Рис.1.

Исследуемое сооружение многоцелевого назначения может представлять собой сооружение, висячая мембранная оболочка которого закреплена в опорном контуре прямоугольного очертания в плане (рис.1). Покрытие может быть сборным и состоять из множества ортогонально-перекрёстных мембранных поясов.
В модифицированном виде предлагаемая методика позволяет рассчитать однопролетное мембранно-пневматическое сооружение [1], гибкая оболочка покрытия которого в нагруженном состоянии опирается на арки.
Цель работы - расчет тонких висячих мембран однопролётного покрытия сооружения на статическое действие силовых, температурных и других нагрузок с учётом геометрической нелинейности системы и физической нелинейности работы материала поясов мембран [1, 2, 3, 4]. Усилия, возникающие в мембранах, передаются на стержневой каркас, расчет которого производится во вторую очередь с учетом сил, вычисленных на первом этапе расчёта.

L – пролет мембраны;
f_e - стрела прогиба мембранного пояса e ;
Y_e - ордината мембранного пояса e ;
L_e - приведенная длина мембранного пояса e между его крайними опорами;
L_te - температурная приведенная длина мембранного пояса е ;
E_e - модуль упругости мембранного пояса e ;
_e - нормальное напряжение в мембранном поясе e внутри пролета;
_е - относительная деформация мембранного пояса е ;
F_e - площадь поперечного сечения мембранного пояса e в пределах пролета;
H_e - распор в мембранном поясе e ;
h_e - приращение распора в мембранном поясе e ;
_e - вертикальный прогиб мембранного пояса e ;
P_ej - j-тая сосредоточенная нагрузка, вертикально действующая на пояс e ;
q_e(x) – произвольно распределенная поперечная нагрузка, статически действующая на пояс e ;
q_ej - интенсивность j-той равномерно распределенной нагрузки;
p_е - равномерно распределенная поперечная нагрузка на мембранный пояс е от давления воздуха, заключенного во внутреннем помещении;
T_e - температурное воздействие на мембранный пояс е ;
_te - коэффициент температурного расширения материала мембранного пояса e ;
d – задаваемое число итераций на шаге n ;
n – номер текущего шага нагружения системы;
T_en - приращение температуры T_e мембранного пояса e на шаге n .
Введем прямоугольную систему декартовых координат xOy, совмещая начало координат O с левой опорой мембраны и направляя ось Ox вправо, а ось Оy – вниз.
Выделим на расстоянии x от начала координат двумя вертикальными плоскостями элемент мембранного пояса, имеющий длину dx .
Рассматривая равновесие элемента системы в недеформированном состоянии, получаем выражение для распора в мембране на конечной стадии монтажа системы

 (1)

Рассматривая равновесие элемента системы в деформированном состоянии, с учетом равенства (1) записываем уравнение статического равновесия пояса e по оси Oy:

 (2)

Здесь H_e - распор в мембранном поясе e на конечной стадии монтажа системы, определяется формулой (1).
Учитывая удлинение элемента мембранного пояса e, вызванное действием температуры t_e , получаем

, (3)

где ds – удлинение элемента мембранного пояса, вызываемое действием продольного усилия в элементе;
_te - коэффициент линейного расширения материала пояса e;
t_e - равномерная температура мембранного пояса e.
Для выполнения условия неразрывности деформаций мембранного пояса e между неподвижными анкерными закреплениями возьмем следующий интеграл от левой и правой частей уравнения (3):

Полагая, что вертикальные смещения на опорах в начале и в конце пролета отсутствуют, условие неразрывности деформации мембранного пояса между неподвижными анкерными закреплениями получаем в следующем виде:

 (4)

или окончательно:

 (5)

где _e - относительная деформация мембранного пояса e.
При параболическом очертании пояса e длина L_te определяется следующим выражением:

, (6)

где f_e - стрела прогиба мембранного пояса e.
Объединяя уравнения статического равновесия мембранного пояса e (2) и уравнение его неразрывности деформаций (5) с учетом зависимости получим исходную систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений:

;
 (7)

Граничные условия:   . (8)
Закон физической нелинейности работы мембранного пояса определяется его действительной диаграммой напряжений-деформаций (). В работе [3] приведены диаграммы напряжений-деформаций некоторых сталей, применяемых для мембранных висячих систем, полученные при стандартных испытаниях на растяжение до разрыва.

