(1)

; (2)

 (3)

 (4)

 (5)

При записи системы дифференциальных уравнений (1)-(5) использованы следующие обозначения: , безразмерные температура, магнитная индукция, функция тока и напряженность вихря;  характерные масштабы;  безразмерный внутренний источник теплоты;  размерный внутренний источник теплоты;  размерный тепловой поток тепла, отводящийся от внешней поверхности слоя;  безразмерный текущий радиус;  размерный текущий радиус;  размерные радиусы внутренней и внешней сферы;  полярный угол; коэффициент магнитной вязкости;  электрическая проводимость жидкости;  безразмерная толщина сферического слоя; , , , , безразмерные числа Грасгофа, Рейнольдса, Пекле, магнитное число Рейнольдса, параметр магнитного взаимодействия. Остальные обозначения общепринятые. Постоянная величина J, входящая в уравнение энергии (3), определяет величину джоулевой диссипации. 
В работе при проведении вычислительного эксперимента для температуры задавались следующие граничные условия: на внутренней поверхности слоя  () граничное условие первого рода (постоянное значение температуры), а на внешней поверхности () граничное условие второго рода (отвод тепла) [2]: . Для заданных граничных условий постоянная величина вычислялась по формуле: .
Граничное условие для температуры на оси симметрии: .
Граничные условия для функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции имели следующий вид:

; ;
.

Граничные условия для вихря на границах сферического слоя предполагают линейное изменение его по нормали [5].
Локальные числа Нуссельта на границе внутренней и наружной сферы рассчитывались по формулам:

Осредненные числа Нуссельта вычислялись из соотношений:

 

Численное решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. Для аппроксимации рассчитываемых функций использовались билинейные девятиточечные конечные элементы. Система полученных нелинейных алгебраических уравнений решалась методом итераций с использованием нижней релаксации. В качестве начальных приближений задавались нулевые значения напряженности вихря, температуры, функции тока, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции. Решение считалось достигшим нужной точности, если на текущей итерации для всех расчетных полей модуль разности между новым и старым значением поля в каждом узле становился меньше заданной погрешности. При расчете на каждой «внешней» итерации новых значений температуры, вихря и магнитной индукции, для расчета функции тока из разностного аналога уравнения Пуассона (2) осуществлялся «внутренний» итерационный цикл до достижения заданной степени точности. 
В результате численного решения задачи были получены поля температуры, функции тока, напряженности вихря, магнитной индукции и распределения чисел Нуссельта в сферическом слое.
На рисунках 16 приведены результаты расчетов полей температуры, функции тока, напряженности вихря, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции и распределения чисел Нуссельта. Расчеты проводились для следующих значений безразмерных критериев подобия:

На рисунке 1 приведены результаты расчетов поля температуры. 

а б в г д е ж
Рисунок 1 – Поле температуры: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Для всех режимов теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, а (13,840; 1). Такая же качественная и количественная ситуация сохраняется и для электропроводной жидкости (рис. 1, б). Учет джоулевой диссипации (рис. 1, в) изменяет поле температуры, особенно в экваториальной области. Диапазон изменения температуры (14,620; 1). Учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипацией (рис. 1, г, д), приводит к дальнейшему изменению поля температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, г (9,240; 1,537), а для результата рис. 1, д (19,367; 1). Неучет джоулевой диссипации, несмотря на наличие внутренних источников (стоков) тепла (рис. 1, е, ж), изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, е (11,367; 1), а для результата рис. 1, ж (17,981; 1).
На рисунке 2 приведены результаты расчетов локальных чисел Нуссельта на внутренней (красная линия) и внешней (зеленая линия) поверхности сферического слоя. 

   
а б в г  
д е ж

Рисунок 2 – Распределение локальных чисел Нуссельта: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Следует отметить, что согласно заданному граничному условию для температуры на внешней границе слоя, распределение локальных чисел Нуссельта совпадает с осредненным и принимает постоянное значение 20 (здесь и далее). Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют или максимум (рис. 2, а, б, ж), или минимум (рис. 2, в-е) при значении полярного угла  (экваториальная плоскость). Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта следующие:
37,599; 4,96256,363; 37,599; 4,96256,363; 
29,411; 5,92968,228; 8,028; 3,05032,086; 
50,794; 14,493102,570; 16,198; 1,51943,750; 
59,001; 9,95784,268 соответственно для результатов рис. 2, а-ж.
На рисунке 3 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки. Для результатов, представленных на рис. 3, а, б, ж, жидкость в северном полушарии слоя движется против часовой стрелки (красный цвет значения функции тока положительные), а в южном – по часовой стрелке (синий цвет значения отрицательные). Максимальное значение функции тока соответственно 5,65; 5,65; 6,77. Учет джоулевой диссипации (рис. 3, в), так же как и учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 3, г, д), изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках на противоположное. Максимальное значение функции тока для результатов рис. 3, в-д 5,32; 3,66; 6,62. Неучет джоулевой диссипации, при учете внутренних источников тепла (рис. 3, е), сохраняет направление циркуляции жидкости, а учет внутренних стоков тепла (рис. 3, ж) изменяет направление циркуляции жидкости на противоположное, по сравнению с результатами рис. 3, в-е.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 3 – Поле функции тока: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Максимальное значение функции тока для результата рис. 3, е 4,13.
На рисунке 4 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. В слое (рис. 4) образуются два крупномасштабных вихря. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 4 – Поле напряженности вихря: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

В зависимости от режима структура вихрей, хотя и незначительно, но изменяется. Для результатов рис. 4, а, б, ж в северном полушарии жидкость движется против часовой стрелки (значения напряженности вихря положительные), а в южном – по часовой стрелке (значения отрицательные). Максимальная интенсивность вихрей 5,97·10; 5,97·10; 7,50·10 соответственно для результатов рис. 4, а, б, ж. Для результатов, представленных на рис. 4, в-е, направление движения жидкости изменяется на противоположное. Максимальная интенсивность вихрей соответственно 5,94·10; 4,27·10; 7,61·10; 4,63·10.
На рисунке 5 приведены результаты расчетов поля радиальной и меридиональной составляющей магнитной индукции. Радиальная составляющая магнитной индукции (рис. 5, а-е) в северном полушарии принимает отрицательные значения, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 5 – Поле магнитной индукции. Радиальная составляющая: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, ; ж меридиональная составляющая 

Для результатов рис. 5, а и 5, е в экваториальной части слоя образуются две локальные зоны, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют свой знак (с минуса на плюс и с плюса на минус). Меридиональная составляющая магнитной индукции (рис. 5, ж) принимает положительные значения практически во всем слое, за исключением небольшой области у внутренней границы, в которой значения меридиональной составляющей магнитной индукции отрицательные. Оказалось, что качественно и количественно структура поля меридиональной составляющей магнитной индукции практически не изменяется для рассмотренных режимов. Максимальная интенсивность радиальной составляющей  4,00·10^-4; 5,80·10^-4; 5,61·10^-4; 5,94·10^-4; 5,62·10^-4; 3,76·10^-4 соответственно для результатов рис. 5, а-е, а меридиональной 1,00·10^-2.
Представленные выше результаты получены для значения числа Грасгофа  Ниже приведены результаты, позволяющие проследить влияние увеличения интенсивности конвекции на тепловые и гидродинамические процессы в слое. 
На рисунках 610 приведены результаты для  Значения остальных безразмерных критериев подобия не изменялись. 
На рисунке 6 приведены результаты расчетов поля температуры. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 6 – Поле температуры: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Перенос энергии в слое для всех режимов осуществляется конвекцией. Структура поля температуры изменяется в зависимости от режима. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, а (7,566; 1). Такая же качественная и количественная ситуация сохраняется и для электропроводной жидкости (рис. 6, б). Учет джоулевой диссипации (рис. 6, в) изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры (8,399; 1). Учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 6, г, д), приводит к дальнейшему изменению поля температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, г (5,196; 1,472), а для результата рис. 6, д (11,373; 1). Неучет джоулевой диссипации, несмотря на наличие внутренних источников (стоков) тепла (рис. 6, е, ж), изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, е (4,696; 1), а для результата рис. 6, ж диапазон изменения температуры (12,571; 1).
На рисунке 7 приведены распределения чисел Нуссельта. Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют или максимум (рис. 2, а, б, е), или минимум (рис. 2, в-д, ж) при значении полярного угла . 

