Рис.1

Формализация параметров замкнутой модели неравновесных систем. Пусть номенклатура всех изделий (продуктов) определена номерами i из множества  так, что . Набор изделий (продуктов) определим вектором , в котором ,  - нечетко задаваемое количествоi–го изделий (продукта). Компонента  задана в виде интервала [1,4].
Интервал – это выпуклая нечеткая величина, функция принадлежности которой задается следующим образом:

.

Интервалы задаются четверкой параметров , где  и  - соответственно нижнее и верхнее модальное значение интервала, а  и представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости.
При задании интервала компоненты , могут быть применены следующие варианты:
а) нижнее и верхнее модальное значение интервала совпадают, а  и  равны нулю, тогда количество i–го изделий (продукта) z_iн определяется с неопределенностью равной нулю. Формально определим =(z_imin=z_iн, z_imax=z_iн, 0 ,0), где z_imin - нижнее модальное значение , а z_imax- верхнее модальное значение . В этом случае существует четкое задание количества i–го изделий (продукта), как показано на рис.2, где _ziн - значение степени принадлежности интервалу;
б) количество i–го изделий (продукта) z_iн определяется с неопределенностью отличной от нуля (как показано на рис. 3), причем =(z_imin, z_imin, 0, ),т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают;

 
Рис. 2 Рис. 3

в) количество i–го изделий (продукта) z_iн может быть получено из интервала [А,В] (как показано на рис.4) с неопределенностью равной единице, причем =(А=z_imin,В=z_imax, 0, 0), где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение изделия (продукта)), В – верхнее модальное значение (максимально – возможное количество изделия (продукта);
г) количество i–го изделий (продукта) z_iн может быть получена из интервала значений [А,С], так что в интервале [А,В] неопределенность получения равна единице (). Формально определим =(А=z_imin, В=z_imax, 0, ) (как показано на рис.5), где =С-В.
д) количество i–го изделий (продукта) z_iн может быть получена из интервала значений [А,D], так что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (). Формально определим =(B=z_imin, C=z_imax, , ) (как показано на рис.6), где =B-A, =D-C. 
Для дальнейшего исследования параметров замкнутой модели неравновесной системы определим операцию суммирования для интервалов, в виде которых задаются количества i–го изделий (продукта), а также ограничения-квоты.

 
Рис.4 Рис. 5

Рис.6

Если не существует ограничений на производство-потребление, будем считать, то компонента z_iн задается по варианту а), т.е. z_iн=(z_imin,z_imin,0,0).
Любое производство представляет собой преобразование исходных продуктов в выпускаемые изделия (продукты), как показано на рис. 7.

Рис.7

Исходные продукты назовем затратами [2], а выпускаемые изделия (продукты), которые гарантированно могут быть проданы – выпусками. При нечетком задании ограничений-квот на потребление и нечетких ограничения–квот на производство затраты и выпуска также будут описываться в виде интервалов.
Определим формально набор затрат в виде вектора , а выпуски – в виде вектора , где ,  и ,  - нечетко задаваемое количество i–го исходного и j-го выпускаемого изделия (продукта) соответственно. Как компонента , так и компонента  заданы в виде интервалов.
Способы задания интервалов компонент исходного ,  и выпускаемого продукта ,  аналогичны заданию интервала компоненты количества продуктов , .
Определение 1. Нечетким стационарным состоянием процесса производства изделия называется двойка .
Определение 2. Разность векторов  называется нечетким вектором чистых выпусков.
Производство представляет собой систему элементов производства неравновесной системы, занятых производством изделий (продуктов). Определим множество Р={Р₁,Р₂,…Р_m}, как множество элементов производства. Каждый элемент производства Р_k,  характеризуется технологическим множеством G_k={,,…,}, , т.е. вектором всех возможных для Р_k,  производственных процессов, где  - l–ый нечеткий производственный процесс (состояние) k-го элемента производства.
Определим состояние элемента производства Р_k,  в виде нечеткой двойки , где ={,,…,} – нечеткий вектор затрат (изделий продуктов, необходимых для производства), а ={,,…,} – нечеткий вектор выпусков k–го элемента производства.
Определение 3. Множество W={<,>,<,>, …,<,>} состояний всех элементов производства P_k, k=1,…,m называется состоянием производственной части неравновесной системы.
Определение 4. Технологически реализуемым назовем такое нечеткое состояние  элемента производства P_k, если выполняется условие

G_k, (1)

