1. Основные принципы моделирования.

Сформулируем принципы, которые могут быть положены в основу компьютерной модели обучения:
1. Скорость изменения количества знаний равна сумме скорости усвоения и скорости забывания.
2. Обучение организовано так, что ученик хотя бы в течение нескольких минут удерживает в памяти каждый элемент учебного материала (ЭУМ) и может его повторить. При этом учащийся стремится запомнить (пусть не на долго) всю сообщаемую ему информацию Z_0. Уровень требований учителя U равен количеству сообщаемых учителем знаний Z_0.
3. Скорость увеличения знаний пропорциональна: 1) количествe знаний Z ученика в степени b (b из интервала [0; 1]); 2) мотивации M или количеству усилий F, затрачиваемых учеником. Действительно, чем больше ученик знает, тем легче он усваивает новые знания из–за образующихся ассоциативных связей с имеющимися. С другой стороны, чем ниже мотивация M учащегося, тем меньше усилий он затрачивает и тем ниже скорость увеличения знаний. Если прирост знаний много меньше их общего количества Z (обучение в течение одного или нескольких занятий), то можно считать, что Z остается постоянным и b = 0.
5. Усилия ученика F (мотивация М к учебной деятельности) прямо пропорциональна разности между уровнем предъявляемых требований U и уровнем знаний Z: F=M=k(U–Z). В случае, когда U–Z превышает некоторое пороговое значение C, ученик перестает прикладывать усилия: F=M=0.
6. Скорость забывания пропорциональна количеству имеющихся у учащегося знаний: dZ/dt= – gZ, (g>0), где g – коэффициент забывания.
2. Однокомпонентная модель обучения.

В простейшем случае можно считать, что сообщаемая учителем информация (знания) является совокупностью равноправных несвязанных между собой элементов, число которых пропорционально ее количеству Z. Все элементы учебного материала (ЭУМ) одинаково легко запоминаются и с одинаковой скоростью забываются. В этом случае процесс обучения можно описать уравнением:

Когда Z мало, скорость роста уровня знаний невысока из–за отсутствия возможности образования ассоциативных связей. По мере увеличения Z она растет, но при Z стремящемся к U уменьшается за счет снижения усилий F (мотивации M). Если U превышает Z на величину большую критического значения C, то ученик перестает учиться.
Чтобы промоделировать процесс обучения, необходимо перейти от записанного выше диффуравнения к конечно–разностному уравнению [2, c. 55–56]. Используемая компьютерная программа содержит цикл по времени t, в котором вычисляется скорость увеличения знаний, определяется уровень знаний в следующий дискретный момент времени t+1, строится соответствующая точка графика, после чего все повторяется снова. Упрощенная блок–схема алгоритма представлена на рис. 1.

Используя компьютерную модель обучения, можно обосновать известный принцип “от простого к сложному”. Допустим, сначала изучается сложная тема, а затем простая, то есть сначала уровень требований учителя высокий, а затем низкий (U_1 > U_2). Если U_1 очень сильно превосходит уровень знаний Z ученика, то мотивация к обучению пропадает, и уровень знаний не растет (ученик просто не может усвоить материал). Если же U_1 < Z + C, то ученик усваивает сложную тему, прилагая большое количество усилий F. При изучении второй более простой темы скорость роста знаний не высока из–за того, что уровень требований U_2 незначительно превосходит уровень знаний Z ученика, и он не затрачивает много усилий F. В идеале при изучении различных тем ученик должен затрачивать примерно одинаковое количество усилий.

На рис. 2 показано, как ведет себя рассмотренная выше модель обучения, когда уровень U предъявляемых требований (количество изучаемого материала, сложность заданий) скачкообразно увеличивается. Сначала учащимся предлагают сравнительно простые задания; когда они их освоят, дают задания сложнее, затем еще сложнее и т.д. Для того, чтобы уровень знаний рос, необходимо обеспечить не очень большой разрыв между Z и U (рис. 2.1). Слишком резкое увеличение уровня требований (сложности изучаемого материала) приводит к снижению мотивации и уменьшению уровня знания вследствие забывания (рис. 2.2). Если сначала предложить сложные задания (уровень требований U высок), а затем простые, то обучения происходить не будет. Для повышения эффективности обучения необходимо таким образом подбирать уровень требований (сложность предлагаемых учащимся заданий), чтобы: 1) сохранялась высокая мотивация к обучению; 2) ученик при изучении различных тем работал бы с одинаковым напряжением, прилагая примерно равное количество усилий; 3) работа, совершаемая в течение занятия, не превышала бы некоторое пороговое значение.

