Изучение темы “Движение частицы в центрально–симметричном поле” имеет большое значение для понимания курсов физики и астрономии. К обсуждению проблемы движения точки в поле центральной силы сводится задача двух тел; ее изучение также предполагает рассмотрение законов движения планет, обращения спутников вокруг Земли, движения электронов вокруг ядра (теория Бора), опыта Резерфорда по рассеянию альфа–частиц ядрами атомов золота, движения сферического маятника, шарика в осесимметричной потенциальной яме  и т.д.

Один из эффективных способов изучения этого вопроса состоит в применении компьютерных моделей. Используя специальные учебные программы, написанные в Delphi и Visual Basic, можно промоделировать движение частицы в центрально-симметричном поле и установить соответствующие закономерности. Недостаток этой методики состоит в том, что студент не участвует в создании программы и часто работает с ними, не понимая, как вычисляются координаты и скорость частицы. Альтернативный подход заключается в применении небольших учебных программ (10–15 строк), которые студенты способны быстро набрать во время занятия, а затем выполнить серию учебных вычислительных экспериментов. В работах [3, 4] представлены примеры таких программ на языке Pascal.

Настоящая статья посвящена разработке методики проведения лабораторной работы “Изучение движения точки в поле центральной силы” на базе электронных таблиц Excel. Она состоит в теоретическом изучении метода компьютерного моделирования, создании двух или более программ на языке Visual Basic и проведении серии вычислительных экспериментов, подтверждающих законы Кеплера и некоторые другие утверждения. В статье фактически представлена инструкция по выполнению этой работы.

Как известно, школьный и вузовский курсы информатики предполагают освоение табличного процессора MS Excel, который является мощным программным средством, объединяющим в себе электронные таблицы, средства визуального программирования и графический модуль, позволяющий построить различные диаграммы, графики и поверхности. Хотя пакет MS Excel имеет меньше возможностей по сравнению со специализированными пакетами (MathCad, MathLab, Math и т.д.), он позволяет реализовать простейшие алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений, создать компьютерные модели и решить достаточно широкий круг задач по физике [5, 8, 9]. Для этого соответствующие диффуравнения представляются в конечно-разностном виде [3–7] и создается макрос (небольшая программа) на языке Visual Basic [1, 2, 10]. Для написания макроса достаточно выбрать: Вид –> Панели инструментов –> Элементы управления –> Кнопка. Необходимо кнопку Command Button1 перенести на таблицу и дважды кликнуть по ней. В появившееся окно следует записать текст программы, которая будет исполняться после запуска. Макрос, произведя расчеты, создает таблицу результатов вычислений, на основе которых стандартными средствами Excel можно построить график изучаемой зависимости [1, 2, 8–10].

2. Теория используемого метода

Рассмотрим материальную точку, движущуюся в центральном поле с потенциальной энергией U=U(r), которая зависит только от расстояния r до центра O. Если это поле притяжения, то на нее действует сила F=F(r), направленная к O (рис. 1.1). Из законов механики следует:

Программа для расчета движения частицы содержит цикл, в котором пересчитываются проекции действующей силы, ускорения, скорости, координаты в последовательные моменты времени t и строится траектория.

На рис 1.2 представлен результат моделирования движения частицы в поле гравитационных сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов; траекторией является эллипс. Из рис. 2.1 видно, что при малых скоростях точка движется по эллиптической орбите (траектории 1, 2, 3, 4), а при больших – по гиперболе (траектории 5, 6). Критическому случаю соответствует параболическая траектория. На рис. 2.2 представлены результаты расчетов движения частицы в центральном поле, для которого сила не подчиняется закону обратных квадратов. Видно, что траекторией является незамкнутая кривая (розетка). По теореме Бертрана, частица движется по замкнутой траектории в двух случаях: 1) в поле квазиупругой силы (F пропорциональна r); 2) в поле силы притяжения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния r до центра O.