где  - операция включения нечеткого состояния  в k-ое технологическое множество. 
Результат операции нечеткого включения множества  в нечеткое множество  определится через степень включения :

,

где  - функции принадлежности нечетких переменных, «» - операция импликации нечетких переменных, а «» - операция конъюнкции, которая берется по всем хХ. Если степень нечеткого включения , то полагают, что нечеткое множество  нечетко включается в нечеткое множество . В противном случае считают, что нечеткое множество  нечетко не включается в нечеткое множество .
Очевидно, что если условие (1) выполняется для каждого нечеткого элемента из множества W, то нечеткое состояние элементов производства неравновесной системы технологически реализуемо.
Нечеткий вектор всех (полных) выпусков неравновесной системы определим, как:

, (2)

вектор всех (полных) затрат неравновесной системы определим, как:

, (3)

Тогда нечеткий вектор производимых изделий (продуктов) для потребления (нечеткий вектор чистых выпусков) неравновесной системы определится как:

, (4)

Нечеткую компоненту ,  вектора  следует рассматривать как чистый выпуск i–го продукта в неравновесной системе, например, как алгебраическое превышение полного выпуска i–го изделия (продукта) над величиной полных затрат этого изделия (продукта) по всем элементам производства неравновесной системы.
Для замкнутой неравновесной системы условие технологической реализуемости состояний (2) элементов производства дополняется условием неотрицательности нечеткого вектора (4) чистых выпусков, которое имеет вид

0, (5)

т.к. затрачиваемые изделия (продукты) производятся в этой же неравновесной системе. Причем проверка на положительность интервала производится при сравнении интервала  и действительного числа – 0.
Условие (5) отвечает требованию сбалансированности производственного процесса в неравновесной системе.

,  (1)

где g_k – нечеткое функциональное отображение, M_k - совокупность некоторых дополнительных параметров.
Пусть для каждого элемента производства P_k,  задана целевая функция f_k(),  на множестве допустимых состояний , которое может быть получено из технологического множества G_k,  при заданных ограничениях.
Тогда элемент производства P_k,  будет принимать решение о выборе своего состояния, максимизируя целевую функцию , .
Пусть элемент производства P_k,  имеет возможность приобретать и продавать по заданным ценам любые количества изделий (продуктов).
Зададим цены на изделия (продукты) в виде вектора , где ,  – цена на i–й продукт, представленная в виде интервалов, причем, вектор S характеризует состояние неравновесной системы и входит как параметр в компоненту M_k,  (1) критерия выбора нечетких состояний. Цена ,  на каждый i-ый продукт задается в виде некоторого интервала.
Условие максимизации целевой функции имеет вид:

f_k(<>,S)=max, G_k,  (2)

а зависимость (1) примет вид:

, . (3)

Под максимумом понимаем максимизацию верхнего модального значения интервала.
Целевая функция f_k(,S),  может быть представлена, например, в виде критерия прибыли, критерия валового выпуска или критерия рентабельности для промышленных предприятий. Могут быть и другие критерии.
Критерий прибыли для k-го элемента производства определится формулой

П_k(<>,S)=S-S, (4)

где S и S– произведение соответствующих нечетких составляющих двух множеств;
Рассмотрим операции произведения и деления двух интервалов. Произведение двух интервалов =() и =(): [2]  есть также трапециевидный интервал =, где , , ; , (5)
причем, в зависимости от знаков чисел , , ,  правило (5) для умножения двух интервалов будет выглядеть [3]:
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ; (6)
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ;
- если , то .
Операция деления определяется аналогичным образом. Деление двух интервалов =() и =(): [3] / есть также трапециевидный интервал =, где , , ;, (7)
причем, в зависимости от знаков чисел , , ,  правило (6) для умножения двух интервалов будет выглядеть [1-3]:
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ; (6^/)
- если , то ;
- если , то ;
- если , то ;
- если , то .
Критерий валового выпуска определим формулой

f_k=SY_k, . (8)

Критерий рентабельности определим формулой

, . (9)

В случае, если фиксированы параметры технологического вектора G_k,  и функции f_k, , то зависимость (1) может быть представлена в виде:

, , (10)

В этом случае нечеткое состояние ,  элемента производства P_k будет целесообразно достижимо при множестве S.
Определение. Множество производственной части неравновесной системы  называется целесообразно реализуемым при векторе цен S, если нечеткое состояние  элемента производства P_k, k=1,2,…,m целесообразно реализуемо.
Если для каждого элемента нечеткого множества  определить вектор чистых выпусков,то нечеткий вектор  можно представить функцией предложений h:

=h(S), (11)

которая исходит из функции (10) и называется функцией чистых производственных выпусков. В связи с тем, что выпуски нельзя рассматривать как определенное число, то целесообразно функцию hназвать функцией нечетких чистых производственных выпусков.