   
а                                                            б                                                             в                                                           г

  
д                                                          е                                                           ж

Рисунок 7 – Распределение локальных чисел Нуссельта: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Учет джоулевой диссипации, совместно с учетом источников и стоков тепла (рис. 7, в-д), изменяет распределение локальных чисел Нуссельта по сравнению с результатами рис. 7, а, б. Неучет джоулевой диссипации (рис. 7, е, ж) приводит к изменению распределения локальных чисел Нуссельта. Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта следующие:
37,599; 4,48553,542; 37,599; 4,48553,542;
28,950; 7,62263,279; 7,750; 0,89730,684; 
50,174; 16,49594,693; 16,197; 0,38225,214; 
59,004; 20,688106,304 соответственно для результатов рис. 7, а-ж.
На рисунке 8 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 8 – Поле функции тока: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Для результатов, представленных на рис. 8, а, б, е, жидкость в северном полушарии слоя движется против часовой стрелки (значения функции тока положительные), а в южном – по часовой стрелке (значения отрицательные). Максимальное значение функции тока соответственно 2,08·10; 2,08·10; 1,63·10. Учет джоулевой диссипации (рис. 8, в), так же как и учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 8, г, д), изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках на противоположное. Максимальное значение функции тока для результатов рис. 8, в-д 1,89·10; 1,40·10; 2,26·10. Неучет джоулевой диссипации, при учете внутренних источников тепла (рис. 8, е), изменяет направление циркуляции жидкости, а учет внутренних стоков тепла (рис. 8, ж) сохраняет направление циркуляции жидкости, по сравнению с результатами рис. 8, в-д. Максимальное значение функции тока для результата рис. 8, ж 2,39·10.
На рисунке 9 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 9 – Поле напряженности вихря: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

В слое (рис. 9, а, б, е) образуются два крупномасштабных вихря, в которых жидкость движется против часовой стрелки (значения положительные) в северном полушарии, и по часовой стрелке (отрицательные значения) – в южном. Максимальная интенсивность этих вихрей 2,43·10²; 2,43·10²; 1,64·10² соответственно для результатов рис. 9, а, б, е. Для результатов, представленных на рис. 9, в-д, ж, образуются два среднемасштабных вихря. В северном полушарии жидкость движется по часовой стрелке (значения отрицательные) а в южном – против часовой стрелки (значения положительные). Максимальная интенсивность вихрей составляет величину 2,32·10²; 1,68·10²; 2,96·10²; 3,23·10² соответственно. Неучет джоулевой диссипации при наличии внутренних источников тепла приводит к изменению направления циркуляции жидкости (рис. 9, е). 
На рисунке 10 приведены результаты расчетов поля радиальной составляющей магнитной индукции.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е
Рисунок 10 – Поле радиальной составляющей магнитной индукции: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, 

Значения радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 10) в северном полушарии отрицательные, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней границы. Для результатов рис. 10, а, д в экваториальной части слоя образуются две локальные зоны, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют свой знак (с минуса на плюс и с плюса на минус). Максимальная интенсивность радиальной составляющей  1,13·10^-3; 9,15·10^-4; 8,58·10^-4; 1,06·10^-3; 8,35·10^-4; 1,12·10^-3 соответственно для результатов рис. 10, а-е.
На рисунке 11 приведены результаты расчетов поля меридиональной составляющей магнитной индукции. Значения меридиональной составляющей (рис. 11) положительные практически во всем слое, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, в котором ее значения отрицательные. В зависимости от режима поле меридиональной составляющей магнитной индукции претерпевает, хотя и незначительные, изменения. Эти изменения происходят в экваториальной плоскости, проявляясь в увеличении зоны отрицательных значений меридиональной составляющей, похожей на треугольник, вершина которого стремится к внешней границе слоя. Максимальная интенсивность меридиональной составляющей не превышает значения 1,00·10^-2.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е
Рисунок 11 – Поле меридиональной составляющей магнитной индукции: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, 

Анализ результатов, полученных по предложенной математической модели, позволяет сделать следующие выводы:
для всех режимов в слое образуются две конвективные ячейки и два вихря; 
учет электропроводности жидкости (без учета других факторов) не влияет на теплообмен и гидродинамику жидкости в слое;
учет джоулевой диссипации изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках; 
в структуре радиальной составляющей магнитной индукции при: , и  образуются две дополнительные зоны;
интенсификация конвекции в слое влияет на структуру меридиональной составляющей магнитной индукции;
математическая модель и полученные результаты могут быть полезными при исследовании тепловых и гидродинамических процессов в недрах Земли и других планет.