3. Учет изменения работоспособности ученика.

Будем считать, что скорость увеличения знаний ученика пропорциональная его коэффициенту научения a, работоспособности r, приложенным усилиям F (мотивации M) и уровню знаний Z в степени b. Работоспособность r зависит от степени усталости ученика; она сначала равна r_0, а затем по мере совершения учеником работы P плавно снижается до 0. Получаем следующую математическую модель [2, с. 66 – 68]:

Здесь P_0 –– работа, совершаемая учеником на занятии (решение задач, выполнение заданий), после выполнения которой его работоспособность уменьшается от r_0 = 1 до 0,5. При обучении уровень требований учителя (сообщаемые им знания) больше уровня знаний ученика (U > Z), и учебная работа, совершенная учеником (число выполненных заданий), зависит от приложенных усилий (интенсивности мыслительной деятельности) и длительности обучения. Усилия ученика F пропорциональны его мотивации или разности между уровнем требований U учителя и количеством знаний Z:

Здесь N –– число элементарных промежутков времени, на которое разбит урок. Если уровень предъявляемых требований мал (U < Z), то есть ученик на уроке занят решением простых для него задач, то затрачиваемые им усилия пропорциональны времени: P = k t. Это позволяет учесть появление у ученика усталости и снижение работоспособности даже в случае, когда он выполняет простые задания длительное время. В перерывах между занятиями ученики отдыхают, работоспособность восстанавливается. Максимальная работоспособность ученика в данное время учебного дня снижается по экспоненциальному закону. Получаем уравнения:

Здесь r_0 = r(t_0) –– работоспособность в момент начала отдыха t_0 (то есть в конце урока), где r_max –– максимальная работоспособность ученика в данное время учебного дня. Скорость увеличения знаний при прочих равных условиях тем выше, чем меньше субъективная сложность (трудность понимания) S изучаемого материала. Сложность учебного материала S лежит в интервале от 0 до 1 и в общем случае зависит от уровня изучения других вопросов. Математическая модель выражается уравнениями:

4. Многокомпонентная модель процесса обучения.
Выше предполагалось, что все элементы учебного материала усваиваются одинаково прочно. Но на практике те знания, которые включены в учебную деятельность ученика, запоминаются значительно прочнее, чем знания, которые он не использует. При этом формируются интеллектуальные умения и навыки. Можно предположить, что компьютерная имитация будет более точно соответствовать реальному процессу обучения, если учесть, что: 1) прочность усвоения различных ЭУМ неодинакова, поэтому все ЭУМ следует разделить на несколько категорий; 2) прочные знания забываются существенно медленнее непрочных; 3) непрочные знания при их использовании учащимся постепенно становятся прочными [2, с. 70 – 72]. Предлагаемая многокомпонентная модель обучения выражается системой уравнений:

Коэффициенты усвоения a_i характеризуют быстроту перехода знаний (i – 1)–ой категории в знания i–ой категории. Если прирост знаний ученика существенно меньше их общего количества, то b = 0. При изучении одной темы растет общее количество знаний Z, и постепенно увеличивается количество прочных знаний Z_4.

5. Обобщенная многокомпонентная модель обучения.
Автором предложена обобщенная модель обучения, не имеющая аналогов в известной ему литературе. Пусть работоспособность ученика в начале учебного дня r_0 =1.

Результаты использования двухкомпонентной модели приведены на рис. 5. Прочные знания Z_2 в процессе обучения растут, а после –– практически не забываются. Непрочные знания Z_1 = Z – Z_2 забываются существенно быстрее. Работоспособность ученика во время урока плавно снижается, а во время перерывов –– повышается до величины, которая постепенно уменьшается в течение дня из–за накапливающейся усталости. Эти и другие модели обучения представлены на сайте “Информационные технологии и физическое образование” ( http://mayer.hop.ru ).

Рассмотренные выше имитационные модели учебного процесса позволяют создать обучающую программу (пакет программ), моделирующую обучение школьников, которую можно использовать для тренировки студентов педагогических вузов. Она должна допускать изменение параметров учеников, длительность занятий, распределения учебного материала и стратегии поведения учителя. В процессе ее работы студент (“учитель”) изменяет скорость подачи учебной информации, быстро реагирует на вопросы учеников, проводит контрольные работы, ставит оценки, пытаясь добиться наибольшего уровня знаний за заданное время. После окончания обучения на экран выводятся графики, показывающие изменение знаний “учеников” класса, обучающая программа анализирует работу “учителя” и ставит ему оценку.

Одно из направлений развития современной дидактики заключается в использовании математических и имитационных (компьютерных) моделей для изучения процесса обучения [1–9]. Метод имитационного моделирования позволяет исследователю изучать сложные объекты и процессы в случае, когда проводить реальные эксперименты с ними невозможно или нецелесообразно. Сущность этого метода состоит в построении компьютерной модели реальной системы и проведении серии вычислительных экспериментов с целью понимания поведения системы или оценки различных стратегий управления, обеспечивающие ее функционирование [10, c. 12]. Процесс создания имитационной модели Р.Шеннон называет “интуитивным искусством” или “искусством моделирования”, которое “состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстракции ее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, характеризующие систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты” [10, c. 34].

Известные модели процесса обучения [1–5, 9] обладают существенным недостатком: они не учитывают, что при многократном использовании учащимся ранее изученных элементов учебного материала (ЭУМ) эти знания усваиваются более прочно и забываются медленнее. Но ведь именно этот процесс повышения прочности усвоенных знаний при их использовании учеником в своей деятельности и лежит в основе формирования умений и навыков, которые сохраняются длительное время. Как говорил Б.Ф. Скиннер, “образование – это то, что остается, когда все выученное забыто.” Данное высказывание можно перефразировать так: образование – это прочные знания, полученные своим трудом за счет их многократного использования, остающиеся у человека после того, как он забыл все непрочные знания, которые не были включены в его учебную деятельность.

В настоящей статье рассматриваются два типа моделей, учитывающих повышение прочности знаний при обучении: 1) многокомпонентная непрерывная модель обучения, учитывающая переход непрочных знаний в прочные; 2) непрерывная модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания. В работе представлены компьютерные программы, написанные на языке Visual Basic в среде Excel, и конкретные результаты моделирования.

1. Многокомпонентная непрерывная модель обучения

Обозначим через U уровень требований, предъявляемый учителем. Он равен (или пропорционален) количеству рассматриваемых ЭУМ, которые должен усвоить учащийся. Суммарные знания ученика Z включают в себя непрочные знания первой категории, более прочные знания второй категории и очень прочные знания  третьей категорий: Z=Z_1+Z_2+Z_3 [6, 7]. В процессе обучения (k=1) сообщаемая учителем информация сначала превращается в знания первой категории, а затем в результате ее использования при выполнении учебных заданий – в знания второй и третьей категории (рис. 1.1). При этом прочность усваиваемого материала постепенно возрастает. Скорость перехода непрочных знаний в разряд более прочных знаний характеризуется коэффициентами усвоения.

При отсутствии обучения (k=0) происходит обратный переход: часть прочных знаний третьей категории постепенно становятся менее прочными знаниями второй категории, те в свою очередь частично переходят в разряд непрочных знаний первой категории, которые забываются. Скорости переходов знаний (i–1)–ой категории в знания i–ой категории и наоборот при обучении и забывании характеризуется коэффициентами усвоения и забывания, которые отличаются друг от друга в e = 2,72… раза. Таким образом, в основу предлагаемой модели положены следующие принципы:

1. Сообщаемая учащимся информация (знания) является совокупностью равноправных несвязанных между собой элементов учебного материала (ЭУМ), число которых пропорционально ее количеству.

