Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой

Галаев Сергей Васильевич — Sat, 25 Jul 2015 11:13:31 +0000

Контактная структура  является аналогом симплектической структуры для многообразия нечетной размерности 2m+1. Ограничение замкнутой дифференциальной 2-формы  на распределении D контактной структуры задает невырожденную форму. В случае почти контактной метрической структуры  на распределении D возникает еще одна невырожденная 2-форма – фундаментальная форма структуры Ω. В общем случае . Формы ω, Ω относятся к классу допустимых тензорных структур к распределению D [1]. Замкнутая допустимая 2-форма в настоящей работе называется допустимой симплектической структурой. Таким образом, допустимые симплектические структуры естественным образом возникают на почти контактных метрических пространствах. Внутренних симплектических связностей, совместимых с данной допустимой симплектической формой бесконечно много.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1,  -  модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса .
Предположим, что на X задана почти контактная метрическая структура  [1]. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формойη,  - его оснащение: . Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры.
Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t – полилинейное отображение t: , где F(X) - кольцо гладких функций на X. Допустимую замкнутую внешнюю дифференциальную 2-форму максимального ранга будем называть допустимой симплектической 2-формой. Таким образом, в контактном случае форма  представляет собой естественный пример допустимой симплектической формы.
Пусть ω - произвольная допустимая внешняя 2-форма максимального ранга. В адаптированных координатах ненулевые компоненты ее внешнего дифференциала имеют следующий вид:

,
.

Последнее замечание дает мотивацию для названия допустимой тензорной структуры, сохраняющей постоянными компоненты в некотором адаптированном базисе, интегрируемой допустимой тензорной структурой.
Пусть ω - допустимая симплектическая структура. Внутреннюю линейную связность будем называть внутренней симплектической связностью, если , . N-продолженную симметричную связность [2-5] будем называть N-продолженной симплектической связностью, если . Последнее равенство сводится к двум равенствам: , , . Таким образом, N-продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N, такого, что выполняется .
Теорема 1. Пусть - произвольная N-продолженная связность без кручения. Рассмотрим тензоры N₁ и N₂, определяемые, соответственно, равенствами

, ,
.

Тогда, связность , определяемая условиями

,
, ,

является N-продолженной симплектической связностью.
Теорема 2. Допустимая дифференциальная 2-форма максимального ранга ω является допустимой симплектической формой тогда и только тогда, когда существует совместимая с ней симметричная связность Бежанку.
Доказательство. Если ω - допустимая симплектическая форма, то достаточно положить в карте Дарбу коэффициенты искомой связности равными нулю. Пусть, теперь, - симметричная связность Бежанку, сохраняющая форму ω. Условие выполняется, так как N=0. Далее, проводя циклическую перестановку индексов в равенстве и складывая, затем, полученные равенства, получаем , что и доказывает теорему.

Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » N-продолженная симплектическая связность

Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой