В процессе проведения данной работы, мы рассмотрели материал, основанный на работах Мартина Кржвинского. Мартин Кржвинский изучая число Пи визуально представил его в красочных моделях. В результате получилось достаточно наглядное представление важного математического понятия. Лекция [6], изученная нами, представлена на английском языке. Мы сделали перевод материала и в данной статье предлагаем лишь основные положения, необходимые для интерпретации одной из фундаментальных математических абстракций – числа π.

Перевод:

Визуализация данных является способом представления информации творческим, интересным, занимательным путем, с помощью которого ученые могут представлять графики с разбросанными черно-белыми скучными кружочками. Но если вы хотите рассказывать об информации и данных публике, вы должны быть находчивыми, вы должны быть интересными, а информация и данные – красочными. И мы подумали, что мы могли бы взглянуть на работы такого ученого, как Мартин Кржвински( Krzywinski). Сегодня мы посмотрим на его многочисленные творческие работы. Мы посмотрим на то, как он находит красоту, можно сказать, артистизм в хаотичности числа Пи.

Рис. 1 – Визуальное представление числа Пи

Это одна из самых простых форм изображения, которую он создал. Всё, что он сделал – взял число Пи и каждой из цифр, его составляющих, присвоил собственный цвет. Итак, он начал с 3, и 3 – это оранжевый, далее 1 – это красный, 4 – это желтый, снова 1 – красный, затем 5 – это зеленый, и, наконец, 9 – это фиолетовый. Эти узоры отражают полную хаотичность числа Пи. Но на этом он не остановился. Он начал закрашивать центр кружков, используя цвет следующего числа. Это выглядит так:

Рис. 2 – Группировка чисел одного цвета

Вы можете увидеть, что он соединил цифры на этой картинке, которые имеют одинаковые цвета, т.е. имеет одинаковое число. Они создают разъединённую сеть. В связи с тем, что последовательность цифр в числе Пи оказывается нарезанной на длинные куски, равные ширине прямоугольника, которым оно представлено, то этот способ напоминает Пифограммы А.А.Зенкина. Другой способ представления числа – это отображения числа Пи в спирали, как здесь.

Рис. 3 – Спиральное представление числа Пи

Он пошёл ещё дальше и получил следующее:

Рис. 4 – Визуальная модель числа Пи

Он соединил цифры между собой. Итак, начнем с трёх. Соединим тройку с единицей, затем соединим единицу с четверкой, затем вернемся к единице, теперь соединим с пятеркой, с девяткой, и всё соединяется подобным образом. И при этом каждое число имеет свой цвет. Т.е. это похоже на путь, который соединяет числа в круге от 0 до 9. И получается путь, который создаёт этот красивейший круг, частицу искусства.

Поговорим о серьезной математике. О таком предмете, как комбинаторика, которая очень наглядна. Изображать математику можно в картинках, диаграммах и других подобных вещах. Пример, который мы имеем, теперь можно рассмотреть с другой стороны. Итак, мы думаем, что Пи довольно хаотично. Мартин сравнил Пи с несколькими случайно полученными (сгенерированными) числами.

Рис. 5 – Сравнение Пи со случайно сгенерированным числами

Т.е., сгенерировав все эти Пи, эти случайно полученные числа, он отобразил их подобным образом, и вы можете наблюдать одинаковые типы оттенков. Пи имеет вид случайно полученного числа.

Другое отображение числа Пи Мартином имеет ту же идею круговых путей, но с использованием маленьких точек на внешней стороне круга, чтобы показать нам, где линия входит внутрь окружности и выходит за ее пределы. Это напоминает меру Лебега или точнее меру Жордана, в которой есть внутренняя и внешняя границы.

