О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью

Галаев Сергей Васильевич — Fri, 17 Apr 2015 13:12:42 +0000

Э. Картан (см. [1-3]) первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением вместо связности Леви-Чивиты. Наибольшим интересом среди метрических связностей с кручением пользуется полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено К. Яно в работе [4]. Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом [5]. Большое количество работ посвящено как метрическим, так и не метрическим связностям с кручением, заданным на многообразиях с почти контактной метрической структурой. Мы остановимся здесь лишь на работе Бежанку [6]. Бежанку определяет связность на многообразии Сасаки с помощью формулы . В адаптированных координатах [7-9] отличными от нуля компонентами связности являются ). Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем структура Сасаки. Действительно, так как , то метричность связности Бежанку эквивалентна почти K-контактности [10] почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность с помощью равенства , где N – произвольный эндоморфизм. Назовем введенную связность N-связностью. Отличными от нуля компонентами N-связности, самое большее, будут ), =. Кручение N-связности определяется равенством.
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Тензор кривизны N-связности определяется следующими равенствами.

где

Теорема 2. Существует метрическая N-связность, однозначно определяемая следующими условиями:
1. (свойство метричности),
2. - - p[, ]= (отсутствие кручения),
3. N – симметрический оператор такой, что

, (1)

где - сечения распределения D, : - проектор.
Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [7]. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: .
Сравнивая полученный результат с (1), находим явное выражение для эндоморфизма N:
, что и доказывает теорему.
Теорема 3. [10] Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: =; =- ; ==-; =0; =0, где ).
Используя результаты теорем 2,3, получаем равенства, фиксирующие отношения между связностью Леви-Чивиты и N- связностью:

,
=.

Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » metric N-connection

О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью