Для современных расчетов с использованием различных вычислительных средств требуются не графики и номограммы, а формулы и числовые данные, которые, как было сказано ранее, зачастую не приводятся в технической литературе. Таким образом, проводить расчёты, основывающиеся на представленных номограммами зависимостях, возможно только с использованием человека: он должен вручную получать необходимые для дальнейших вычислений значения.

Нельзя не отметить тот факт, что преобразование номограмм к функциональной форме обеспечит использование полученных ранее данных в последующих расчетах с использованием различных вычислительных средств.

Можно заключить, что существует необходимость в разработке метода обработки числовых данных, полученных в результате предварительной «оцифровки» имеющегося изображения с графической зависимостью. В итоге, такой подход сведет к минимуму участие человека в работе с последующими расчетами: от него требуется лишь извлечь наборы точек из графического изображения интересующей его зависимости. В результате, разработанный метод позволит построить хороший фундамент для решения прикладных задач, опирающихся на рассматриваемую зависимость. Причем, применение методов интерполяции позволит рассчитывать значения исследуемой функции во всей области её определения.

В общем случае при решении задачи интерполяции для функции y = f (x) требуется найти приближение y=ϕ(x) на отрезке интерполяции [a,b] таким образом, чтобы приближающая функция в узловых точках (x_i,y_i)  (a = x₀ < x₁ <  … < x_n = b ) удовлетворяла равенству:

f(x) = ϕ(x) в точках x = x_i,

a в остальных точках отрезка [a,b] значения функций f(x) и ϕ(x) были близкими между собой.

Интерполяцию можно разделить на:

• глобальную – строится непрерывная во всех точках x_i функция;
• кусочная (или локальная) – кусочно-непрерывная функция строится для всех точек x_i, при этом несколько соседних узлов интерполируются непрерывной функцией.

Наиболее широкое практическое применение на практике нашли кубические сплайны.

Одним их главных преимуществ кубических сплайнов является то, что они лишены недостатка, когда полученная интерполирующая функция имеет точки, где производная не является непрерывной, т.е. график функции содержит точки “излома”.

Основываясь на вышеизложенном, можно заключить, что кубический сплайн лишен недостатков методов глобальной интерполяции. Для каждого интервала между узлами задается многочлен степени не выше 3, при этом накладываются условия, требующие, что бы первая и вторая производная функции были непрерывны, что с одной стороны, упрощает вычисления, а с другой — позволяет избежать резких скачков кривизны.

Таким образом, опираясь на то, что входными данными задачи по сути является набор результирующих точек некоторого эксперимента или испытаний, а значит, в общем случае гипотетическая результирующая кривая является гладкой, то логично, в качестве основного метода интерполяции выбрать кусочную интерполяцию сплайнами 3-го порядка.

Помимо указанных преимуществ, у кубических сплайнов есть один существенный недостаток: в районе точки, далеко отстоящей от соседей, такие сплайны могут делать неожиданные выбросы (Рисунок 1).

Рисунок 1. Выбросы при интерполяции кубическими сплайнами.

 В 1970 году Хироши Акима предложил модификацию привычного кубического сплайна с целью избавления от нежелательных выбросов.

Как следует из статьи [3], сплайн Акимы – это особый вид сплайна, устойчивый к выбросам. Недостатком кубических сплайнов является то, что они склонны осциллировать в окрестностях точки, существенно отличающейся от своих соседей. На графике (рисунок 2) приведен набор точек, содержащий несколько выбросов. Пунктирной линией обозначен кубический сплайн с естественными граничными условиями. На отрезках интерполяции, граничащих с выбросом, сплайн заметно отклоняется от интерполируемой функции – сказывается влияние выброса. Сплошной линией обозначен сплайн Акимы. Можно видеть, что, в отличие от кубического сплайна, сплайн Акимы в меньшей мере подвержен влиянию выбросов – на отрезках, граничащих с выбросом, практически отсутствуют признаки осцилляции[2].

Рисунок 2. Сравнение интерполяционных методов.