Рис. 6 – Модель числа Пи с использованием точек на внешней стороне круга

Т.е. если у нас 3.1, то из тройки идет в единицу, затем за тройкой отображается маленькая точка, говорящая нам, что путь пошел в единицу. За единицей отображается точка, что значит – путь пришел из тройки. Почти все они имеют одинаковые размеры. Но посмотрите на эти две большие фиолетовые точки. Фиолетовый цвет говорит о том, что это цифра 9. Это демонстрирует определенную последовательность числа Пи – последовательность 9 (9999) или точка Фейнмана.

    Анализ работы Крживнского.

Основным недостатком данной работы является тот факт, что автор не сформулировал цель своей работы. Он просто проделал большую работу, используя существующую десятичную систему счисления и записи чисел, в котором используется алфавит из 10 символов, которые он заменил на разные цвета точек. И далее пытался вскрыть закономерности, которые должны присутствовать в результатах такого анализа при помощи получаемых образов. Его работы можно назвать исследованием, проведенным на удачу. Кроме этого, он прошел мимо весьма интересного результата, представленного на рис. 7, который просто подталкивает к проведению аналогии с более развитой математической конструкцией – мерой Жордана (см. рис. 7).

Рис. 7 – Интерпретация меры Жордана

Мера Жордана – один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объема в n-мерном евклидовом пространстве. Можно считать интересным результат, представленный на рис.5, который показывает, что образы, полученные на круговых путях, очень похожи для любых сгенерированных случайных последовательностей. Автор делает вывод о том, что число Пи случайное. Но, пожалуй, более важно здесь то, что это число есть некое разбиение бесконечной последовательности натурального ряда, которое можно использовать в качестве качественной шкалы, связывающей количество с качеством.

Ведь, что такое число π? Это число, получаемое как результат отношения измеряемых характеристик длины окружности и ее диаметра. В силу того, что КСС является визуализацией различных отношений, задаваемых с различной точностью при помощи значений ее параметров, то появляется надежда на то, что ее можно использовать в качестве процесса, обобщающего это число, путем его вычисления и визуализации скрываемых в нем закономерностей, связанных с точностью задания. Мы преследовали цель показать, что КСС способна порождать структуры, аналогичные тем, которые получил автор анализируемой работы.

На основе рассмотренного материала мы попытались интерпретировать визуальное представление числа Пи с помощью КСС.

Для получения в КСС образа, воссоздающего представленную выше визуализацию числа Пи, были проведены следующие опыты:

Изначально мы определили, что подобный образ можно создать с помощью КСС первого уровня сложности организации, так как именно в ней есть возможность исследовать отношения значений параметров, а число π есть ни что иное, как отношение:

Рис.8 –Фрагмент динамично-существующего образа КСС 1-ого уровня сложности организации (стационарное состояние)

Сразу же стало очевидно, что изобразительный примитив «точка», стоящий по умолчанию, не отвечает нашим требованиям к визуализации. Тогда мы предположили, что примитив «локальный луч» сможет реализовать данную задачу с большей вероятностью:

Рис. 9– Фрагмент динамично-существующего образа КСС с примитивом рисования «локальный луч»

На данном образе, созданным КСС, отображается 658 точек, в отличие от образа числа Пи, который имеет лишь 10 точек от 0 до 9: В связи с данной разницей в количестве точек сделаем несколько экспериментов с уменьшением точек-следов образа первого уровня КСС. Для начала мы взяли число Пи, которое равно 3.14159265359 и попробовали сделать шаг приращения равным данному числу. Тем самым мы получили следующий образ КСС первого уровня:

Рис. 10 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС 1-ого уровня с шагом приращения = 3.14159265359

Мы видим, что при f = p изображающие точки образа поменялись местами. Далее мы попробовали уменьшить число ИТ КСС умножив число Пи на 10:

Рис. 11 – Сравнение образа числа Пи и образа КСС

Здесь мы можем увидеть определенное сходство образов, хотя и не полное.

Для достижения полного сходства мы попробовали полученное число (31,141592..) умножить на 2, тем самым ещё сократив число точек:

Рис. 12 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС образа 1-ого уровня с шагом приращения = 62,283

На полученном образе мы видим, что ярко выраженных «пучка» точек осталось четыре, что не соответствует нашей задаче.

