В теории сигналов, как, впрочем, и в других разделах информатики, вплоть до настоящего времени, по существу, рассматривались процессы, протекающие в одной и той же (стационарной) инерциальной системе отсчета (ИСО). В то же время, с появлением специальной теории относительности и развитием космических технологий стали играть роль пространственно-временные соотношения между стационарной и движущейся ИСО, которые находят свое выражения в преобразованиях Лоренца [1]. Одно из этих преобразований связывает интервалы времени, соответственно, в стационарной и движущейся ИСО, а именно:

τґ = γ τ (1)

γ = 1 /

где
γ - Лоренц-фактор ( γ ≥ 1 )
v – относительная скорость движущейся ИСО
с – скорость света в вакууме

В дальнейшем изложении все обозначения с апострофом (ґ) относятся к движущейся ИСО.

Соотношение (1), известное с начала прошлого века и в дальнейшем получившее экспериментальное подтверждение ([2]-[3]), соответствует, так называемому, релятивистскому замедлению времени в движущейся ИСО. Воздействие релятивистского замедления времени на сигналы и системы уже рассматривалось автором в предыдущих публикациях [4]-[6]. В продолжение этой темы, в настоящей статье рассматриваются автокорреляционные функции и интервала корреляции сигналов в различных ИСО.

Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала s(t) в общем случае имеет вид [7]:

B(τ) = (2)

где τ - временной сдвиг.

Для представления АКФ в движущейся ИСО с учетом соотношения (1) получаем:

B(τ)ґ =  = (3)

где γ – Лоренц-фактор, который в данном случае является параметром.

Из равенств (2) и (3) следует, что при переходе к движущейся ИСО сохраняются все свойства АКФ, такие как

- убывание 
B(τ)ґ→ 0 при τ → ∞

- максимум 
max [B(τ)ґ] = B(0)ґ при τ = 0

- четность 
B(-τ)ґ=B(τ)ґ

К этому можно добавить релятивистское соотношение, вытекающее из (2) и (3) при τ = 0:

B(0)ґ = B(0) (4)

где B(0) (соответственно, B(0)ґ) имеет энергетическую подоплеку [7].

Интервал корреляции

Наряду с АКФ, важной характеристикой сигнала является интервал корреляции, который определяется в виде отношения [7]:

Δτ =  / B(0)(5a)

Тогда в движущейся ИСО:

Δτґ =  / B(0)ґ (5b)

В то же время, в соответствии с преобразованием Лоренца:

Δτґ = γ Δτ (6)

Таким образом, в движущейся ИСО интервал корреляции сигнала (за исключением белого шума, см. ниже) возрастает в γ раз по сравнению с тем же интервалом в стационарной ИСО.

Заметим, что с учетом (4) из равенства (6) также следует релятивистское отношение:

 / = γ (7)

Белый шум

Как известно, белый шум имеет равномерную спектральную плотность в бесконечной полосе частот. В этом случае обратное преобразование Фурье дает функцию Дирака или, иначе, δ-функцию [7].

Так как функция Дирака отлична от нуля только при t = 0, то с учетом равенств (2), (3) и (4) можно сделать вывод, что АКФ белого шума не изменяется при переходе в движущуюся ИСО, т.е.:

B_ш(τ)ґ = B_ш(τ)(7)

В то же время, независимо от выбора ИСО интервал корреляции белого шума (как некоррелированного стационарного процесса) по определению равен нулю.

Релятивистские инварианты

В специальной теории относительности релятивистскими инвариантами называют величины, сохраняющиеся при переходе от одной ИСО в другую. Такими инвариантам, например, являются скорость света в вакууме и «масса покоя», т.е. масса, соответствующая стационарной ИСО [1].

В области сигналов можно воспользоваться энергетической интерпретацией АКФ и, по аналогии с вышеупомянутой массой покоя, ввести понятие «энергии покоя» B(0) – в данном случае энергии сигнала в стационарной ИСО. Тогда согласно (4) «энергию покоя» можно рассматривать как релятивистский инвариант, так как она не зависит от выбора ИСО.

Кроме того, в соответствии с равенством (7) и другими известными характеристиками белого шума ([7]) последний можно рассматривать как сигнал, параметры которого инвариантны к выбору ИСО.

Выводы

Выше были рассмотрены свойства автокорреляционной функции и интервала корреляции в контексте специальной теории относительности. Показано, что при переходе к подвижной инерциальной системе отсчета сохраняются все свойства автокорреляционной функции. В то же время, имеют место релятивистские соотношения для автокорреляции с учетом преобразованием Лоренца. На основе энергетической интерпретации автокорреляционной функции в нулевой точке показано, что «энергия покоя» сигнала является релятивистским инвариантом, по аналогии с «массой покоя» в специальной теории относительности. В случае белого шума можно сделать вывод, что в качестве сигнала он обладает инвариантностью относительно выбора инерциальной системы отсчета.

