Укажем на ещё одну особенность курса элементарной математики: содержание курса является для его слушателей преимущественно знакомым, то есть большая часть теоретических, операциональных и практических знаний известна студентам из общеобразовательного (школьного) курса математики, а вузовский курс способствует их углублению, обобщению и систематизации, переводу на новый уровень осмысления (в случае, когда содержание курса элементарной математики не является предметом специального профессионального интереса, а разрабатывается с целью подготовки к изучению высшей математики) и применения в профессиональной (педагогической, если мы говорим о подготовке учителя математики) деятельности.

С учётом перечисленных особенностей охарактеризуем все возможные, на наш взгляд, интерактивные методы проведения занятий по элементарной математике в практике высшего образования (в том числе педагогического образования, очная форма обучения) в рамках существующих образовательных технологий. Следует заметить, что курс элементарной математики может быть реализован рядом учебных дисциплин: «Математика», «Элементарная математика», «Практикум по решению математических задач», «Практикум по решению школьных математических задач» и т. п.

I. Традиционная лекционно-семинарская образовательная технология структурно представлена следующими формами аудиторной работы: лекции, практические занятия/семинары, консультации перед экзаменом; внеаудиторной самостоятельной работы: учебно-исследовательская работа студентов, научно-исследовательская работа студентов (курсовая работа по элементарной математике); текущего контроля: контрольная работа; промежуточной аттестации: зачёт и экзамен.

Рассмотрим каждую форму отдельно в контексте интерактивности.

Лекция. Из всех видов современных учебных лекций под специфические особенности курса элементарной математики (их определения представлены в Приложении А) не подходит ни одна. С учётом этого определим лекцию по элементарной математике как форму аудиторной работы с теоретическим материалом темы – учебными текстами, представленными в традиционной книгопечатной форме. Тогда лекция по элементарной математике предстаёт как учебное занятие, в ходе которого студенты самостоятельно углубляют, обобщают и систематизируют теоретический материал курса. Интерактивными эти занятия можно считать в случае парной работы над теоретическим материалом с обязательным взаимоконтролем.

При подготовке учителей математики в Саратовском государственном университете практикуется ещё один вид лекций, почти не описанный в методической литературе, основу которого составляет самостоятельная исследовательская работа студента над одной из тем курса в ходе курсовой работы. Такие лекции проводятся на 3-4 курсах; студент, чья тема близка изучаемому материалу, готовится к роли преподавателя, разрабатывая содержание учебного занятия, а затем выступает лектором, излагая однокурсникам новые элементы теоретического знания. Эта форма хорошо зарекомендовала себя в ходе эксперимента, проводимого на механико-математическом факультете при обучении будущих бакалавров педагогического образования (профиль – математическое образование) в 2018-19 учебном году. Назовём такую форму лекцией для однокурсников.

Практические занятия/семинары включают индивидуальную работу репродуктивного характера по совершенствованию операциональных знаний (активное обучение) и групповую работу продуктивного характера по расширению профессионального тезауруса за счёт освоения новых элементов практического знания (интерактивное обучение).

Предметная составляющая практических занятий определяется специально организованной системой задач из сборников по элементарной математике (возможно составленных разработчиками курса с учётом специфики обучения в конкретном учебном заведении).

При подготовке учителей математики в Саратовском государственном университете используются учебные пособия [3], [4], [5], в которых система задач к каждой теме представлена пятью группами: тестовые задания, типовые математические, математические эвристические, практические и творческие задания включающие: тестовые задания, математические алгоритмические задачи I уровня сложности, математические эвристические задачи II уровня сложности, практические задачи III уровня сложности. Каждая задача имеет свой «вес» – V. Вес тестового задания – 0,05 балла, вес задачи I уровня – 0,1 балла, II уровня – 0,15 балла, III уровня – 0,2 балла, вес творческого задания – 1 балл. Балльная система оценивания позволяет осуществлять текущий контроль, в том числе, самоконтроль.