В последующих экспериментах, пытаясь различными способами подобраться к воссозданию точной копии образа числа Пи, которое было получено в [6] мы получали огромное количество разных, уникальных и при этом неповторимых образов, в том числе образ, близкий к спиральному представлению числа Пи:

Рис. 13 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС образа 1-ого уровня, приближенный к спиральному представлению числа Пи

После множества удивительных по своей уникальности и красоте экспериментов, мы не смогли подойти к образу числа Пи ближе, чем при f1 и f2 равных 31,141592…:

Рис.14 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС образа 1-ого уровня, приближенный к визуальной модели числа Пи

В данной работе нами были исследованы материалы зарубежных ученых, описывающие число Пи и его образы. Мы рассмотрели сравнение числа Пи с другими важными математическими величинами. С помощью образов КСС мы провели интерпретацию числа Пи. Эксперименты, проведенные в процессе работы, помогли достичь желаемого результата и получить образ, приближенный к визуальной модели числа Пи. Таким образом, КСС, будучи «живой» системой [7], помогло детально визуализировать рассматриваемые модели числа Пи. И наметить план дальнейшей работы по использованию КСС. В частности более подробно рассмотреть подход и представления К. Жордана, который внес огромный вклад в развитие математики, и далее использовать КСС для формализации более важных отношений, в частности экономических, что сегодня является до сих пор непреодолимой проблемой при построении информационных систем управления бизнес-процессами.

Методы оценки эффективности инвестиционных проектов подразделяются на два типа: простые, или статические, методы и динамические методы, основанные на дисконтировании.

Статические методы не учитывают стоимость денег во времени. Их применяют для оценки эффективности небольших краткосрочных реальных инвестиционных проектов.

Динамические методы стандартизированы на международном уровне и применяются широко с использованием компьютерных технологий. Динамические методы более надежные, они основаны на концепции стоимости денег во времени и сегодня являются преобладающими. Динамические методы основаны на дисконтировании будущих денежных потоков по формуле сложного процента с использованием определенной ставки, которая носит название ставка дисконтирования.

Ставкой дисконтирования называют обычно ежегодную ставку, которая отражает уровень доходности, которую хотел бы получить инвестор от использования вложенного капитала, с учетом уровня риска, присущего проекту. Иначе говоря, это норма доходности проводимой операции, которая компенсирует инвестору временный отказ от альтернативного использования средств, а также риски, связанные с неопределенностью конечного результата. Прежде чем рассчитывать эффективность инвестиционного проекта, инвестору необходимо определить ставку дисконтирования, необходимую для проведения расчетов, то есть ту норму доходности, которую инвестор ожидает от проекта. Это наиважнейший фактор, влияющий на результаты расчета эффективности проекта. Поэтому необходимо понимать, что же следует заложить в ставку дисконтирования для того или иного проекта, от чего она зависит.

В зависимости от различных экономических задач ставка дисконтирования рассчитывается по-разному. Существует несколько методов определения ставки дисконтирования, в большинстве методов ставка дисконтирования включает в себя безрисковую ставку и премию за риск проекта. Чем выше риск проекта, тем выше должна быть ставка дисконтирования.

Итак, к динамическим методам экономической оценки инвестиций относят:

- расчет чистого дисконтированного дохода – NPV;

- расчет индекса доходности – PI;

- расчет внутренней нормы доходности – IRR;

- расчет дисконтированного периода окупаемости – DPP.

Это четыре основных показателя, которые рассчитываются для оценки эффективности инвестиционного проекта. Рассмотрим каждый из показателей более подробно, изучим методику их расчета и способы интерпретации.

Первый показатель – это чистый дисконтированный доход, по-другому его называют чистый приведённый доход, общепринятое обозначение – NPV (Net Present Value). Это один из наиболее популярных и распространенных показателей эффективности инвестиционного проекта.

Чистый дисконтированный доход – это сумма всех положительных и отрицательных дисконтированных денежных потоков проекта. Другими словами, это сумма всех дисконтированных чистых денежных потоков, то есть доходов, за вычетом суммы дисконтированных инвестиций.

Для того чтобы определить чистый дисконтированный доход, необходимо выполнить ряд действий:

- Первое действие – определить сумму инвестиционных вложений в проект. Если инвестиции не единоразовые, то следует продисконтировать инвестиции за каждый период и найти сумму дисконтированных инвестиций.

- Второе действие – произвести расчет текущей стоимости денежных поступлений от проекта. Для этого доходы за каждый период приводятся к текущему моменту времени, то есть дисконтируются (находится PV).

- Третье действие – вычесть из текущей стоимости доходов дисконтированные инвестиционные затраты по проекту. Разница между ними и будет величиной чистого дисконтированного дохода.

Формула для расчета данного показателя представлена ниже.

 (1)

где I – инвестиции за i-й период,

P – доход за i-й период,

N – число периодов,

r – ставка дисконтирования.

Для того чтобы проект оказался эффективным, то есть принес как минимум доходность, заложенную в ставке дисконтирования, необходимо, чтобы сумма дисконтированных под эту ставку доходов превысила сумму дисконтированных инвестиций. Поэтому проект будет эффективен, если чистый дисконтированный доход окажется больше нуля. В этом случае проект принесет как минимум ожидаемую доходность, заложенную в ставке дисконтирования. Если чистый дисконтированный доход окажется меньше нуля, то проект необходимо отклонить. Это не означает, что он не принесет никакой доходности. Вполне возможно, проект принесет определенную доходность. Однако она окажется ниже, чем та, которую мы ожидаем и заложили в ставке дисконтирования. И наконец, если чистый дисконтированный доход окажется равным нулю, это будет означать, что реальная доходность проекта, или внутренняя норма доходности, равна той доходности, что мы заложили в ставку дисконтирования. И нам безразлично, принимать проект или нет. Окончательное решение будет зависеть от того, что именно было заложено в ставку дисконтирования.

Расчет чистого дисконтированного дохода инвестиционного проекта – это один из самых простых этапов в оценке проекта. Намного сложнее определить ожидаемые потоки денежных средств от проекта.

Когда мы проводим сравнительную оценку инвестиционных проектов, важно обратить внимание на особенности показателя чистого дисконтированного дохода. Выделим четыре особенности.

1. Чем больший размер инвестиционных затрат в проект и, соответственно, поступлений от проекта, тем большей будет величина NPV при прочих равных условиях, так как показатель чистого дисконтированного дохода является абсолютным.

2. Величина NPV зависит от распределения инвестиционных затрат во времени. Так, если инвестиционные затраты осуществляются только вначале, показатель чистого дисконтированного дохода будет минимальным. Если же инвестиционные затраты распределены во времени, например, предприятие приобрело оборудование в беспроцентную рассрочку, то тогда показатель NPV будет больше. Это связано с тем, что сумма дисконтированных инвестиций будет меньше, а следовательно, показатель чистого дисконтированного дохода – больше.

3. На величину NPV влияет время начала эксплуатационной фазы, когда по проекту начинает поступать приток денежных средств. Так, чем дольше времени проходит от осуществления инвестиционных затрат до начала поступлений по проекту, тем меньшей будет величина чистого дисконтированного дохода при прочих равных условиях. И наоборот. Это связано с тем, что величина инвестиционных затрат за короткий промежуток времени изменится незначительно, так как будет приводиться к сегодняшнему времени под меньшую степень. В то время как величина дохода, поступившего от проекта через несколько лет, будет дисконтироваться уже под большую степень и уменьшится значительно.