 есть  есть  есть 

где  - нечеткие переменные, характеризующие в лингвистической форме переменные  на входе;  - выходной результат i-го контрольного правила, определяемый линейным уравнением с коэффициентом . Функция принадлежности нечеткого множества А записывается как А(h) и представляется в виде (R-L)-аппроксимаций. 
Для данных входных величин  истинная величина предпосылки i-го правила записывается как

а результат на выходе  определяется из m правил через осреднение весов переменных  в виде

Алгоритм идентификации правил нечеткого управления заключается в определении:
1) числа нечетких градаций пространства входа как шкалы (например, “малое”, “среднее”, “большое” для переменной , “малое” и “большое” для  и т. д.);
2) функции принадлежности этих нечетких переменных;
3) коэффициентов в правилах вывода [1,2].
Поиск нечетких правил управления осуществляется с помощью экспертных оценок движения некоторой совокупности моделей автомобиля, которые признаются достаточными для опыта. Эксперт может контролировать поворот руля по траектории автомобиля, высвечиваемой на экране монитора. Скорость автомобиля сохраняется постоянной, поэтому контролируется только поворот руля.
В работе [5] приводится нечеткая модель управления системой “водитель-автомобиль – окружающая среда”, в которой учитывается мера нечеткости соответствия (адекватности) между событиями внешнего мира и представлениями о них у водителя. Принимается также во внимание возможность самоконтроля водителя в процессе управления автомобилем.
Входной информацией служит поле зрения водителя в плоской проекции дороги. Такой курс в перспективе участка дороги (road) может быть представлен в виде матрицы:

где элементы  указывают степень принадлежности интервала  объект “видимое поле” -  принадлежит объекту “дорога”  Здесь X – множество горизонтальных координат  - множество вертикальных координат 
Одним из выходов подсистемы “водитель” является нечеткое множество 

которое описывает первоначальный диапазон фиксированного положения глаз водителя на видимом участке (объект “видимое поле”) дороги . Множество  может существенно зависеть от внешних событий, в то время как другой нечеткий выход 

описывающий повороты руля (steer), подчиняется выработанным водителем – экспертом правилом управления вождением автомобиля.
Для получения первоначального диапазона положения реальный дорожный курс M(road) должен сравниваться по горизонтали с эталонным образцом, заданным матрицей M(ref):

Эталонный образец M(ref) интерпретируется как субъективная оценка водителем ширины проезжей части дороги. В области визуального поля этот эталон ориентирован в направлении продольной оси автомобиля.
Приведенные в работе [5] результаты моделирования взаимосвязи движения глаз водителя и поворота руля находятся в хорошем соответствии с аналогичными результатами, полученными при реальных измерениях. Таким образом, описанная модель является вполне адекватным отображением системы “водитель – автомобиль – окружающая среда”.
Известна [6] модель мобильного робота, построенная по иерархической структуре. Эта модель состоит из трех уровней (проектирование, навигация, пилотирование). На уровнях “проектирования” и “навигация” осуществляется соответственно картография местности и общее управление мобильного робота. “Пилот” производит передвижение мобильного робота по указанному “навигатором” курсу.
Система “пилот” содержит три уровня иерархии: базу данных, набор логических правил и блок вычислений.
База данных отражает степень информированности “пилота” о местности и своем местонахождении, выраженную как в числовых, так и в лингвистических переменных. Окружающая среда регистрируется в мобильном роботе видеокамерой и представляется в виде множества всех объектов, включая все препятствия, в полярных координатах с началом координат в центре системы отсчета мобильного робота. Представление знаний о мобильном роботе, о его местонахождении включает как общую позицию и ориентацию мобильного робота на местности, так и текущие параметры его движения. Полученным числовым значениям в ограниченных множествах интервалов ставятся в соответствие дискретные лингвистические переменные, характеризующие динамическое поведение системы и содержащие описания окружающей среды.
Моделирование движения мобильного робота дает удовлетворительные результаты по ориентации и передвижению модели в достаточно сложных условиях пересеченной местности и наличии препятствий [6].
Приведенный обзор указывает на актуальность задачи разработки нечетких контроллеров для решения задач управления движущимися объектами.