По второму закону Кеплера секториальная скорость планеты остается постоянной. Определить секториальную скорость можно следующим образом. Пусть за время dt планета перемещается из A(x,y) в B(x1,y1) (рис. 3.1). Из геометрических соображений:

Радиус–вектор планеты заметает площадь треугольника OAB.  Из рис. 3.2 представлены графики зависимости от времени расстояния r от планеты до Солнца, модуля линейной скорости v и секториальной скорости. Видно, что секториальная скорость не изменяется, это и подтверждает второй закон Кеплера.

При движении частицы в поле сил отталкивания, подчиняющейся закону обратных квадратов, она движется по гиперболической траектории. На рис. 3.3 представлены результаты расчетов движения альфа–частиц в поле положительно заряженного ядра атома (опыт Резерфорда) при различных значениях прицельного параметра (начальной координаты y0).

 3.     Порядок выполнения работы

1. Изучите теорию движения точки в центрально симметричном поле сил притяжения и отталкивания. Запишите теорему Бертрана и законы Кеплера. По каким траекториям может двигаться точка? В каком случае траектория замкнута?

2. Изучите математическую модель явления и алгоритм, позволяющий рассчитать движение точки в поле центральной силы.

3. По направлению к массивному положительно заряженному ядру движутся альфа–частицы (опыт Резерфорда). Рассчитайте траекторию движения альфа–частиц в Excel. Для этого наберите и запустите программу ПР–1. В начале программы следует задать прицельный параметр y0 = 30. Действуют силы отталкивания, поэтому в программе сила F положительна. Траекториями частиц являются гиперболы (рис. 4). Все физические величины измеряются в условных единицах.

4. В опыте Резерфорда определялись вероятности отклонения альфа-частиц ядрами атомов золота на различные углы. Дополните программу так, чтобы она вычисляла угол отклонения направления движения частицы после взаимодействия. Если активизировать оператор Cells(i / 100, 4) = vy /vx, то после запуска программы в столбце D появится тангенс угла между составляющими вектора скорости (рис. 4). Чтобы получить значение угла в градусах, в ячейку E1 записывают “=ATAN(D1)*180/3,1415”, а затем копируют эту формулу в остальные ячейки столбца E.

5. Проведите серию вычислительных экспериментов при различных прицельных параметрах y0=0, 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 25 и т.д., каждый раз правильно определяя угол отклонения частицы и записывая результат в таблицу Excel. По полученным данным постройте график зависимости угла отклонения от прицельного параметра.

6. Промоделируйте движение планеты вокруг Солнца (рис. 5). Для этого наберите программу ПР–2 и запустите ее. Повторите моделирование при других начальных координатах и скоростях планеты. Убедитесь, что при малых скоростях планета движется по замкнутой эллиптической орбите. При увеличении начальной скорости эллипс становится более вытянутым, превращается в параболу (критический случай), а затем в гиперболу.

7. Изучите метод определения секториальной скорости планеты через площадь треугольника ОАВ (рис. 3.1). Активизируйте закомментированные операторы, которые вычисляют секториальную скорость планеты в различные моменты времени и выводят ее в столбец D. Убедитесь в том, что секториальная скорость планеты остается постоянной (второй закон Кеплера).

8. Предложите способ проверки третьего закона Кеплера, из которого следует, что отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси ее орбиты для любой планеты остается постоянным. Для этого необходимо промоделировать движение планеты при различных ее начальных координатах и скоростях, определить период ее обращения и большую полуось орбиты. Если начальные условия задать так: x0=–20, y0=0, vx=0, vy=6 (все величины в условных единицах), то планета начнет свое движение из точки А(x0,0) , лежащей на оси Ox левее нуля, со скоростью, параллельной оси Oy. Через половину периода t1=T/2 она оказывается в точке B(x1,0). Большая ось AB эллипса имеет длину x1–x0 и совпадает с осью Ox. Поэтому большая полуось орбиты a=(x1-x0)/2. Значение x1 и соответствующий ему момент времени t1 могут быть найдены из таблицы, получающейся в результате работы программы ПР–2. Период обращения планеты T=2*t1.