Лабораторные занятия по курсу элементарной математики проводятся с целью имитировать учебно-исследовательскую деятельность учащихся основной школы, расширения и углубления полученных знаний студентов с их практической учебно-познавательной и будущей профессиональной деятельностью. Предметной основой лабораторного занятия является практическая задача, требующая использования приобретенных теоретических и операциональных знаний для построения и исследования простейших математических моделей, представления реальных зависимостей с помощью функций, интерпретации графиков, практических расчетов по формулам с использованием таблиц, справочных материалов, микрокалькулятора, компьютерных сред и т.п. Средством, обеспечивающим интерактивность, может стать не только сама задача, но и форма проведения лабораторного занятия (или его части) – деловая игра, анализ педагогических ситуаций (возникающих в процессе решения практической задачи), оппонирование и т.п.

Консультации перед экзаменом вид занятия, которое чаще всего проходит в виде беседы «студент – преподаватель» в формате «вопрос – ответ». Консультация проводится непосредственно перед экзаменом с целью решения ряда организационных моментов, систематизации знаний по сдаваемой дисциплине, прояснения вопросов, которые могли вызвать сложности в процессе самостоятельной подготовки. Организация консультации в форме мастер-класса позволит осуществить интерактивность процесса коррекции знаний, полученных в ходе самостоятельной подготовки. Роль преподавателя в этом случае может быть описана как «любознательный студент».

Ещё одна форма проведения интерактивной консультации – «вопросы по кругу»: участники консультации образуют «круг»; за преподавателем право первого вопроса, который он адресует своему соседу, например, справа; тот либо отвечает на вопрос, либо уточняет/конкретизирует и переадресует его своему соседу; ответивший получает право задать интересующий его вопрос своему соседу справа (или слева); консультация продолжается до «последнего вопроса». В случае неправильного ответа вопрос адресуется соседу «с другой стороны», если и он отвечает неправильно, то отвечает любой участник консультации, в последнюю очередь отвечает преподаватель. Такая интерактивная консультация позволяет не только подготовиться к экзамену, но и развивать информационно-логические умения её участников. Кроме того, снимается страх перед дополнительным вопросом на экзамене.

Учебно-исследовательская работа студентов, – внеаудиторная самостоятельная работа по решению исследовательских и познавательных задач – способствует развитию познавательно-поисковых умений студентов и позволяют свободно ориентироваться в профессиональных источниках информации.

Одним из основных видов самостоятельной учебно-познавательной деятельности студентов при изучении курса элементарной математики является работа с информацией. Эффективность этой работы зависит от уровня форсированности у учащихся таких действий (умений), как: подбор источников для решения познавательной задачи; чтение и анализ текста; составление плана и конспекта по прочитанному тексту (конспектирование); цитирование;   составление рецензии (рецензирование); оформление реферата (реферирование).

При подготовке учителей математики в Саратовском государственном университете основным видом учебно-исследовательской работы является составление банка олимпиадных задач (с обязательным указанием метаданных задачи и её решением) по каждой изучаемой теме.

Интерактивность достигается спонтанным объединением студентов в пары для выполнения задания (что не всегда поощряется преподавателем, требующим полной самостоятельности в проведении учебного исследования). Целенаправленная планируемая интерактивность может быть реализована в творческих отчётах, деловых играх и других формах самопрезентации результатов выполнения студентами задания.

Научно-исследовательская работа студентов (курсовая работа по элементарной математике); Цель курсовой работы по элементарной математике – научиться адаптировать математический текст для осуществления просветительской деятельности в области математического образования. При ее выполнении студент должен проявить знание теоретического материала, специальной литературы, нормативно-правовых актов, исследовательский и научный подход к рассматриваемой проблеме, умение анализировать и делать обобщения и выводы.

Понятно, что при работе над темой курсовой работы интерактивность практически не возможна, поэтому её можно планировать только в ходе защиты курсовых работ, которую можно организовать в формате круглого стола или научной конференции.