Важным свойством сплайна Акимы является его локальность – значения функции на отрезке [x_i, x_i+1] зависят только от значений f_i-2, f_i-1, f_i, f_i+1, f_i+2. Вторым свойством, которое следует принимать во внимание, является нелинейность интерполяции сплайнами Акимы – результат интерполяции суммы двух функций не равен сумме интерполяционных схем, построенных на основе отдельных функций. Для построения сплайна Акимы требуется не менее 5 точек (две слева и две справа от i ^ой). Во внутренней области (т.е. между x₂ и x_N-3при нумерации точек от 0 до N-1) погрешность интерполяции имеет порядок O(h²), где h = max(x_i – x_i+1), i = 2, …, N-3.

С целью сравнения наиболее распространенных методов локальной интерполяции на одном и том же наборе данных проведено исследование величины среднеквадратичного отклонения (СКО) полученных в результате интерполяции данных с реальными и времени, которое затрачивается на расчет. Для этого был взят набор данных, состоящий из 29 пар точек (x,y), на основе которого сформированы следующие тестовые наборы данных: взята каждая вторая точка, каждая четвертая и каждая седьмая точки. Для каждого полученного набора данных  построены интерполяционные многочлены для следующих методов: линейной интерполяции, интерполяции кубическими сплайнами и интерполяции методом Акимы. Была произведена интерполяция значений во всех 29 узловых точках и рассчитано среднеквадратичное отклонение полученных значений от эталонных. Так же, в ходе эксперимента замерялось процессорное время, затраченное на построение и вычисление значения функции в необходимых точках. С целью выявления среднего времени, необходимого для произведения вычислений, операция по расчету значений функции в интересующих точках была повторена 1000 раз для каждого рассматриваемого случая. Затем, на основе полученных данных, вычислено среднее время расчета. Результаты эксперимента приведены в таблице №1.

Таблица №1.Результаты сравнения методов локальной интерполяции.

Как можно видеть из приведенной таблицы (Таблица №1), среднеквадратичное отклонение полученных в результате интерполяции значений от эталонных, в случае использования каждой второй и каждой седьмой точек, является минимальным среди всех при интерполяции методом Акимы. В случае, когда отбрасывается каждая четвертая точка, минимальное среднеквадратичное отклонение получается при интерполяции кубическими сплайнами. Касаемо времени, затраченного на вычисление интересующих нас значений, безоговорочным лидером является интерполяция кубическими сплайнами.

Выбирая метод интерполяции из рассмотренных, в первую очередь стоит опираться на характер и природу исходных данных задачи. В силу направленности и специфики решаемой задачи видится разумным выбрать метод, предложенный Хироши Акимой, так как исходные данные являются отражением поведения реального объекта в результате проведения некоторого эксперимента. Значит, нельзя исключать случай, когда среди относительно устойчивых данных могут появиться точки, далеко отстающие от своих соседей, что в результате приведет к появлению выбросов в результирующей интерполирующей функции в тех местах, где их быть не должно. Так же стоит отметить, что на достаточно разряженной интерполяционной сетке значения, получаемые при использовании интерполяции кубическими сплайнами, имеют большее расхождение с истинными значениями в рассматриваемой точке.

Таким образом, основываясь на приведенных рассуждениях, в качестве основного метода интерполяции предлагается принять метод Акимы, реализующий кусочную интерполяцию кубическими сплайнами с специально рассчитанными коэффициентами многочлена.

Блок-схема предложенного метода (алгоритм №1) интерполяции может быть представлена на рисунке 3:

Рисунок 3. Блок-схема интерполяционного метода Акимы

Рассмотрим общий случай. Пусть имеется «оцифрованный» график, описывающий зависимость одной переменной от другой в зависимости от M параметров. Количество «оцифрованных» точек для каждого параметра равно N.

На примере приведен график зависимости давления воды от скорости потока (рисунок 4). Здесь один параметр – температура потока. Разумеется, что при решении задачи, в основе которой лежит использование данных полученных, в результате работы с этим графиком могут потребоваться не только значения, отвечающие дискретным температурам 10 градусов, 20 градусов, … , 30 градусов, но и промежуточные значения из диапазона [10,30] градусов.