The values of temperature at upper and lower border are accepted equal T_c = 1400 K, T_h = 2400 K. The extent of area on an axis х is accepted equal 3000 km, and on an axis y – 1000 km. Lithosphere thickness Ln - 100 km. The Temperatures of solid state Ts and liquid state T_L are 1800К and 1900К accordingly. Velocity of movement of a continental plate Uк = 2 сm/year, and velocity of oceanic plate U₀ 1 сm/year. Re=1,0510^-19; Gr= 3,210^-14; Pe = 251; Ste = 3. Gravitational acceleration value g = 9,8 is constant. 
In fig. 1 the results of calculation for velocity of movement oceanic plate 1 сm/year and angle of a feat under continental plate 30^o are submitted. 

In trench region isothermals “bend” to lower boundary of the area. Under oceanic and continental plates two large-scale convective cells are formed, the liquid in which is gone in opposite directions. And besides convective cell and vortex under continental plate flow round immersed lithosphere and penetrate into area of oceanic convective cell and vortex, located to the right of subduction zone, moving them to the right. Immersion depth of the lithosphere reaches about 300 km. The distributions of Nusselt numbers on the upper and lower boundaries of the area are given. At value x ~ 1700 km in the collision region of plates takes place minimum heat flow on the upper border of calculated area that will be agreed with known experimental data [1, 2].
In fig. 2 the results of calculation for velocity of movement oceanic plate 1 сm/year and angle of a feat under continental plate 45^o are submitted.

 

In fig. 3 the results of calculation for velocity of movement oceanic plate 1 сm/year and angle of a feat under continental plate 60^o are submitted.

Comparing the results shown in fig. 1, 2, 3, we can see that the immersion depth of lithospheric plate for Uк = 2 сm/year and U₀ = 1 сm/year is weakly dependent from the angle of immersing of oceanic plate. With increasing angle of immersing the isotherms deflection in the chute region increases (figs. 1, 2, 3).
The intensity of the stream functions as for cell continental and oceanic increases with increasing angle of immersing. For want of it has a place a small decrease in the continental scale cells and a small increase in the scale of the oceanic cell.
The intensity of the vortex as for a continental cell and oceanic cell will increase, with increasing angle of immersing from 30⁰ to 45⁰ (figs. 1, 2). For the angle 60⁰ (fig. 2) the intensity of the vortex as for a continental cell and oceanic cell decreases on a comparison with the results shown in fig. 3. For all modes scale of continental vortex is decreases and scale of oceanic vortex is increases.
The interval of a modification of significance of the Nusselt number on the upper and lower boundary of the computational domain increases with increasing angle. Minimum heat exchange at the upper boundary of the computational domain and a maximum heat exchange at the lower boundary of the computational domain are at the value of x 1700 km.
In fig. 4 the structure of current of a liquid in a subduction zone for various angle values of subsidence of lithosphere is given. Velocity of movement of a continental plate U_k = 2 сm/year.

Analyzing the results of modeling we can make the following conclusion:
- with the increasing angle of immersing deflection of isotherms in the chute region is increased;
- with the increasing angle of immersing the intensity of a stream function is increased. Scale of a continental cell decreases, and oceanic – increases; 
- the intensity of vortex increases with increasing angle of immersing from 30⁰ to 45⁰, and for angle of immersing 60⁰ decreases on a comparison with results for angle 45⁰. For all modes scale of a continental vortex decreases, and oceanic – is increased;
- with the increasing of immersing angle the values ​​of the Nusselt numbers will increase;
- the received decisions as it is qualitative, and will quantitatively be agreed on depth of immersing of a plate in a mantle and under the law of change of a heat flow on a surface of the Earth with known experimental and theoretical results of other authors.Thus, suggested the mathematical model and the results obtained contribute to the available information on investigation of convection in the Earth’s interior and may be of use for better understanding and explanation of such phenomena as subduction, lithospheric plate motion and heat flow change at Earth’s surface.