2. В процессе обучения учащийся оперирует имеющейся у него информацией, выполняя различные учебные задания. При этом сообщаемые учителем знания сначала усваиваются непрочно (становятся знаниями первой категории), затем по мере их повторения и использования – прочнее (превращаются в знания второй категории), а затем становятся прочными (знания третьей категории).

3. Скорость увеличения непрочных знаний ученика в процессе обучения пропорциональна разности между уровнем требований учителя U (который равен количеству сообщаемых им знаний) и суммарными знаниями ученика Z.

4. Во время обучения скорость превращения непрочных знаний в прочные пропорциональна количеству непрочных знаний.

5. При отсутствии обучения происходит забывание: знания становятся менее прочными и постепенно забываются. Скорость уменьшения прочных или непрочных знаний ученика при забывании пропорциональна количеству этих знаний.

6. Коэффициент усвоения ученика тем выше, чем больше количество усвоенных им знаний Z и чем меньше сложность S изучаемого материала.

Предлагаемая трехкомпонентная модель обучения выражается системой уравнений (при обучении k=1; при забывании k=0):

Результат обучения характеризуется суммарным уровнем приобретенных знаний Z и коэффициентом прочности Pr=(Z_2/2+Z_3)/Z. Если все приобретенные во время обучения знания непрочные (Z_1=Z, Z_2=Z_3=0), то коэффициент прочности Pr=0. Надо стремиться к ситуации, когда все приобретенные знания прочные (Z_3=Z, Z_1=Z_2=0), тогда Pr=1. При длительном изучении одной темы уровень знаний Z увеличивается до U, одновременно с этим происходит повышение доли прочных знаний Z_3, растет прочность Pr.

                                                                                                                                                                                    Программа ПР–1.

Для имитационного моделирования одиннадцатилетнего обучения в школе используется программа ПР–1; результаты представлены на рис 2. Предполагается, что в течение учебного года школьник 275 дней учится, а 90 дней отдыхает на летних каникулах. Уровень требований учителя U и сложность учебной информации S с каждым годом увеличиваются (рис. 2). В программе ПР–2 используется коэффициент 0,07, поэтому сложность растет от 0,07 до 0,77. Коэффициенты усвоения и забывания подобраны так, чтобы график суммарных знаний Z(t) (синяя линия) примерно соответствовал бы достаточно успешному ученику, который усваивает 70–90 процентов требуемой информации (рис. 2). Желтая линия соответствует знаниям первой категории, а красная –– сумме знаний первой и второй категорий. По оси абсцисс откладывается время (в днях), прошедшее с момента поступления ученика в школу.

2. Модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания

Другой подход заключается в учете того факта, что при увеличении числа обращений ученика к конкретному ЭУМ (вопросу, задаче) коэффициент забывания этого ЭУМ уменьшается. Допустим, что ученик в процессе обучения вынужден решать однотипных задач по одной и той же теме. Во время урока он в определенные моменты времени складывает числа (или читает отдельные слова, выполняет задания теста). Остальное время на уроке он занимается другой учебной деятельностью, которая нас пока не интересует. В основе предлагаемой модели [8] лежат следующие утверждения:

1. Учебный курс состоит из N независимых одинаковых по объему и сложности элементов учебного материала (ЭУМ), к которым ученик обращается в случайной или заданной последовательности. В каждый момент времени ученик может работать не более чем с одним ЭУМ.

2. Ученик неоднократно обращается к каждому ЭУМ.  При каждом обращении ученика к i–тому ЭУМ его уровень знаний Z(i) i–того ЭУМ возрастает до 1.

3. После окончания работы с i–тым ЭУМ ученик начинает его забывать. Его уровень знаний Z(i) убывает по экспоненциальному закону, скорость которого определяется коэффициентом забывания gamma(i).

4. Каждому ЭУМ соответствует свой коэффициент забывания. При увеличении числа s(i) обращений ученика к i–тому ЭУМ коэффициент забывания gamma_i уменьшается.