4. Значение показателя NPV напрямую зависит от ставки дисконтирования. Очевидно, что чем больше ставка дисконтирования, тем большую доходность от проекта мы ожидаем и тем меньшим будет показатель чистого дисконтированного дохода. Важно при выборе инвестиционного проекта не только сравнивать значения NPV, важен и характер изменения NPV при различных значениях ставки дисконтирования.

Показатель чистого дисконтированного дохода является ключевым в оценке инвестиционной привлекательности проекта в сравнении с его аналогами.

Предположим, мы произвели расчет по двум независимым ординарным инвестиционным проектам, то есть состоящим из исходной инвестиции и последующих притоков денежных средств. Получили следующие значения чистого дисконтированного дохода: у первого проекта NPV оказался равным 1 000 денежных единиц, у второго проекта – 100 денежным единицам.

Как определить, какой из проектов более эффективен? Тот, у кого значение чистого дисконтированного дохода выше? Да, если величина исходных инвестиций была одинаковой для обоих проектов. Сравнительная оценка альтернативных инвестиционных проектов по показателю NPV может дать объективный результат только при их сопоставимых исходных параметрах.

Если представить, что инвестиции в первый проект, NPV которого 1000, составили 1 000 000 денежных единиц, при этом инвестиции во второй проект, NPV которого 100 , составили 500  денежных единиц, тогда становится очевидно, что второй проект в данном случае более рентабелен, так как если рассматривать доход на единицу затрат, то у второго проекта он окажется гораздо выше.

Таким образом, при сравнении эффективности нескольких проектов с различной величиной инвестиционных затрат расчет показателя чистого дисконтированного дохода оказывается недостаточным. Это связано с тем, что NPV является абсолютной величиной.

Для сравнения эффективности проектов с различной величиной инвестиций дополнительно рассчитывают индекс доходности, который является относительной величиной. Рассмотрим данный показатель более подробно.

Итак, индекс доходности, или индекс рентабельности – PI (Profitability Index) – это показатель, который рассчитывается как отношение суммы дисконтированных положительных денежных потоков к сумме дисконтированных инвестиций.

Формула для расчета индекса доходности представлена ниже.

   (2)

PI характеризует величину доходов на каждый вложенный рубль с учетом выбранной ставки дисконтирования. То есть характеризует доход проекта на единицу затрат сверх выбранной ставки дисконтирования.

Очевидно, что для того, чтобы проект оказался эффективным, числитель должен превышать знаменатель, а значит, показатель PI должен быть больше единицы. Тогда проект принесет тот минимум, который заложен в ставке дисконтирования. Если PI окажется меньше единицы, то проект следует отклонить, так как он не принесет ожидаемой нормы доходности. Если данный показатель будет равен единице, то внутренняя норма доходности проекта, то есть его настоящая доходность, равна той ставке, под которую мы дисконтировали денежные потоки.

Следует обратить внимание, что показатели чистого дисконтированного дохода и индекса доходности взаимосвязаны. Так, если NPV больше нуля, то PI в любом случае будет больше единицы, так как и в том и в другом случае сумма дисконтированных доходов будет превышать сумму дисконтированных инвестиций. Если чистый дисконтированный доход меньше нуля, то индекс доходности меньше единицы. Если NPV равен нулю, значит сумма дисконтированных доходов равна сумме дисконтированных инвестиций, а значит и PI будет равен единице. Если данная закономерность не соблюдается, значит нужно искать ошибки в расчетах.

Анализируя показатель «индекс доходности», необходимо иметь в виду, что в его основе лежат те же особенности и исходные предпосылки, что и в основе показателя чистого дисконтированного дохода. А значит, на его величину влияют также такие факторы, как распределение инвестиционных затрат во времени, время начала эксплуатационной фазы, величина ставки дисконтирования.

