор должен отобрать независимые переменные (факторы), которые в дальнейшем будут использовать в эксперименте. Как правило, факторы выбираются на основе анализа априорной информации, что требует использования различных методов систематизации полученных знаний. Для решения задач такого рода широко используются методы экспертной оценки [2]. Эти методы основаны на получении и обработке данных, полученных в результате опроса специалистов. Применительно к оценке и выбору наиболее значимых факторов широкое распространение получил метод априорного ранжирования [3].

Метод основан на ранжировании факторов в порядке убывания вносимого ими вклада. Вклад фактора оценивается по величине ранга, присвоенного конкретному фактору при ранжировании всех факторов с учетом их предполагаемого влияния на параметр оптимизации. Каждый эксперт заполняет анкету, в которой перечислены факторы, их размерность и интервалы варьирования, и определяет место фактора в ранжированном ряду.

Полученная от экспертов информация обрабатывается следующим образом:

- определяют сумму рангов по факторам

- разность (∆i) между суммой каждого фактора и средней суммой рангов

- сумму квадратов отклонений (s)

где a_ij  – ранг каждого i-го фактора у j-го исследователя;

n – число исследователей;

m – число факторов;

Т – средняя сумма рангов.

Согласованность мнений экспертов оценивается с помощью коэффициента конкордации  ω:

где

где 

t_j- число одинаковых рангов в j-м ранжировании.

Следующим этапом является оценка значимости коэффициента конкордации  оценки его значимости с помощью χ² – распределения с числом сте­пеней свободы  f = n – 1.

Значение – критерия определяют по формуле.

Гипотеза о наличии согласованности мнений исследователей может быть принята, если при заданном числе степеней свободы табличное значение χ² меньше расчетного для 5%-го уровня значимости.

Рассмотрим пример использования априорного ранжирования факторов для планирования эксперимента, предназначенного для установления зависимости влияния технологических параметров на качество плиты ДСП.

Опрос экспертов проводился с помощью анкеты, содержащей 7 факторов (k =7), которые нужно было проранжировать с учетом степени их влияния на плотность плиты ДСП. Были рассмотрены факторы, которые характеризовали условия изготовления продукции, а именно:

1. Время перемешивания стружки со смолой, отвердителем и добавками;

2. Средний размер стружки;

3. Температура прессования

4. Давление прессования;

5. Время сушки стружки

6. Время прессования

7. Температура сушки стружки;

Матрица рангов, полученная из анкет, приведена в таблице 1.

Исследователи	Факторы (n = 7)
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
1	6	7	2	5	3	4	1
2	7	6	3	5	2	4	1
3	7	6	2	5	4	3	1
4	7	6	2	5	3	4	1
5	6	7	2	4	3	5	1
	33	32	11	24	15	20	5
∆i	-13	-12	9	-4	5	0	15	S = 660
(∆i)2	169	144	81	16	25	0	225

Несмотря на то, что полученное значение коэффициента конкордации  значительно отличается от нуля, проверим его значимость по χ²-критерию:

С учетом 5%-го уровня значимости и числа степеней свободы f=6 табличное значение критерия χ² = 12,6. Следовательно, мнение экспертов согласовано. Построим среднюю диаграмму рангов для рассматриваемых факторов (рис. 1).

Рис. 1 Средняя априорная диаграмма

 По результатам проведенного психологического эксперимента для дальнейшего планирования эксперимента целесообразно оставить два фактора: x₁ и x_2.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью [1…4].

При решении задачи используются математические модели объекта исследования, т.е. уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде выглядит следующим образом:

Для определения связи между двумя необходимыми параметрами можно воспользоваться парной регрессией. Парная регрессия представляет собой уравнение, описывающее связь между двумя переменными: зависимой переменной y и независимой переменной x.

Рассмотрим примеры использования линейной и нелинейной парной регрессии для определения зависимостей между оцениваемыми показателями при производстве сахара-песка [3, 4].

При производстве сахара используются диффузионные аппараты, которые имеют определенные недостатки, что не позволяет обеспечить оптимальные условия проведения процесса экстрагирования для получения максимального выхода сахара. Основными факторами [2], влияющими на ход процесса экстрагирования и полноту извлечения сахара из стружки, являются температурный режим, особенно в начальной стадии процесса, направление движения фаз, гидродинамика процесса, соотношение расхода масс экстрагента и стружки [5]. Таким образом, целесообразно определить зависимость выхода сахара (у, т/смену) от температуры в диффузионном аппарате (x, ^оС), что позволит найти оптимальный температурный режим для максимального выхода сахара. Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты эксперимента

№	x	y	x2	y2	xy
1	68	110	4624	12100	7480	112,6	-2,6	6,76
2	69	112	4761	12544	7728	119,8	-7,8	60,84
3	70	130	4900	16900	9100	127	3	9
4	71	135	5041	18225	9585	134,2	0,8	0,64
5	72	150	5184	22500	10800	141,4	8,6	73,96
6	73	150	5329	22500	10950	148,6	1,4	1,96
7	74	150	5476	22500	11100	155,8	-5,8	33,64
∑	497	937	35317	127269	66743			186,8

Для установления связи между изучаемыми переменными рассчитаем коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции – это статистический показатель зависимости двух случайных величин. Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. При этом значение -1 будет говорить об отсутствии корреляции между величинами, 0 – о нулевой корреляции, а +1 – о полной корреляции величин. Т.е., чем ближе значение коэффициента корреляции к +1, тем сильнее связь между двумя случайными величинами.