5. По мере увеличения числа s(i) обращений ученика к i–тому ЭУМ время работы ученика с i–тым ЭУМ уменьшается, стремясь к некоторому пределу, который равен минимально возможному времени работы с данным ЭУМ.

6. Суммарное количество знаний в каждый момент времени равно сумме знаний учеником каждого ЭУМ: Z=Z(1)+Z(2)+…+Z(N).

При этом используются формулы:

                                                                                                   Программа ПР–2.

Для моделирования используется программа ПР–2; с ее помощью можно построить графики: 1) зависимости суммарных знаний Z от времени t (рис. 3.1); 2) зависимости среднего времени работы по всем ЭУМ от времени t [8]; 3) зависимости среднего коэффициента забывания по всем ЭУМ от времени t; 4) уровня знаний одного или нескольких ЭУМ от времени t (рис. 3.2). Для графиков на рис. 3 число ЭУМ N=15, а время обучения T=350 УЕВ. Видно, что во время обучения суммарное количество знаний возрастает, а после окончания –– убывает из–за забывания. В случае, когда к некоторому ЭУМ ученик обращается несколько раз, происходит уменьшения скорости забывания; после каждого обращения этот ЭУМ забывается все медленнее и медленнее (рис. 3.2).

Теперь промоделируем изучение N=40 ЭУМ в течение 4 занятий продолжительностью T=150 УЕВ. Занятия разделены перерывами длительностью T_n=100 УЕВ. Во время обучения ученик обращается  то к одному, то к другому ЭУМ с равными вероятностями. По мере роста числа s_i обращений к i–ому ЭУМ уменьшается затрачиваемое время tau_i и коэффициент забывания gamma_i. Используется программа ПР–3, результаты имитационного моделирования представлены на рис. 4.1. Видно, что во время обучения номер i изучаемого ЭУМ изменяется случайно от 1 до 40, суммарный уровень знаний ученика (переменная SZ) при этом увеличивается. Во время перерывов происходит забывание, суммарный уровень знаний ученика SZ уменьшается. На рис. 4.2 представлены результаты моделирования для случая, когда ЭУМ изучаются по порядку. Видно, что из–за уменьшения времени работы с каждым ЭУМ на первом занятии ученик не успевает рассмотреть все ЭУМ даже два раза, а в течение четвертого занятия успевает поработать с большей частью ЭУМ четыре раза.

                                                                                                                      Программа ПР–3.

Заключение

В статье рассмотрены два принципиально различных способа моделирования процесса обучения, которые учитывают изменение прочности знаний при обучении и забывании. Первый подход предполагает построение непрерывной модели, основанной на численном решении системы дифференциальных уравнений. Она исходит из того, что: 1) прочность усвоения различных ЭУМ неодинакова; 2) прочные знания забываются существенно медленнее непрочных; 3) непрочные знания при их использовании учащимся постепенно становятся прочными; 4) при отсутствии обучения прочные знания становятся непрочными. Второй подход заключается в построении дискретной модели, которая учитывает, что при увеличении числа обращений ученика к данному элементу учебного материала: 1) время его использования уменьшается, стремясь к некоторому пределу; 2) коэффициент забывания уменьшается, стремясь к нулю. Результаты моделирования хорошо согласуются с основными выводами теории обучения.

Метод имитационного моделирования является одним из современных методов исследования процесса обучения [2, 3]. Он состоит в построении сначала математической, а затем компьютерной модели дидактической системы и проведении с ней серии вычислительных экспериментов при различных условиях с целью установления или обоснования закономерностей обучения [1, 4].

