Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » формулы

Замкнутое решение задачи нахождения оптимальных размеров прямоугольного сечения бруса при растяжении-сжатии с изгибом в двух плоскостях

Шеин Александр Иванович — Mon, 03 Nov 2014 12:14:13 +0000

В задачах прямого проектирования [1,2], оптимального проектирования [3,4,5] или в задачах моделирования работы сооружений [6,7,8] целесообразно использовать наиболее рациональные или оптимальные (не оптимизируемые в данной конкретной задаче) параметры элементов строительных конструкций. В связи с этим желательно иметь ряд формул для назначения этих параметров. В данной работе приведен вывод формул для одно из случаев сечений элементов – прямоугольного бруса.
Рассмотрим задачу оптимизации сечения бруса прямоугольного сечения, подверженного косому изгибу (рис. 1).
Требуется запроектировать брус минимальной площади поперечного сечения так, чтобы напряжения не превосходили расчетного сопротивления.

Рис. 1. Оптимизация сечения прямоугольного бруса

Площадь сечения бруса

Расчетное сопротивление при косом изгибе

1. Формализация.
Примем за неизвестные оптимизационной задачи моменты сопротивления сечения W_x и W_y, которые обозначим х₂/6 и х₁/6 соответственно. Тогда площадь поперечного сечения будет представлена зависимостью

Оптимизационная задача примет вид:
найти min
при .
Функции f₀ и f₁ и их частные производные непрерывны при х_k > 0. Значит, по теореме Вейерштрасса, решение существует.
2. Применение принципа Лагранжа.
Функция Лагранжа

или

Необходимые условия экстремальности:

3. Решение уравнений и нахождение стационарных точек.
Перенесем члены, содержащие λ₁ в первых двух уравнениях в правую часть:

Поделим первое уравнение на второе

или

Подставим это выражение в третье уравнение системы

или

откуда

4. Отбор нужных точек.
Стационарная точка единственная, значит, она является решением задачи.
Перейдем к переменным b и h, то есть к размерам сечения

или

Таким образом, аналитически, путём математических выкладок, выполнено решение задачи нахождения оптимальных размеров прямоугольного сечения бруса при растяжении-сжатии с изгибом в двух плоскостях. Это решение представлено в виде конечных формул. Полученные формулы могут быть использованы в реальном проектировании и при моделировании сооружений.

Ветровые нагрузки на сооружения в виде давления переменного ветрового потока

Земцова Ольга Григорьевна — Tue, 04 Nov 2014 12:49:33 +0000

В задачах динамического расчета [1,2,3], в задачах моделирования работы сооружений [4,5,6,7,8], и при учете факторов длительного воздействия [9,10] целесообразно использовать наиболее рациональные и удобные для реализации параметры динамических воздействий. В связи с этим желательно иметь формулы для определения этих параметров. В данной работе приведен вывод формул для нахождения динамических параметров ветрового потока.
Скорость и направление ветра в данной точке пространства считаются непостоянными, зависящими от области, высоты над уровнем моря, времени. На рис.1 изображен график зависимости скорости ветра от времени, из которого видно, что скорость ветра осциллирует или пульсирует около среднего значения V_c. Это явление обычно называют порывистостью.

Истинную скорость турбулентного потока можно записать как сумму средней V_c и пульсационной V_p скоростей (рис.1):
  , (1)
где V_c в некоторой степени зависит от интервала усреднения.
Заметим, что в СНиП 2.01.07-85* предположено, что колебания скорости ветра около среднего значения не вызывают изменения знаков усилий и напряжений в большинстве элементов сооружений. Поэтому в нормах ветровую нагрузку w_e на сооружение представляют в виде статической составляющей w_m, соответствующей средней скорости ветра V_c (рис. 1), и динамической добавки w_p (пульсационной составляющей, которая соответствует разности между средней и истинной скоростями ветра):
  , (2)
где γ_f – коэффициент надежности по ветровой нагрузке, равный 1,4; w_m – нормативное значение средней составляющей ветровой нагрузки на высоте z над поверхностью земли; w_p – нормативное значение пульсационной составляющей ветровой нагрузки на высоте z(динамическая добавка, вызванная пульсацией воздуха, найденная с учетом коэффициента динамичности).
То есть воздействие ветра оценивается из решения статической задачи с увеличенной, с помощью динамического коэффициента, нагрузкой.
Ветровая нагрузка зависит от формы конструкции и ее элементов, положения сооружения по отношению к ветровому потоку, обтекаемости сооружения и его элементов.
На основе формулы Бернулли и того обстоятельства, что в собственно ветровое давление преобразуется лишь некоторая часть потока, величина ветрового давления на сооружение равна:
  , (3)
где долю скорости напора, которая переходит в ветровое давление, определяет динамический коэффициент c.
Если предположить, что направление вектора скорости ветра на данном участке в течение некоторого промежутка времени постоянно, то можно замерить и записать (или смоделировать) изменение скорости ветра во времени.
Динамический характер ветрового воздействия, повторяемость силовых воздействий, определяется именно пульсационной составляющей скорости.
Подставляя сумму скоростей (1) в (3), получим
    (4)
или
    (5)
или
    (6)
Здесь
  , (7)
  . (8)
где q₀ – статическое или среднее давление, которое может быть найдено по СНиП, аналогично w_m; q_П – пульсационное давление.
Описать характер изменения пульсационной составляющей скорости ветра какой-либо функцией чрезвычайно сложно. Тем не менее, функцию пульсационной составляющей можно представить приближенно синусоидой, стараясь, прежде всего, описать такое наиболее важное (и опасное) свойство ветровых пульсаций, как повторяемость.
  , (9)
где V_p₍₀₎ – амплитудное значение V_p, θ₁ – частота пульсаций, α_n – начальные фазы колебаний пульсационной составляющей ветрового потока, с помощью которых можно приближено учесть его турбулентность и смоделировать формы пульсаций соответственно собственным формам колебаний. Начальные фазы можно определить по вектору соответствующей формы собственных колебаний башни
  , (10)
где y_n – значение той компоненты собственного вектора, которой соответствует горизонтальное перемещение n-го яруса. Срывы вихрей со здания или сооружения можно легко смоделировать разностью фаз узловых нагрузок одного уровня.
Определение совокупности переменных параметров давления ветрового потока на каждое сооружение является весьма сложной задачей динамики. Однако, при расчете рационального демпфирования сооружения необходимо знать его действительный одновременный отклик на турбулентное ветровое и на демпфирующее воздействия, учитывать, что величина и направление скорости ветрового потока непрерывно изменяются, то есть необходимо ставить и решать динамическую задачу.
Итак, с учетом пульсации ветрового давления узловая нагрузка, собранная с некоторой «грузовой площадки» в МКЭ может быть представлена, в виде:
  , (11)
где n – номер узла, P_ст – статическая составляющая ветровой нагрузки, P_p_,n(t) – амплитудное значение динамической составляющей ветровой нагрузки.
Для того чтобы отразить изменение направления пульсирующего потока в некотором секторе, т.е. повороты пульсирующей составляющей в горизонтальной плоскости, разложим динамическую составляющую P_p_,n(t) по двум взаимно-перпендикулярным направлениям в горизонтальной плоскости угла наклона потока:
  , (12)
где φ – половина центрального угла сектора поворотов ветрового потока
    (13)
  , (14)
где T₂ – период горизонтального поворота ветрового потока.