В современной теории сигналов [1] де-факто исходят из того, что процедуры дискретизации и восстановления сигнала выполняются в одной и той же инерциальной системе отсчета (ИСО). В то же время с точки зрения специальной теории относительности (СТО), постановка задачи восстановления сигналов должна включать ситуацию, когда дискретизация сигнала выполняется в одной ИСО, а его восстановление в другой. В дальнейшем будем называть первую ИСО стационарной, а вторую движущейся. При этом все обозначения с апострофом (´) будут относиться к движущейся ИСО.

Согласно СТО связь между интервалами времени возникновения любого события в разных ИСО выражается преобразованием Лоренца [2]:

Δt´ = γ Δt (1)γ = 1 /

где:
γ - Лоренц-фактор ( γ ≥ 1 )
 - скорость движущейся ИСО
с - скорость света в вакууме

Последовательность отсчетов дискретного сигнала рассматривается ниже как ряд событий, следующих друг за другом с временным интервалом Δt и «возникающих» в той или иной ИСО.

Восстановление сигнала в движущейся ИСО

Рассмотрим сигнал с ограниченным спектром, дискретизированный с постоянным интервалом выборки в стационарной ИСО и подлежащий восстановлению в движущейся ИСО.

В соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона (далее, теорема отсчетов) такой сигнал может быть восстановлен в соответствии с выражением [1]:

S(t)´ =    (2)

где:
Δt´ - интервал выборки в движущейся ИСО
Δt - интервал дискретизации в стационарной ИСО
 - граничная частота спектра сигнала
s(k) - отсчеты сигнала, сформированные в стационарной ИСО

При этом согласно теореме отсчетов интервал выборки должен удовлетворять неравенству:

Δt´ ≤      (3)

С другой стороны, на основании соотношения (1) между интервалами выборки в стационарной и движущейся ИСО можно записать

γΔt ≤      (4)

Поскольку всегда γ>1, отсюда следует:

Δt ≤      (5)

Таким образом, для безыскажающего восстановления сигнала в движущейся ИСО интервал выборки этого сигнала в стационарной ИСО должен быть уменьшен в γ раз по сравнению интервалом в случае постановки задачи, когда дискретизация и восстановление сигнала происходят в одной и той же ИСО. Заметим, что неравенство (5) соответствует релятивисткой формулировке, которая при γ=1 сводится к стандартной теореме отсчетов [3].

Пример восстановления сигнала в движущейся ИСО

Рассмотрим единичный гармонический сигнал:

E(t) = cos(2πt)     (6)

Далее, в соответствии с теоремой отсчетов примем в нашем примере интервал выборки:

Δt =       (7)

Тогда согласно соотношению (1):

Δt´ =       (8)

В этом случае в соответствии с выражением (2) для сигнала, который должен быть восстановлен в движущейся ИСО, можно записать:

E(t)´ =     (9)

где:

e(k) = cos(πk/6)     (10)

Результаты компьютерного моделирования восстановления сигнала (6) в соответствии с выражением (9) представлены ниже в графической форме для трех значений Лоренц-фактора (точки на графике соответствуют отдельным отсчетам).

Обсуждение полученных результатов

Из вышеприведенного примера следует, что при восстановлении сигналов в движущейся ИСО могут возникать гармонические искажения, величина которых возрастает с увеличением Лоренц-фактора, если не принять меры к уменьшению интервала выборки в стационарной ИСО согласно (5) [3].

В таблице ниже представлены соответствующие значения коэффициента гармонических искажений (КГИ) в зависимости от величины Лоренц-фактора.

Таблица 1. Коэффициент гармонических искажений в зависимости от γ

Таким образом, КГИ фактически зависит от скорости движущейся ИСО. Следует отметить, что на практике наиболее высокая скорость, которая была достигнута космическим аппаратом «Helios 2», составляет ≈0,0229% скорости света [4], что соответствует величине Лоренц-фактора ≈1,000000026. В вышеприведенном примере КГИ при этом оценивается на уровне ≈0,000001%. Таким образом, что касается рассмотренной постановки задачи, эти искажения в настоящее время находятся в пределах допустимой погрешности измерения.

Выводы

Рассмотрена постановка задача восстановления сигнала в движущейся ИСО по выборке отсчетов, сгенерированной в стационарной ИСО. При этом показано, что при выборе интервала дискретизации необходимо учитывать значение Лоренц-фактора, которое зависит от относительной скорости перемещения движущейся ИСО. В связи с этим предложена расширенная формулировка теоремы отсчетов. Помимо часто теоретического аспекта, рассмотренный подход может быть полезным в соответствующих приложениях, требующих особо высокой точности восстановления сигнала, или при достижении уровня техники, обеспечивающего достаточно высокие скорости космических аппаратов.