Рассмотрим ученика, который характеризуется набором параметров, и учителя, владеющего несколькими методами обучения. Основная задача дидактики состоит в том, чтобы так выбрать методы и так распределить изучаемый материал в течение времени обучения, чтобы в конце его ученик справился с заданной системой тестов. Пусть изучаемая тема состоит из N логически связанных между собой элементов учебного материала (ЭУМ), которые следуют друг за другом. Сложность S самого простого ЭУМ будем считать равной 1, тогда для более сложных ЭУМ S больше 1. Уровень требований, предъявляемых учителем, будем рассчитывать по формуле: Tr = S_1 + S_2 + … + S_N. Если все N ЭУМ имеют сложность 1, то Tr = N. Сформулируем закон дидактики: скорость увеличения знаний Zn пропорциональна усилиям F(t) ученика, прилагаемым в единицу времени, эффективности методики обучения E, коэффициентам усвоения a и понимания П: dZn/dt=a*П*Е*F(t). Усилия F, прилагаемые учеником, характеризуют интенсивность его мыслительной деятельности и пропорциональны мотивации M; они зависят от разности между уровнем требований Tr учителя и знаниями ученика Zn.

1. Зависимость усилий ученика от уровня требований учителя

Движущей силой учебной деятельности ученика является противоречие между требуемым и имеющимся у него уровнями знаний. Когда разность Tr – Zn невелика, мотивация ученика M и затрачиваемые усилия F примерно пропорциональны Tr – Zn; ученик понимает, что требования учителя разумны и соответствуют его возможностям. Если уровень требований Tr учителя существенно превосходит количество знаний ученика Zn, то ученик осознает, что не сможет в полной мере справиться с предъявляемыми заданиями. При этом мотивация M и прилагаемые усилия F уменьшаются, стремясь к 0. Существует оптимальное значение разности Tr – Zn, при котором F достигает максимума. Задача учителя состоит в нахождении оптимального уровня требований Tr, при котором ученик будет прилагать максимальные усилия F.

Зависимость усилий F ученика от разности D = Tr – Zn можно выразить функцией F(D)=4(1–exp(–r*D))*exp(–r*D), где r =1/180. Ее график представлен на рис. 1. Видно, что по мере увеличения разности Tr – Zn величина F (мотивация M) сначала увеличивается, при Tr –Zn = 125 достигает максимума, а потом уменьшается до 0, так как снижается уверенность в собственных силах.

Процесс усвоения и запоминания сообщаемой информации состоит в установлении ассоциативных связей между новыми и имеющимися у человека знаниями. При этом приобретенные знания становятся более прочными и забываются значительно медленнее, превращаясь в умения и навыки [5]. Важным условием обучения является понимание учеником изучаемого материала. Как установили психологи, человек понимает сообщаемую ему информацию, если он в состоянии соотнести ее с собственной категориальной системой понятий [5, с. 97-100]. В его сознании происходит перекодирование поступающей речевой или текстовой информации, ее “укладывание” в собственную понятийную систему с последующим запоминанием. Если ученик понял материал, то он может изложить его собственными словами.

 2. Математическая и компьютерная модели обучения

Рассмотрим трехкомпонентную модель обучения “знания–умения– навыки” [2, 3]:

где  Tr – уровень требований, предъявляемый учителем, Z, U и N – количества непрочных знаний, умений и навыков (то есть прочных знаний) ученика. Они отличаются прочностью усвоения и имеют коэффициенты забывания gZ, gU, gN, причем gZ > gU > gN. Коэффициенты усвоения aZ, aU, aN характеризуют быстроту усвоения знаний учеником и перехода непрочных знаний в прочные (то есть скорость формирования умений и навыков). Пока происходит обучение k = 1, а когда оно прекращается k = 0. Коэффициент забывания – величина обратная времени, в течение которого количество данного вида знаний уменьшается в e = 2,72… раза. Результат обучения характеризуется суммарным уровнем приобретенных знаний Zn = Z + U + N и коэффициентом прочности Pr = (U/2+N)/Zn. При изучении одной темы у учащегося растет количество непрочных знаний Z, одновременно с этим происходит увеличение количества умений U и навыков N (то есть прочных знаний), повышается прочность Pr. Для имитационного моделирования обучения используется программа 1.