Рисунок 4. График зависимости давления воды от скорости потока

Таким образом, возвращаясь к постановке задачи, необходимо рассчитать значение функции в точке, не лежащей ни на одной из кривых, при заданных параметрах функции.

Для построения промежуточных значений параметра из исходного диапазона имеющихся, предлагается на основе полученных коэффициентов известных кривых интерполировать коэффициенты кривых, отвечающих за промежуточные значения параметра.

Алгоритм интерполяции искомого значения (алгоритм №2) можно представить следующей блок-схемой (рисунок 5):

Рисунок 5. Блок-схема интерполяции промежуточных значений номограммы.

Сформулируем итоговый алгоритм интерполяции значения функции нескольких переменных, зависящих от параметра, с учетом рассмотренных методов и предложений:

1. На каждом участке [x_i, x_i+1], (i = 0, … , N-1), где N – число точек, в которых произведена «оцифровка», рассчитать коэффициенты сплайна по методу Акимы с использованием алгоритма №1.
2. Если искомая точка в каждой функции, входящей в номограмму, лежит на кривой, отвечающей известному параметру – рассчитать её значение, используя полученные на шаге 1 коэффициенты, отвечающие заданным параметрам, по формуле:

S(x) = a + b(x – x_i) + c(x – x_i) ² + d(x – x_i) ³, где

x_i  - значение аргумента функции, отвечающего левой границе участка, содержащего заданную точку,

a,b,c,d – коэффициенты, полученные в п.1.

       3. В случае, если искомая точка не лежит на известной кривой – воспользоваться приведенным алгоритмом и вычислить искомое значение функции в промежуточном состоянии с использованием алгоритма №2.

Таким образом, получен алгоритм, позволяющий на основе исходных данных рассчитать значение функции нескольких переменных, заданной в табличной форме, в указанной точке, принадлежащей её области определения.

В этой связи актуальной становится задача выбора упорядоченного набора M точек визуализации из первоначального упорядоченного набора N точек визуализации.

Критерий выбора упорядоченных точек визуализации

В качестве критерия выбора точек рационально выбрать условие минимизации площади находящейся между линией, построенной по M упорядоченным точкам (линия Lm ), и линии, построенной по N, упорядоченным точкам (линия Ln). Такой критерий эквивалентен интегралу квадрата отклонения точек линии Lm от соответствующих точек линии Ln.

Пример формирования линии. Для примера: N=11, M=6.

Так как узловые точки совпадают, то общая площадь между линиями может быть представлена в виде суммы площадей, заключенных между узловыми точками. При этом критерий оптимизации выбора точек из множества  записывается в виде суммы.

Так как общее число точек множества  равно, то нетрудно заключить, что если первые  M-1 точек последовательностей совпадают, то интервал между последними точками будет содержать N-M  точек множества  и наоборот. Кроме того, общее число точек – N.

Решение задачи минимизации критерия методом дискретного динамического программирования

Представление критерия в виде суммы дает основание использовать принцип метода дискретного динамического программирования [2]. Решение данной оптимизационной задачи удобно представить в виде ограниченного графа на сетке решений. Для примера: красной пунктирной линией отмечены «условно» оптимальные пути, красной линией отмечен оптимальный путь. (рис. 2) [3,4].

Пример графа решения задачи методом дискретного динамического программирования

По горизонтальной оси откладываются уровни решения задачи, причем число уровней соответствует числу точек множества . По вертикальной оси – точки множества , в которые можно попасть на i-том уровне. Очевидно, в силу ограничений каждый уровень (кроме первого и последнего) содержит N-M+1 точек.