Рис. 2

При учете упруго-пластических деформаций элементов системы модуль упругости E_еn принимаем в соответствии с действительной диаграммой – пояса е в зависимости от напряжения и относительного удлинения пояса , характеризующих напряженно-деформированное состояние элемента на шаге n. Будем считать, что материал мембраны работает в упруго-пластической зоне.
Аппроксимируя действительную диаграмму – элемента [3] линейными сплайнами (рис. 2), закон физической нелинейности работы элемента принимаем в следующей форме:
1) нагружение элемента (е е)

 (9)

при _{s,L-1 е sL} ;
2) разгрузка и повторное догружение ( _{е е} ) элемента

, (10)

где

 (11)

при _{s,L-1 е sL}.
Здесь _е - нормальное напряжение в элементе аb; _е- относительная деформация элемента аb; _е - нормальное напряжение в элементе аb, при котором началась очередная разгрузка элемента; _е - относительная деформация элемента аb , при которой началась разгрузка элемента;
вычислим приращение относительной деформации элемента аb на шаге n

 (12)

тогда относительная деформация элемента аb в конце шага n будет

 (13)

Поэтапную линеаризацию исходной системы уравнений (17), будем производить методом последовательных приращений параметров. Численный метод приращений параметров, применяемый для решения нелинейных уравнений, получил развитие во второй половине двадцатого века [1, 2, 3, 4].
В данной работе метод последовательных приращений параметров применяется для решения нелинейных уравнений равновесия вышеуказанных мембранно-стержневых систем. При этом варьируются такие нагрузочные параметры х , как распределенные и сосредоточенные нагрузки, температурные воздействия и давление на мембраны изнутри помещения сооружения.
В системе нелинейных уравнений поэтапная линеаризация производится по выбираемым параметрам x. При этом варьируемым параметрам последовательно придаются малые приращения x. Исходное напряженно-деформированное состояние системы, соответствующее некоторым значениям x_о варьируемых параметров x, считается известным. Все последовательные этапы расчета состоят в определении изменения напряженно-деформированного состояния при заданных изменениях варьируемых параметров. Для того чтобы на каждом этапе можно было в рамках требуемой точности пренебречь нелинейными членами, приращения x параметров назначаются достаточно малыми.

Далее рассмотрим применение на шаге варьирования параметра численной процедуры итерационного метода Эйлера Коши [2].

Совокупность расчетных формул численной процедуры итерационного метода Эйлера Коши третьего порядка точности имеет следующий вид:

 (14)

Расчетные формулы (14) записаны для случая одновременного варьирования M параметров x_n .

Достаточно точный расчет составной мембранной системы может быть произведен во втором приближении при 10-20 шагах нагружения или при одном шаге нагружения, но в третьем приближении.
Учитывая, что для пояса е в пролете приведенная длина L_e вычисляется по формуле, известной в теории висячих систем [1, 3 и др.], и опуская громоздкие преобразования, запишем поэтапно линеаризованного уравнения статического равновесия системы:

 (16)

Поэтапно линеаризованное интегрально-дифференциальное уравнение (16) решаем методом Бубнова-Галеркина [1, 2, 4], полагая:

 (17)

Произведя преобразования, получим систему разрешающих уравнений:

 (18)

,
которую запишем в виде:

,  (19)

где

 (20)

при

Правая часть уравнения (19) Q_ni^(q) определяется видом нагрузки q_n(x), прикладываемой к системе на шаге n.
Прогибы и приращения распоров в мембранных поясах e находятся суммированием по шагам: