В работе проводится анализ аналитического решения стационарного уравнения Клейна-Гордона для атома водорода и водородоподобных ионов (изоэлектронный ряд водорода). На основании сравнения энергии связи водородоподобных ионов, полученных при аналитическом решении, с соответствующими экспериментальными значениями, делается вывод о том, что решения уравнения  Клейна-Гордона все более значительно отклоняются от экспериментальных значений при увеличении заряда ядра Z.

Предлагается новое релятивистское уравнение более адекватно описывающее атом водорода и изоэлектронный ряд водорода.

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - http://r-lib.snauka.ru/2013/12/1118

1. Анализ решений уравнения Клейна-Гордона

Приведем кратко вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона.

Используя выражения релятивистской энергии (1.1) и релятивистского импульса (1.2)

  (1.1) ,          (1.2)

Получается соотношение связи энергии и импульса :      (1.3)

Откуда   (1.4)

В стационарном потенциальном поле  выражение (1.4) принимает вид :    (1.5)    откуда    (1.6)

Подставляя в (1.6) выражение для квадрата импульса   (1.7) приходим к стационарному уравнению Клейна-Гордона:    (1.8)

В центральном поле ядра атома водорода потенциальная энергия электрона зависит только от одной координаты, расстояния от центра.     (1.9)

Оператор Лапласа в сферических координатах выглядит следующим образом:     (1.10)

Волновую функцию  представим в виде  (1.11)  Подставляя  (1.9), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.8) с учетом   получим радиальное уравнение Клейна-Гордона в системе СИ.   (1.12)

В рамках данной работы будем рассматривать сферически симметричные состояния с нулевым орбитальным моментом . С учетом сказанного уравнение (1.12) примет вид  (1.13)

Далее будем использовать систему атомных единиц Хартри. В этой системе приняты следующие единицы:

За единицу длины принято среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода (радиус Бора) м.

За единицу массы принята масса покоя электрона кг.

За единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона Кл.

За единицу действия принята постоянная Планка Дж*с.

За единицу энергии принята удвоенная энергия основного состояния электрона в атоме водорода, называемая Хартри. 1 Хартри=Дж=27.21138386эВ.

За единицу скорости принята скорость электрона на внутренней орбите боровской модели атома водорода.

Скорость света в атомных единицах Хартри равна .

Все сказанное можно записать следующим образом: 

Запишем радиальное уравнение Клейна-Гордона (1.13) в атомных единицах Хартри  () (1.14)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha   http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

 (1.15)  где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода,  константа интегрирования.

Как известно, из аналогичных решений уравнения Шредингера, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом . И для основного состояния радиальное квантовое число принимается равным нулю . Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов в следующем виде:

                                        (1.16)

Решая уравнение (1.16) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:  (1.17) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах. эВ  (1.18)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии полученных аналитическим решением (формула (1.18)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.1 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения Клейна-Гордона.

Как видно из диаграммы, полученные при решении уравнения Клейна-Гордона значения энергии, плохо согласуется с экспериментальными значениями по мере увеличения заряда ядра . Эти значения даже хуже чем соответствующие решения нерелятивистского стационарного уравнения Шредингера  . То есть при приближении к релятивистским скоростям отклонения увеличиваются . Хотя логично было бы ожидать обратное.

                            2. Вывод нового релятивистского уравнения

Сделаем предположение, что в атоме водорода имеют место следующие соотношения энергии и импульса:

  (2.1)     (2.2)

Формулу энергии (2.1) преобразуем следующим образом:   (2.3)

Подставим квадрат импульса в формулу энергии (2.3)    (2.4)  возведя в квадрат и перегруппировав, получим новое соотношение энергии и импульса в виде:   (2.5)  Действуя по аналогии с уравнением Клейна-Гордона получим следующее уравнение:  

                                        (2.6)

Условно назовем полученное уравнение .

Дальнейшее преобразование дает радиальное уравнение для сферически симметричных состояний с  нулевым орбитальным моментом  в виде:

                                          (2.7)  

Перепишем уравнение (2.7) в атомных единицах Хартри

                                             (2.8)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha   http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

  (2.9)  где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода,  константа интегрирования.

 Для нахождения формулы энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, приравниваем к нулю первый параметр гипергеометрической функции:         (2.10)

Решая уравнение (2.10) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:

  (2.11)  Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах.

  эВ  (2.12)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии, полученных аналитическим решением (формула (2.12)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.2 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения М2.

Как видно из диаграммы полученные при решении уравнения М2 значения энергии хорошо согласуется с экспериментальными значениями.

Отметим, что в рамках данной работы не анализируются причины такого поведения электрона в атоме водорода и в водородоподобных ионах. Возможно этой проблеме будет посвящена отдельная статья.