Контрольная работа – основная форм проверки и оценки операциональных и некоторых практических знаний. Являясь усложненным видом работы, контрольная должна обеспечить студенту возможность продемонстрировать умения: а) самостоятельного анализа и систематизации большого объема информации по заданной теме, б) решения типовых задач (применения операциональных знаний) и практической задачи (применения практических знаний). Поэтому и подготовка к контрольной работе (изучение конспектов лекций и других источников теоретической информации; повторение учебного материала, полученного при подготовке к практическим занятиям и во время их проведения; изучение необходимой дополнительной литературы, в которой конкретизируется содержание проверяемых знаний) и её выполнение – индивидуальная самостоятельная работа. Интерактивным может быть анализ результатов и коррекция знаний, проводимых в интерактивных формах, перечисленных выше.

Зачет – форма промежуточной аттестации, целью которого является проверка достижения студентами уровня обязательной операциональной и практической подготовки. На зачёт отводится последнее занятие по элементарной математике в семестре; при проведении зачета, можно использовать различные интерактивные формы: письменный опрос по карточкам-заданиям с последующей взаимопроверкой, решение одной-двух типовых задач с последующей демонстрацией и оппонированием, собеседование с группой студентов по выполненным в течение семестра заданиям, математические бои и другие виды математических соревнований и т.п.

Зачёт с оценкой – теоретический зачёт – форма промежуточной аттестации, целью которого является проверка достижения студентами уровня обязательной теоретической и операциональной подготовки – можно провести в виде творческого отчёта по предварительно выданному (за день или два) творческому заданию. Выполнение творческого задания требует от каждого студента не только воспроизведения полученных теоретических и операциональных знаний в форме, определяемой преподавателем (подборка примеров из педагогической или учебной практики, подборка материала по определенной проблеме или педагогической ситуации, участие в ролевой ситуационной игре и т.п.), но и кооперации с другими студентами (или участниками образовательного процесса, как в системе общего, так и высшего образования) для успешного выполнения задания. Этим и достигается интерактивность в проведении теоретического зачёта

Экзамен – форма промежуточной аттестации, целью которого является проверка достижения студентами уровня обязательной теоретической, операциональной и практической подготовки. Традиционная форма проведения экзамена по дисциплине элементарная математика включает в себя экзаменационный билет, в который входит три вопроса, проверяющих соответственно уровень теоретических знаний, операциональных знаний и практических знаний.

При подготовке учителей математики в Саратовском государственном университете экзамен по любому модулю элементарной математики включает: первый вопрос – на локальное упорядочение материала темы, второй вопрос – на проверку умений доказывать математические утверждения, третий вопрос – на проверку умений применять полученные знания к решению задач.

Интерактивность в ходе экзамена по элементарной математике достигается за счёт его открытости, то есть на экзамене может присутствовать любой студент и любой преподаватель с правом обратиться к экзаменующемуся с любым уточняющим вопросом по излагаемому материалу.

II. Технология перевернутого обучения («перевернутый класс») основанная на предваряющей внеаудиторной работе с новыми элементами теоретического, операционального и практического знания с последующей аудиторной работой над усвоением этого знания до творческого уровня (применения в нестандартной ситуации).

При изучении содержания курса элементарной математики в контексте интерактивности следует рассмотреть отдельно внеаудиторную и аудиторную работу.

Внеаудиторная работа предполагает выполнение студентами ряда предваряющих заданий, ориентированных как на индивидуальное, так и на групповое выполнение. К индивидуальным заданиям отнесены: задания по изучению элементов теоретического, операционального и практического знания с последующим самоконтролем (осуществляемым в процессе выполнения обучающих тестов), к групповым – задания по представлению/ презентации элементов нового знания, взаимоконтролю и оцениванию степени усвоения элементов нового знания, возможной её коррекции.

При подготовке учителей математики в Саратовском государственном университете практикуется индивидуальная предваряющая внеаудиторная работа студентов над теоретическим материалом каждой темы курса элементарной математики, изложенным в соответствующих учебно-методических пособиях и поддерживаемым серией обучающих тестов, разработанных и размещённых на платформах LearningApps, Ipsilon и OnlineTestPad.