9. Выполните 5–8 численных экспериментов при различных начальных координатах x и скоростях vy и заполните таблицу. Убедитесь, что во всех случаях коэффициент k, равный отношению квадрата периода к кубу большой полуоси орбиты остается постоянным. Пример таблицы приведен ниже.

9. Несколько (3 – 6) раз промоделируйте движение планеты при одинаковых x0 и различных vy, в каждом случае определяя большую полуось a=(x1-x0)/2 орбиты, перигелийное расстояние q (оно равно | x0 | или x1) и эксцентриситет e=1-q/a. Результаты оформите в виде таблицы.

10. Промоделируйте движение точки в поле центральной силы притяжения, не подчиняющейся закону обратных квадратов (рис. 6).

11. Измените программу так, чтобы она моделировала движение частицы в центральном поле силы

Коэффициенты в формуле следует подобрать так, чтобы при больших r преобладали силы притяжения, а при малых – силы отталкивания. Аналогичное уравнение описывает силу взаимодействия между атомами. Получающиеся траектории (рис. 7) зарисуйте в тетрадь.

12. В выводе охарактеризуйте и объясните полученные результаты.

4. Заключение

В статье представлена методика использования электронных таблиц MS Excel для моделирования движения материальной точки в поле центральных сил притяжения и отталкивания. Предложена инструкция к лабораторной работе, которая может быть проведена в компьютерном классе. Рассмотренные программы позволяют: 1) рассчитать движение планет вокруг звезды; 2) промоделировать движение частицы в гравитационном поле по эллиптической, параболической и гиперболической траектории; 3) подтвердить второй и третий законы Кеплера; 4) промоделировать отклонение альфа-частиц в поле отталкивания ядра атома; 5) промоделировать движение частицы в поле силы, не подчиняющейся закону обратных квадратов. Установлено, что для моделирования перечисленных выше явлений достаточно создать два небольших макроса на языке Visual Basic. Использование предложенной лабораторной работы на занятиях по компьютерному моделированию способствует установлению межпредметных связей между математикой, физикой, информатикой, астрономией и повышению интереса к этим дисциплинам.

В современном образовании, особенно в области информационных технологий, лабораторные работы являются неотъемлемой частью учебного процесса. Они позволяют студентам закрепить теоретические знания на практике, развить навыки решения задач и научиться работать с различными инструментами и средами разработки.

Одной из таких сред является «Фидла Питон» – специализированная платформа, предназначенная для выполнения лабораторных работ по программированию на языке Python.

Несмотря на свою относительную простоту, работа с «Фидла Питон» может вызвать некоторые затруднения у начинающих программистов.

Целью данной статьи является облегчение процесса выполнения лабораторных работ студентами, использующими специальную среду разработки под названием «Фидла Питон».

Эта среда представляет собой единый исполняемый файл (Fiddle Python.exe), в котором собраны все необходимые библиотеки и инструменты для работы с языком программирования Python.

Конкретное задание для лабораторной работы, которое необходимо выполнить, представлено в виде текстового файла, имеющего расширение .pfiddle. Например, такой файл может называться «Лаб1. Ввод-вывод данных вып. СтепанянГЭ.pfiddle».

Первым шагом является загрузка и распаковка архива:

Необходимо скачать архивный файл с именем Фидла Питон.zip из папки, предоставленной преподавателем (обычно эта папка называется “Задания”).

После того, как архив будет успешно загружен на компьютер, нужно его распаковать. Рекомендуется создать для этого отдельную папку в удобном месте, например, в папке “Документы” или прямо на “Рабочем столе”.

Важно убедиться, что после распаковки в новой папке находятся все файлы из архива, в том числе и исполняемый файл с именем Fiddle Python.exe.