Проведем оценку значимости коэффициента парной корреляции с помощью критерия Стьюдента.

Сравним полученное значение с критическим значением t-критерия, который определяется по таблице распределения Стьюдента:

Таким образом, коэффициент корреляции значим.

Найдем выборочные коэффициенты регрессии по следующей формуле:

Уравнение регрессии имеет следующий вид (рис 1):

y=-377+7,2x

Рисунок 1 – Зависимость выхода сахара от температуры в диффузионном аппарате

 С помощью коэффициентов можно выяснить силу влияния факторов. Чем больше величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. В данном случае коэффициент имеет знак плюс. Это означает, что с увеличением значения фактора значение параметра оптимизации увеличивается.

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным.

Значение дисперсии адекватности модели можно вычислить по следующей формуле:

Далее найдем дисперсию воспроизводимости :

Для того, чтобы проверить гипотезу об адекватности модели можно воспользоваться критерием Фишера:

На основании полученных данных можно сделать вывод, что модель адекватна.

Для выполнения нормы – 150 т/смену – температура в диффузионном аппарате должна достигать 73°С:

На практике для получения 150 т сахара в смену температура в аппарате должна быть в пределах 72–74°С.

В том случае, если предполагаемый характер процесса носит нелинейный характер, имеет смысл получить квадратичную зависимость.

Проведем анализ того же процесса в вакуум-аппарате. Принцип действия данного оборудования и диффузионного аппарата похожи, так как они направлены на одну цель – достичь наибольшего выхода сахара-песка.

В качестве переменных примем:

x – температура в вакуум – аппарате, ^оС;

y – выход сахара, т/смену.

Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Результаты эксперимента

Составим и решим систему уравнений:

5a+330b+33630c=685

330a+33630b+2759300c=56245

33630a+2759300b+226464354c=3667035

Уравнение регрессии будет иметь следующий вид (рис. 2), модель адекватна:

y=-145-9,07x+0,06x²

Рисунок 2 – Зависимость выхода сахара от температуры в вакуум-аппарате

Таким образом, на основании статистических данных, полученных при анализе деятельности предприятия, были получены зависимости между технологическими режимами работы оборудования и конечным выходом сахара-песка. На основании полученных данных можно сделать вывод, что на ОАО «Атмис-сахар» правильно подобран температурный режим. Выход сахара соответствует нормативным показателям.

;

(1)

где

, ;

- матрицы размерности   соответственно;

.

Преобразуем систему (1) и приведем к виду

,

(2)

где
;

.
Матрица  и столбец  будут иметь блочную структуру

,

где  - единичная матрица.
С учетом высоких требований к вибрации конструктивных элементов от работы электропривода при синтезе целевая функция принимается в виде

,

где  и  - максимальные амплитуды и соответствующие им частоты в разложении в ряд Фурье ошибки системы:

;

 - коэффициенты Фурье.
Синтез производился по приводимому ниже алгоритму.1. По результатам эскизно-технического проекта выбираются структурная схема САУ и конструктивная схема (конструктивные подсистемы и параметры упругодемпфирующих связей между ними).
2. Составляются уравнения движения (математическая модель).
3. По предварительным конструктивным и динамическим проработкам
определяется область изменения параметров c .
4. По результатам линейного синтеза определяется исходная точка в пространстве параметров.
5. Методом Бокса-Уилсона определяются

, 

и точка , в которой , 
где .6. Если требуемая точность САУ не достигается, производится уточнение структурной схемы САУ при прежней конструктивной схеме и далее выполняются п.п. 2-5.
7. Если требуемая точность и тогда не достигается, то производится коррекция конструктивной схемы с использованием вибрационной карты конструкции, и выполняются п.п.2-6.Итерационная процедура продолжается до достижения требуемой точности.
Значения  определяются в результате интегрирования уравнений движения с параллельным разложением в ряд Фурье ошибки САУ в интервале ; промежуток времени , как и весь диапазон рассматриваемых частот, определяется из конструктивных соображений (для изучаемых систем  с, ).
Сначала в пространстве параметров решалась задача

,

(3)

где - реальные части корней  характеристического уравнения. 
Точка в пространстве параметров, полученная в результате решения задачи (3), принималась в качестве исходной. Далее методом Бокса-Уилсона [1] производилась оптимизация параметров линейной системы по критерию

,

где  - отобранные резонансные частоты колебаний системы и соответствующие им амплитуды. Отбор требует большой осторожности при близких парциальных частотах (сложность сопоставления конструктивных подсистем с имеющимися на виброкарте частотами) и в связи с наличием нелинейностей в работе конструктивных элементов [2…6].
Точка, оптимальная в смысле минимума , принималась за исходную точку при нелинейном синтезе. 
Эффективность предложенного подхода неоднократно подтвердилась при синтезе ряда систем управления объектами на подвижном основании.