3. Результаты моделирования

 Промоделируем следующую ситуацию. Пусть в промежутке от 0 до 300 УЕВ (усл. ед. времени) ученик должен понять и запомнить последовательность взаимосвязанных рассуждений (например, вывод формулы, решение сложной задачи). В момент t’=300 УЕВ, соответствующий окончанию обучения, осуществляется контроль его знаний Zn. Во время обучения  скорость поступления информации от учителя V = dTr/dt остается постоянной, причем в каждый момент учитель требует знания всего предыдущего материала. При этом уровень требований учителя растет по закону: Tr = V*t. Определим количество усвоенных учеником знаний Zn(t’) и коэффициент эффективности обучения K=Zn(t’)/(V*T) при различных V.

 Результаты моделирования обучения при V=10 и 13 (скорость передачи информации V измеряется в 1/УЕВ) представлены на рис. 2. Видно, что при малых скоростях поступления информации (рис. 2.1) ученик успевает следить за рассуждениями учителя и усваивает практически все элементы учебного материала. При этом К сразу после обучения выше 0,95. После обучения происходит забывание, Zn уменьшается. В случае, когда скорость поступления учебной информации превышает некоторое пороговое значение (рис. 2.2), ученик не успевает понять ход рассуждений учителя и “отрывается” от него. Это приводит к снижению мотивации и уменьшению усилий, прилагаемых учеником, который чувствует, что все равно не сможет понять данную тему. Поэтому количество усвоенных знаний Zn и коэффициент эффективности обучения К в конце обучения оказываются существенно ниже.

Проведем серию вычислительных экспериментов, изменяя V от 1 до 24 при длительности обучения 200 УЕВ. Построим графики зависимостей знаний ученика Zn и эффективности обучения K от скорости передачи информации V (рис. 3). Из них видно, следующее: 1) при V < 11 количество усвоенных знаний Zn увеличивается прямо пропорционально V, эффективность обучения K высокая (около 0,97) и остается постоянной; 2) при V >  12 количество усвоенных знаний Zn и эффективность обучения K резко падают; 3) существует оптимальная скорость подачи информации (около 11,5), при которой количество знаний Zn, усвоенных учеником, достигает максимума. Если изучаемый материал состоит из логически несвязанных вопросов, которые могут быть изучены независимо друг от друга, то рассмотренные выше рассуждения следует провести для каждого вопроса отдельно.

При обучении между учителем (или учебником) и учеником возникает канал связи имеющий определенную пропускную способность. Скорость передачи информации V зависит от уровня требований Tr, то есть от числа N новых ЭУМ, поступающих в единицу времени, и их сложности S_i (i=1, 2, …, N). Чем сложнее утверждение учителя или записанная им формула, тем больше мыслительных действий должен совершить ученик, чтобы ее понять. Если учитель быстро излагает сложный материал, перескакивая через какие-то элементарные рассуждения, представляющие трудность для ученика, то ученик не сможет или не успеет связать сообщаемую ему новую информацию с собственной системой понятий и не поймет до конца всех проводимых рассуждений. Полученные результаты хорошо согласуются со второй теоремой Шеннона о передаче информации по каналу связи с шумом: Если скорость передачи не превышает пропускной способности канала связи с шумом, то всегда найдется способ кодирования, при котором сообщение будет передаваться с требуемой достоверностью (то есть ученик поймет сообщаемую информацию). Можно сформулировать и обратное утверждение: если производительность источника превышает пропускную способность канала связи с шумом, то не существует никакого метода кодирования позволяющего безошибочно передать сообщение. В этом случае ученик не поймет учителя и не сможет усвоить проводимые им рассуждения.

Заключение

В настоящей статье предложена трехкомпонентная модель обучения “знания–умения–навыки”, учитывающая сложную связь между усилиями ученика и разностью между требованиями учителя и уровнем знаний ученика. Установлено, что данная модель позволяет объяснить скачкообразный характер зависимости степени усвоения темы от скорости изложения материала. Это связано с тем, что при слишком большой скорости поступления новой информации ученик не успевает следить за ходом мысли и “отрывается” от учителя. В результате последующая информация усваивается существенно хуже, ученик не понимает изучаемую тему. График зависимости коэффициента усвоения от скорости подачи информации имеет ярко выраженный спад, соответствующий границе между двумя состояниями, когда ученик понял и усвоил изучаемый материал или не смог этого сделать.