Вторым шагом является переименование файла лабораторной работы:

После загрузки и распаковки необходимо переименовать файл, содержащий задание для лабораторной работы.

Следует заменить стандартное имя файла на имя, содержащее вашу фамилию, имя, отчество и, возможно, другие идентификационные данные, указанные преподавателем.

Например, если фамилия Степанян, имя Гузалия, а отчество Эдуардовна, то файл лабораторной работы может быть переименован в “Лаб1. Ввод-вывод данных вып. СтепанянГЭ.pfiddle”.

Очень важно правильно переименовать файл, так как это поможет преподавателю идентифицировать работу при проверке.

Третий шаг – это запуск приложения:

Существует два способа, которыми вы можете запустить приложение Fiddle Python.exe и загрузить в него файл с заданием:

Первый способ (перетаскивание файла):

Найдите на компьютере исполняемый файл Fiddle Python.exe и файл лабораторной работы (.pfiddle), который был переименован.

Затем зажмите левой кнопкой мыши файл лабораторной работы и, не отпуская кнопку, перетащите его на иконку или имя исполняемого файла Fiddle Python.exe.

Когда отпустите кнопку мыши, приложение Fiddle Python.exe должно запуститься, и в него автоматически загрузится файл с заданием.

Второй способ (стандартный диалог открытия файла):

Сначала запускается исполняемый файл Fiddle Python.exe обычным способом (двойным щелчком мыши).

После запуска приложения нужно будет найти опцию “Открыть файл” (или аналогичную) в меню приложения. [2]

Затем, в появившемся диалоговом окне для открытия файла, необходимо найти на компьютере и выбрать файл лабораторной работы (.pfiddle).

После нажатия на кнопку “Открыть”, файл должен загрузиться в приложение Fiddle Python.exe.

Четвертый шаг – это регистрация в системе:

После запуска приложения появится окно, в котором будет предложено зарегистрироваться. В этом окне необходимо внимательно и аккуратно заполнить все поля, указав свою фамилию, имя, отчество, номер группы и другую необходимую информацию.

Обратите внимание на то, что, если в группе есть другие студенты с такими же фамилиями, именами и отчествами, необходимо указать дополнительный идентификатор, например, номер в списке группы, согласованный с преподавателем.

После того, как убедитесь, что все поля заполнены верно, нажмите кнопку “Зарегистрироваться”.

Пятый и самый важный шаг – это выполнение лабораторной работы:

После успешной регистрации появится окно, в котором будет представлен текст задания. Внимательно прочитайте задание и убедитесь, что вы его полностью понимаете.

Обратите особое внимание на то, какие входные данные нужно использовать, и какие выходные данные должны получить.

После написания кода, нужно его скомпилировать и запустить, чтобы проверить, правильно ли он работает. [2]

Для этого необходимо нажать кнопку с изображением зеленого треугольника, которая обычно называется “Компилировать” или “Запустить”.

Шестой шаг – это сдача программы:

Если программа успешно скомпилировалась и выдает правильные результаты, можно сдавать работу.

Для этого нужно нажать кнопку с изображением синего треугольника, которая обычно называется “Сдать программу”.

После этого программа будет отправлена на проверку преподавателю.

Седьмой шаг – это завершение работы:

Повторение шагов 5 и 6 для всех заданий в лабораторной работе. После успешного выполнения и сдачи всех заданий (100% выполнения), необходимо сообщить об этом преподавателю.

В зависимости от инструкций преподавателя, может понадобиться показать ему результаты работы лично или отправить файл лабораторной работы по электронной почте.

Выполнение лабораторных работ в среде «Фидла Питон» – это важный этап в освоении навыков программирования на языке Python.

Следуя всем инструкциям, вы сможете успешно пройти все этапы, от загрузки и установки приложения до сдачи готовой работы.

Нужно помнить о важности внимательного чтения заданий, правильного написания кода и тестирования программы.