Однако у индекса рентабельности есть одно преимущество, связанное с тем, что он является величиной относительной. А значит, на его размер не оказывает влияния масштаб инвестиционного проекта. Он показывает именно отношение суммы дисконтированных доходов к сумме дисконтированных инвестиций, то есть характеризует доход на единицу затрат. Это преимущество показателя позволяет использовать PI для сравнения эффективности инвестиционных проектов, объем инвестиционных затрат которых различен. Показатель индекса рентабельности очень важен, и именно он используется для формирования портфеля реальных инвестиций в условиях ограниченности инвестиционных ресурсов, когда инвестиционные проекты делимы.

Далее рассмотрим третий показатель – внутреннюю норму доходности, или внутреннюю ставку доходности – IRR (Internal Rate of Return).

По сути, это та доходность, которую приносит проект. Поэтому IRR – это ставка дисконтирования, при которой сумма приведённых доходов равна сумме приведённых инвестиций. То есть это ставка дисконтирования, при которой чистый дисконтированный доход NPV равен нулю, а индекс доходности PI равен единице.

Прямой математической формулы, которая позволяла бы определить показатель IRR, не существует. Для расчёта IRR формулу для расчета чистого дисконтированного дохода приравнивают к нулю, при этом IRR закладывают в качестве ставки дисконтирования. Внутреннюю норму доходности можно найти, только решив данное уравнение. Несложно предположить, что решение подобного рода уравнения может быть крайне затруднительно. Поэтому для расчета данного показателя используют следующие основные способы:

1. Первый способ – это применение специализированных программ и калькуляторов. Так, для расчета внутренней нормы доходности часто используют программу Microsoft Excel. Следует выбрать «функции» – «финансовые» – «ВСД», затем выделить подряд идущие ячейки, которые характеризуют денежные потоки за последовательные равные интервалы времени, и указать предполагаемую величину IRR. И программа рассчитает внутреннюю норму доходности проекта. Значение функции вычисляется программой путем итераций и может показывать или нулевое значение, или несколько значений. Так, при нестандартных денежных потоках, то есть в неординарных проектах, есть возможность получить не одно, а несколько значений внутренней нормы доходности. По сути, внутренняя норма доходности может для проекта и не найтись. Применение Excel сводит сложность процесса расчета показателя IRR к минимуму.

2. Второй способ – метод последовательных итераций, то есть последовательных расчетных действий (рисунок 1).

Рисунок 1 – Нахождение IRR методом последовательных итераций

По сути, это расчет методом подбора. Первая итерация предполагает установление приблизительной IRR, которая может привести к тому, что сумма дисконтированных под эту ставку доходов сравняется с суммой дисконтированных под эту ставку инвестиций. Если по результатам первой итерации окажется, что NPV больше нуля, значит была выбрана слишком маленькая величина IRR и на самом деле она выше. Значит, последующие итерации предполагают использование более высоких значений ставки дисконтирования, пока не будет достигнуто предусмотренное уравнениями равенство. Если же по результатам первой итерации NPV оказался отрицательным, значит была выбрана слишком высокая ставка дисконтирования и показатель IRR на самом деле меньше. Следовательно, последующие итерации предполагают использование более низких значений данного показателя до тех пор, пока не будет выполняться равенство. Конечным результатом всех итераций является нахождение такой ставки дисконтирования, при которой сумма приведённых инвестиций будет равна сумме приведённых затрат. То есть ставка дисконтирования и будет являться искомой IRR.

3. Третий способ – это метод линейной интерполяции. Суть метода линейной интерполяции заключается в следующем. Выбираются две ставки дисконтирования – r1 и r2 –таким образом, чтобы при ставке дисконтирования r1 NPV был положительным, а при r2 – уже отрицательным. Очевидно, что r1 должен быть меньше, чем r2. Затем значения r1 и r2 подставляются в формулу, представленную ниже.

   (3)

Точность вычислений обратно пропорциональна длине интервала от ставки r1 до ставки r2. А наилучшая аппроксимация с использованием табулированных значений достигается в том случае, когда длина интервала минимальна, равна примерно 1 %. То есть r1 и r2 должны быть ближайшими друг к другу значениями коэффициента дисконтирования, однако должно соблюдаться изначальное условие. А именно: при ставке дисконтирования r1 NPV должен быть положительным, а при r2 – отрицательным.

IRR определяет максимально приемлемую ставку дисконта, при которой можно инвестировать средства без каких-либо потерь для собственника. Для определения целесообразности реализации инвестиционного проекта нужно сопоставить IRR с принятой на данном предприятии минимальной нормой прибыли на инвестиции, то есть выбранной ставкой дисконтирования: если IRR больше ожидаемой нормы доходности, то есть ставки дисконтирования, то проект эффективен; если IRR меньше ожидаемой нормы доходности, то есть ставки дисконтирования, то проект неэффективен. Поэтому если показатель NPV положительный, а PI больше единицы, значит IRR проекта больше, чем ставка дисконтирования. Если показатель NPV отрицательный, а PI меньше единицы, значит IRR проекта либо меньше, чем ставка дисконтирования, либо вовсе отсутствует. Если показатель NPV равен нулю, а PI равен единице, значит IRR проекта равна той ставке, что заложена в качестве ставки дисконтирования.

Показатель IRR позволяет сравнивать эффективность вложения в различные по протяженности инвестиционные проекты, в отличие от показателя NPV. Показатель внутренней нормы доходности применяется для сравнительной оценки не только в рамках рассматриваемых проектов, но также и в более широком аспекте. Например, показатель IRR можно использовать в сравнении с коэффициентом рентабельности операционных активов; коэффициентом рентабельности собственного капитала;  доходностью по альтернативным видам инвестирования. На предприятии иногда устанавливается целевой норматив показателя IRR, то есть его минимальное значение. Поэтому инвестиционные проекты с более низким значением внутренней нормы доходности автоматически отклоняются как неэффективные.

И четвертый показатель, который рассмотрим, – это дисконтированный период окупаемости – DPP (Discounted Pay-Back Period).

Дисконтированный период окупаемости – это период окупаемости, рассчитанный на основе дисконтированных денежных потоков. Показатель DPP может быть использован больше в качестве вспомогательного показателя при оценке эффективности реальных инвестиционных проектов. Также данный показатель может быть использован в качестве одного из вспомогательных критериальных показателей при формировании инвестиционного портфеля предприятия. В данном случае те проекты, которые будут иметь более высокий DPP при равенстве других показателей, будут отвергаться.

Итак, все рассмотренные показатели для оценки эффективности инвестиционных проектов, а именно – NPV, PI, IRR, DPP – находятся в тесной взаимосвязи между собой. Каждый из показателей позволяет раскрыть какую-либо из сторон инвестиционного проекта. Ввиду этого все эти показатели при оценке эффективности реальных инвестиционных проектов необходимо рассматривать совместно, в комплексе. Если предприятию необходимо выбрать из альтернативных реальных инвестиционных проектов, то ему целесообразно провести соответствующие расчеты по каждому из проектов и занести данные в сравнительную таблицу. Пример сравнительной таблицы представлен ниже (таблица 1).

Таблица 1 – Пример сравнительной таблицы показателей эффективности

Для того чтобы объективно оценить данные по этой таблице, необходимо показатели эффективности по каждому проекту представить в сопоставимых единицах измерения. Ранговая значимость показателей оценки эффективности инвестиционных проектов формируется на регрессионной основе, то есть наименьший ранг – единица – присваивается проекту с наилучшим значением рассматриваемого показателя эффективности. После того как таблица будет заполнена, необходимо оценить и выбрать наиболее подходящий инвестиционный проект.

Сравнительная оценка производится следующим образом:

- во-первых, на основе суммарной ранговой значимости всех показателей: тот проект, у которого сумма рангов оказалась наименьшей, считается лучшим;

- во-вторых, на основе отдельных из рассчитанных показателей, но в том случае, если для предприятия именно эти показатели являются приоритетными.