При формировании третьего уровня, в каждую точку  уровня 3 возможно попасть многими путями из точек 2-го уровня (рис. 2). При этом каждому пути  будет соответствовать свое значение суммы площадей. Очевидно, чем больше номер уровня, тем больше путей могут привести в эту точку, и тем больше различных значений площадей будет соответствовать этой точке. Выберем путь в точку , который соответствует минимальной площади. С этой целью для каждой точки ищется такой путь, который обеспечивает минимум критерия. На рисунке 2 в качестве примера оптимальные пути для точек уровня 3 выделены красным цветом. Описанная выше процедура формирования точек уровня 3 повторяется для следующих уровней. Последний уровень M имеет только одну точку , попасть в которую можно из точек предыдущего уровня. Причем, каждому пути будет соответствовать свое значение площади. Теперь возможно найти единственный путь, обеспечивающий минимум критерия и пройти его по оптимальным точкам в обратном направлении.

Перечисленная последовательность и будет оптимальным набором точек множества, обеспечивающих минимум критерия. Зная номера точек множества нетрудно найти оптимальное число точек между узлами , которые в дальнейшем не будут участвовать в процессе описания дорожной сети. Для оценки эффективности предложенного алгоритма проводится оптимизация набора точек визуализации. Особенностью приведенного выше метода является максимальное сохранение степени кривизны исходного линейного объекта при заданных коэффициентах фильтрации.

Пример использования  принципов оптимальной фильтрации точек дорожной сети

Работоспособность предложенного алгоритма была исследована на базе упорядоченной последовательности точек, представленных в OSM [7] в формате WGS84 в виде широты/долготы (WGS84— трёхмерная система координат для позиционирования на Земле, в которой за основу взят эллипсоид с большим радиусом — 6 378 137 м (экваториальный) и меньшим — 6 356 752,3142 м (полярный)). Так как в качестве критерия выбора точек было поставлено условие минимизации площади между линией, построенной по M упорядоченным точкам, и линии, построенной по N упорядоченным точкам (N>M), то возникла необходимость подсчета площадей произвольных многоугольников, лежащих на эллипсоиде и задаваемых точками, геоцентрические координаты которых известны.Для решения этой задачи координаты точек пути переводятся в координаты Меркатора[6].

Как уже отмечалось выше, в качестве критерия выбора точек было поставлено условие минимизации площади между линией, построенной по M упорядоченным точкам визуализации, и линии, построенной по N упорядоченным точкам визуализации (N>M). Таким образом, задача нахождения критерия сводится к задаче нахождения площади произвольного многоугольника, заданного координатами вершин. Для подсчета площади берется произвольная точка О (например, начало координат) и вычисляется площадь многоугольника (рис.3) при обходе вершин в последовательности 1,2,…,N [4].

подсчет площади многоугольника (не самопересекающийся многоугольник)

Для случая самопересекающегося многоугольника для каждой пары отрезков решается задача о пересечении двух прямых. Если точка пересечения существует, то определяется, принадлежит ли она отрезкам, образующим многоугольник. Далее самопересекающийся многоугольник делится в точке пересечения на не самопересекающиеся многоугольники, площадь которых находится изложенным выше методом.

Построенная по полученному оптимальному набору точек кривая представлена на рисунке 4. Ошибка фильтрации точек относительно первоначальной кривой при уровне фильтрации 2  составляет S_ф=1,1у.е

Желаемый набор из M=7 точек визуализации

Для оценки работоспособности разработанного математического и программного обеспечения был проведен тестовый расчет при N=54 при коэффициентах фильтрации 2, 3 и 5. Результаты тестового расчета показали, что кривизна исходного объекта сохраняется даже при уменьшении числа точек с 54 до 10.

Заключение

Как уже отмечалось, приведенный алгоритм может быть применен в информационных системах различного назначения для фильтрации большого объема данных при обработке линейных объектов, в частности, маршрутов (треков), полученных с помощью автоматизированных средств записи перемещения объектов (GPS/ГЛОНАСС-приёмники), для уменьшения времени изображений различных линейных объектов в ГИС.

Кроме того, многие специализированные навигационные устройства позволяют загружать в память пути (треки) с ограниченным количеством точек (например, максимальное количество точек пути, которые можно загрузить в популярные устройства серии FORERUNNER производства компании GARMIN составляет 500 точек) Приведенный метод позволяет осуществлять предварительную обработку данных для загрузки в такие устройства.