В данной статье продолжено (см. [2], [3], [4]) изучение свойств подпрямых сумм бесконечных циклических абелевых групп.

Всюду в статье (если не сказано иначе) все группы – абелевы, А и В – бесконечные циклические группы: и , п – целое положительное число, причем п > 1.

Определение. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп А_i, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где  – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель А_i [5].

Как установлено [Там же], для того чтобы группа G являлась подпрямой суммой групп А и В, необходимо и достаточно, чтобы существовали группа F и такие эпиморфизмы и , что для любых элементов и ,

Назовем F индуцирующейч группой для подпрямой суммы G групп А и В, а эпиморфизмы и назовем определяющими для группы G.

Обозначим: ; ; ; где Н есть либо группа А, либо группа В.

Другие необходимые определения, обозначения и термины приведены в работах [1] – [10].

Определение. Если для некоторого данного числа п, большего 1, группа G является подпрямой суммой данных групп А и В, порожденной конечной циклической группой Z_п – аддитивной группой кольца вычетов по модулю п, – то группу G будем называть элементарной специальной п-группой (esп-группой).

ТЕОРЕМА I. Между множеством esп-групп и множеством автоморфизмов группы Z_п – аддитивной группы кольца вычетов по модулю n – существует взаимно однозначное соответствие. [4]

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть G – esn-группа, и пусть и , где и . Тогда .

Доказательство. По определению подпрямой суммы имеем: . Из условия получаем:

.

Аналогично выводим. Откуда, следует, что , то есть .

Обратное утверждение доказывается обращением приведенных рассуждений.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть G – esп-группа, и пусть для некоторого целого числа . Тогда для любого целого числа т.

Доказательство непосредственно следует из предложения 1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть G – esn-группа, и пусть и , где и . Тогда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , то есть , следовательно, по определению esп-группы, . По условию имеем: и . Откуда получаем: и, следовательно, , то есть .

Обратное утверждение доказывается обращением изложенных выводов.

Введем следующие обозначения:

ТЕОРЕМА II.

1. Группа G является esn-группой тогда и только тогда, когда для некоторого автоморфизма g группы Z_n:

Такой автоморфизм g группы Z_n мы будем далее называть склеиванием esn-группы G.
2. Для любого автоморфизма g группы Z_n, группа

является esn-группой.
Доказательство непосредственно следует из теоремы I.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть G и G’– esn-группы со склеиваниями g и g’, соответственно. Тогда существует автоморфизм f группы Z_п такой, что g’ = fg.
Наоборот, если g – склеивание esn-группы G, то для любого автоморфизма f группы Z_п автоморфизм g’ = fg будет, очевидно, склеиванием для некоторой esn-группы G‘.
Доказательство. Пусть g(1) = m, g’(1) = k. И пусть f – автоморфизм группы Z_n такой, что f(k) = m. Тогда, очевидно, имеет место равенство g’ = fg.

Обратно. Пусть g – склеивание esn-группы G, f – автоморфизм группы Z_n. Если  и  – определяющие эпиморфизмы группы G, то в качестве определяющих эпиморфизмов искомой группы G’ выберем отображения и .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть G и G’ – esn-группы. Тогда . Причем равенгство выполняется тогда и только тогда, когда число п является простым.
Доказательство. По определению попрямой суммы групп и esn-группы, прямая сумма является подгруппой каждой esn-группы G. С другой стороны, по теореме I, если , где , , и п – простое число, то существует единственная esn-группа G, такая что , из чего и следует требуемое условие.
СЛЕДСТВИЕ. Для любого натурального числа п > 1, существуют единственная esn-группа G, такая что бесконечная циклическая группа есть собственная подгруппа группы G, и единственная esn-группа G‘, такая что бесконечная циклическая группа есть собственная подгруппа группы G‘.
Доказательство непосредственно следует из предложения 4.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть G – esn-группа, причем для некоторого целого числа т,

Тогда числа п и т являются взаимно простыми.
Наоборот, для любого числа т взаимно простого с числом n, существует единственная esn-группа G такая, что
Доказательство. Предположим, что , и наибольший общий делитель чисел п и m равен k > 1. Тогда, по определению НОД, существуют целые числа r и s такие, что
m = kr, n = ks, (1)
причем, очевидно, что s < п, и , но  Следовательно, , то есть число n делит число s, что противоречит равенству (1). Значит, предположение о том, что наибольший общий делитель чисел п и m больше 1 неверно, то есть числа п и m взаимно просты. Обратное утверждение непосредственно следует из теоремы I. Предложение доказано.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Пусть G – esn-группа, и пусть t – целое число, взаимно простое с числом п. Если , где ,
, то 
Доказательство. Из определения подпрямой суммы групп А и В следует, что для любого элемента найдется такой элемент , что . Но тогда, легко видеть, Следовательно,  Но тогда . А так как, числа t и п взаимно просты, то отсюда следует, что , то есть Тогда, по предложению 2, получаем, что также Что и требовалось доказать.
Далее, через G^(т) обозначим esn-группу, для которой склеивание g задается условием: g(1) = т.
ТЕОРЕМА III. Пусть каждое из чисел т, r и s взаимно просто с числом п. Тогда имеет место следующее утверждение:

Доказательство. Пусть , следовательно, . Тогда, так как, по определению склеивания, , то, очевидно, также . Следовательно, по предложению 1, в группе В:, или, что равносильно, в кольце Z:.
Поскольку, все данные выше рассуждения легко обратимы, то отсюда получаем обратное утверждение.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть каждое из чисел т и r взаимно просто с п. Тогда имеет место следующее утверждение

Доказательство непосредственно следует из теоремы.
ТЕОРЕМА IV. Пусть G – esn-группа, и пусть для некоторых элементов , и , каждый из классов , и каждый из классов , взаимно прост с классами и , соответственно. Если и , то существует целое число r, взаимно простое с п такое, что , . Причем число r единственно с точностью до сравнения по модулю n.
Доказательство. Пусть , , где s₁, s – целые числа, каждое из которых взаимно просто с числом п. Как известно, для некоторого целого числа r, взаимно простого с числом п, имеет место сравнение из которого, очевидно, вытекает сравнение , или равносильное сравнение . Поскольку, , то и, очевидно, . Следовательно, по предложению 2, в группе В имеет место сравнение .
Откуда получаем равенства: , . Теорема доказана.