для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -оператором. 
Покажем, во-первых, что для любой функции  такой, что  выполняется . Допустим противное, то есть, что существует функция  такая, что , но . Положим . Очевидно . Учитывая условия 1) и 3) определения 2 и слабую инъективность оператора  имеем . Отсюда получаем равенство  - противоречие. 
Докажем слабую инъективность оператора . Пусть  такие, что  и пусть, для определенности,  и . Выберем функцию  такую, что . Покажем, что для любого элемента  такого, что  выполняется условие . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда  и  и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства  - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора  доказана. 
Выполнение условия 1) определения 4 следует из того, что , .
Докажем справедливость условия 2) определения 4. Покажем, во-первых, что  для любых . Пусть  такое, что . Тогда  и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть  и  такие, что  и . Введем следующие обозначения:  и . Покажем, что существует функция  такая, что выполняются условия  и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент  такой, что , то есть . Так как , то . Так как  для любых  (условие 3) определения 2), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 4.
Докажем справедливость условия 3) определения 4., то есть, что  для любых дизъюнктных  таких, что . Итак, пусть , причем . Положим , . Ясно, что . Выберем функции  и  такие, что , , причем выполняется условие . Покажем, что . Положим . По построению, для любого  выполняется . Пусть . Тогда выполняются следующие равенства , . Так как , то . Последнее означает, что для любого элемента  выполняется , то есть,  для любого . Отсюда следует, что , а это и означает, что выполняется равенство . Лемма доказана.
Теорема 1. Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
1) существует сюръективное непрерывное отображение ;
2) существует -оператор .
Доказательство. Докажем импликацию . Функциональный оператор  определим правилом:  для каждого . Очевидно выполнение условия 1) определения 2. Докажем, что выполняется условие 2) определения 2, то есть, что справедливо равенство  для любых . Для любого элемента  выполняются равенства . Так как справедливо , то . Аналогично доказывается выполнение условия 3) определения 2. Импликация  доказана.
Докажем импликацию . Пусть существует -оператор . Тогда, в силу леммы 1, существует -оператор . Для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим . Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Равенство  для любого  следует из условия 3) определения 4. Отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Сюръективность построенного отображения  следует из того, что для любых  таких, что  выполняется . Докажем непрерывность отображения . Пусть  и . Так как , то существует  такое, что  и . Тогда для всякого элемента множества  его образ относительно отображения  содержится в . Теорема доказана.
Определение 5. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .
Определение 6. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Топологический оператор  продолжения топологии пространства  относительно отображения , называется оператором продолжения топологии  пространства .
Определение 7. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Функциональный оператор  называется оператором продолжения функций, если для любой функции  выполняется условие . 
Из теоремы 1 с учетом естественных уточнений следует теорема 2. 
Теорема 2. Пусть . Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является ретрактом компакта ;
2) существует -оператор продолжения функций .
Напомним, что функция  называется полунепрерывной снизу, если для любого  множество  является открытым подмножеством пространства . Далее  - множество неотрицательных полунепрерывных снизу функций на пространстве ,  - функция на , тождественно равная  на .
Определение 8. Функциональный оператор  называется -регулярным оператором, если отображение  слабо инъективно и выполняются следующие условия:
1) , 
2)  для любых .
Определение 9. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется -регулярным оператором, если отображение  слабо инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2)  для любых .
Многозначное отображение  - отображение, ставящее в соответствие каждому  некоторое замкнутое подмножество  пространства . Отображение  называется полунепрерывным сверху, если для любого открытого в  множества  малый прообраз  - открытое в  множество. 
Лемма 2. Пусть  и  - компакты. Если существует -регулярный топологический оператор , то существует многозначное полунепрерывное сверху отображение  такое, что  для любого .
Доказательство. Итак, пусть  - -регулярный топологический оператор. Также как и при доказательстве теоремы 1 для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим . Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Многозначное отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Покажем, что отображение  является полунепрерывным сверху. Пусть  - произвольное открытое подмножество пространства  и  для некоторого . По построению отображения  и определению -регулярного топологического оператора найдется открытое множество  такое, что  и . Ясно, что для любого  выполняется . Таким образом, полунепрерывность отображения  доказана. Осталось доказать, что для любого непустого открытого множества  выполняется условие . Пусть , , причем . Так как , то по определению -регулярного топологического оператора выполняется условие . Отсюда следует, что для любого выполняется . Лемма доказана. 
Лемма 3. Пусть  и  - компакты,  - полунепрерывное сверху многозначное отображение, причем для любого непустого открытого множества  выполняется . Тогда существует -регулярный оператор .
Доказательство. Пусть  - полунепрерывное сверху многозначное отображение. Оператор  определим правилом: для всякой функции  положим  для любого элемента . Очевидно, для любой функции  выполняется  и . Докажем, что отображение  слабо инъективно. Допустим, что существуют функция , константа  такие, что  для любого элемента  и  не равная тождественно  на . Тогда существуют точки  такие, что  и . Рассмотрим окрестность  точки , не содержащую точку . Для получения противоречия теперь достаточно учесть условие леммы 2: для любого открытого множества  множество . Докажем, что  для любых . Рассмотрим произвольную точку . Имеем . Так как выполняется равенство , то тем самым доказательство свойства 2) определения 9 завершено. Лемма доказана.
Теорема 3. Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
существует -регулярный функциональный оператор ;
существует -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Докажем импликацию . Пусть  - -регулярный функциональный оператор. Также как и при доказательстве леммы 1 определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором. Докажем слабую инъективность оператора . Пусть  такие, что  и пусть, для определенности,  и . Выберем функцию  такую, что . Покажем, что для любого элемента  такого, что выполняется условие  справедливо равенство . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда  и  и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства  - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора  доказана. 
Выполнение условия 1) определения 9 следует из того, что , .
Докажем справедливость условия 2) определения 9. Покажем, во-первых, что  для любых . Пусть функция  такая, что . Тогда  и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется условие . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть  и  такие, что  и . Пусть, далее,  и . Покажем, что существует функция  такая, что выполняются условия  и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент  такой, что , то есть . Так как , то . Так как  для любых  (условие 2) определения 8), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 9. Импликация  доказана.
Докажем импликацию . Для доказательства этой импликации достаточно воспользоваться соответствующей комбинацией лемм 2 и 3.
Определение используемого далее понятия пространства Дугунджи, а также характеризации пространств Дугунджи посредством использования операторов продолжения топологий можно найти в работах .
Теорема 4. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является пространством Дугунджи;
2) для любого (некоторого) вложения  в тихоновский куб  существует -регулярный функциональный оператор продолжения функций .
Справедливость теоремы 4 следует из результатов работ  и теоремы 3 данной статьи.
Замечание. Возможные обобщения результатов данной статьи, могут быть определены содержанием работ .