Аудиторная работа над усвоением элементов нового знания принимает формы математических практикумов и лабораторных работ с последующей демонстрацией результатов. Даже если преподавателем не предусмотрено разбиение студентов на пары для выполнения этих работ, формирование малых групп (пар, троек, четвёрок) происходит спонтанно, что обусловлено самой технологией и предопределяет интерактивное обучение внутри таких формирований.

III. Смешанная технология обучения («смешанное обучение») сочетает традиционные формы аудиторного обучения с элементами электронного обучения (используются в первую очередь интерактивные элементы и т.д.). Учебный процесс в этом случае представляет собой чередование фаз обучения традиционного (освоение новых элементов содержания обязательных к усвоению) и электронного (диагностика; тренажёры, компенсирующие недостатки общего образования и формирующие базовые умения предметной подготовки; тексты и видеоматериалы для самостоятельного изучения дополнительного материала (вариатив); контрольные работы и итоговое тестирование и т.п.).

Основной метод получения теоретических знаний – полностью или частично самостоятельное изучение теоретического материала, форма его результативности – применение к решению задач. Основной метод получения операциональных знаний – репродуктивный; основная форма – компьютерный тренажёр, форма результативности – количественная оценка по 100-балльной шкале. Основные методы получения практических знаний – поисково-исследовательский (обучение через задачи); основные формы – анализ и решение педагогических ситуаций на материале задач элементарной математики аудиторно (на практических занятиях), форма результативности – банк решённых несколькими способами задач с методическими комментариями к их решению. Дополнительные формы: а) конструирование задач, форма результативности – дополнение к банку решённых задач; б) самостоятельная внеаудиторная работа по поиску и решению задач олимпиадной математики, форма результативности – дополнение к банку решённых задач.

Текущий контроль осуществляется в электронной форме и на практических занятиях путем оценивания устных ответов и письменных проверочных работ. Итоговый контроль включает выполнение контрольной работы, итоговое тестирование, сдачу коллоквиума, зачёта/экзамена.

При изучении дисциплины элементарной математики можно использовать следующие виды контрольной работы:

− «Вопрос – ответ» – устная контрольная работа, содержание которой представлено теоретическими вопросами и типовыми задачами, охватывающими значительную часть теоретических и операциональных знаний;

− Расчетно-практическая контрольная работа включает задачи (или одну задачу с несколькими требованиями), требующие теоретических знаний для осуществления всех необходимых расчетов и операциональных знаний, применяемых к этим расчётам.

− Ситуационно-кейсовая контрольная работа предполагает глубокий и всесторонний анализ смоделированной ситуации; при подготовке будущих учителей математики, это, как правило, педагогические ситуации, связанные с поиском, анализом, классификацией и устранением ошибок в решении задач.

− Контрольная работа в интерактивной творческой среде.

Основные средства обучения – учебный математический текст и система задач включающая [6, с. 6-7]:

подсистему-I учебных задач, реализующих диагностическую и компенсирующую (недостатки общего образования) функции;

подсистему-II учебных и развивающих задач, позволяющих усвоить новый теоретический материал;

подсистему-III задач школьного курса математики и школьных математических олимпиад с обязательным требованием решения всевозможными методами и способами;

подсистему-IV педагогических ситуаций и педагогических задач, формирующих умения выбирать наиболее эффективный из возможных метод/способ решения задачи для определённой возрастной группы учащихся и на основе этого организовывать деятельность этих учащихся по решению задачи;

подсистему-V межпредметных познавательных задач, расширяющих представление об объекте, предмете, методах и идеях математики.

Следует отметить, что представленная выше, разработанная для студентов педагогического образования профиля «математическое образование» магистром Е. П. Байкиной [6] система теоретико-числовых задач (модуль «Элементарная теория числе» курса элементарной математики) с успехом может быть применена к системе задач любого модуля курса элементарной математики.

Итак, наиболее перспективным видится использование смешанной технологии изучения студентами курса элементарной математики, требующей создания электронного учебного курса (электронных ресурсов для смешанного обучения), который помимо интерактивных компьютерных средств обучения будет включать практико-ориентированные межпредметные познавательные задачи для групповых и коллективных форм взаимодействия студентов.