Смысл сложного процента заключается в том, что проценты, начисленные в конце каждого периода, не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме вложенного капитала, и в следующий расчетный период процент начисляется уже на большую сумму.

В рамках доходного подхода при использовании собственного капитала инвестора применяются два метода определения стоимости оцениваемого объекта недвижимости, в которых используются функции сложного процента – это метод капитализации по расчетным моделям и метод дисконтирования денежных потоков (ДДП). 

Наиболее универсальным методом определения текущей стоимости оцениваемой недвижимости является метод ДДП. В учебнике «Оценка недвижимости» [2, с.163] предлагается рассчитывать стоимость объекта недвижимости методом ДДП по формуле 

, (1)
где текущая стоимость;
денежный поток периода ;
ставка дисконтирования денежного потока периода ;
стоимость реверсии, или остаточная стоимость.

Однако в предложенной формуле (1) нет расшифровки единиц измерения параметров, а параметров  и  в расшифровке нет вообще, что нельзя признать правомерным для учебной литературы. В этой связи возникает необходимость рассмотрения содержания параметров, входящих в формулу (1), что и является целью настоящей статьи.

В формуле (1) знаменатель первого и второго слагаемых представляет собой общую формулу сложного процента, которая используется в его шести функциях. Величину  в финансовых расчетах называют множителем наращения по сложным процентам, фактором будущей стоимости единицы, коэффициентом наращения, а обратную ей величину  – дисконтным, или дисконтирующим множителем. В теории оценки общую формулу сложного процента называют будущей стоимостью единицы, а обратную ей величину – текущей стоимостью единицы или коэффициентом дисконтирования.

Базовой функцией сложного процента является первая функция – будущая стоимость капитала, которая имеет вид [3, c. 8]
 (2)
где  будущая стоимость капитала;
 текущая стоимость (стоимость в начальный момент времени);
 ставка процента, начисляемого периодически;
 количество периодов начисления.

Остальные пять функций сложного процента – это производные от первой функции сложного процента (будущей стоимости капитала). В теории и практике оценки стоимости недвижимости методом ДДП используется четвертая функция сложного процента, которая является обратной первой функции и имеет следующий вид
 (3)
где будущая стоимость капитала;
 ставка дисконтирования будущей стоимости капитала;
количество периодов дисконтирования будущей стоимости капитала.

В формуле (1) стоимость реверсии считается денежным потоком, как и текущие денежные потоки от владения недвижимостью, и является будущей стоимостью капитала. А количество периодов дисконтирования каждого денежного потока определяется от даты установления его прогнозной величины до даты оценки. 

В формулах (1-3) текущая и будущая стоимость капитала измеряются в денежных единицах, а количество периодов начисления (дисконтирования) денежных потоков – выражаются численными значениями, т.е. являются безразмерными параметрами. 

Ключевым параметром сложного процента является ставка процента (процентная ставка), которая с математической точки зрения выражает численное значение (в форме процентов или десятичной дроби). В практических финансовых расчетах процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях. В учебнике по финансовой математике Е.М. Четыркина указано, что «временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления, его не следует путать со сроком начисления» [4, c.17]. Из данного положения следует, что процентная ставка имеет не только числовое значение, но и временную характеристику. 

Однако в финансовой математике и оценочной литературе временной интервал (период начисления) ставки процента в общей формуле сложного процента, как правило, не указывается. В этой связи ставка процента выступает в общей формуле сложного процента как безразмерная величина и поэтому может суммироваться с единицей, что нельзя признать правомерным. Временная характеристика ставки процента присуща ей и она не сокращается под влиянием какого-либо фактора. Но тогда возникает проблема реализации общей формулы сложного процента, так как по правилам математики нельзя выполнять суммирование единицы с параметром, имеющим единицу измерения, т. е. с размерным параметром. 

Как известно, сложный процент является дальнейшим развитием простого процента, который выражается формулой
 (5)
где  ставка процента, 1/год;
 срок начисления процентов, годы.
Смысл простого процента заключается в том, что процент начисляется только на первоначальный капитал, а полученная постоянная величина прибыли не участвует в обороте капитала и ее можно использовать после окончания каждого отчетного периода.

В формуле (5) нет нарушений правил математики, так как при умножении ставки процента в форме десятичной дроби на срок начисления процентов, выраженных в одинаковых единицах времени, происходит сокращение этих единиц измерения. В результате умножения ставки процента на срок начисления процентов получается безразмерная величина, которая может суммироваться с единицей в общей формуле простого процента. Простой процент можно использовать и в методе ДДП без нарушения правил математики.

Переход от простого процента к сложному проценту в финансовой математике иллюстрируется на примере инвестора, который по депозитному договору с банком вложил определенную сумму денежных средств на депозитный счет на определенный срок с начислениями по простому проценту. После получения вложенной суммы денег с начисленными процентами инвестор перезаключил договор с банком на следующий такой же срок с начислениями по простому проценту. Число перезаключений депозитного договора инвестора с банком может быть многоразовое, что означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения с помощью постоянной или переменной ставки процента.

Схема наращения денежных средств инвестора по простому проценту в результате перезаключений договоров (реинвестирования средств), например для трех реинвестирования средств, будет иметь следующий вид
 (6)

В общем виде формула наращения (6) при годовой процентной ставке, сроке начисления, измеряемого в годах, многократном реинвестировании средств будет иметь вид
 (7)
где ставка процента, 1/ год;
срок начисления процентов, годы;
количество повторений реинвестирования, в течение общего срока реинвестирования средств. 

Если в формуле (7) срок начисления процентов () у всех перезаключаемых договоров принять равным одному периоду (одному году, одному полугодию, одному кварталу, одному месяцу и т.д. или определенному числу дней в пределах года), то в этом случае  будет выражать один период начисления процентов в течение заданного общего срока реинвестирования средств. Такой вид наращения будет представлять собой наращение по сложным процентам. Поэтому «наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая прослужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов» [4, c. 44].

В формуле (7) как и в формуле (5) произведение  является безразмерной величиной тогда, когда знаменатель ставки процента и числитель одного периода начисления имеют одинаковые единицы измерения, которые при умножении сокращаются. Поэтому математически правомерно в множителе наращения складывать единицу с безразмерным произведением . 

Если заданный период начисления меньше годового периода ставки процента, то в этом случае годовой период ставки процента переводится в измеритель заданного периода начисления. Например, если заданный период начисления составляет 1 мес., тогда годовой период ставки процента должен выражаться в месяцах. В этом случае знаменатель годовой ставки процента будет равен 12 месяцам. При численном значении ставки процента равной 0,12 и периоде процентной ставки равном 12 мес., получим скорректированное значение ставки процента – 0,12/12 мес.=0,01/мес. Тогда произведение  будет представлять коэффициент наращения первоначальной суммы вклада за 1 мес., который можно суммировать с единицей дисконтного множителя, как две безразмерные величины (1+0,01=1,01).

Параметр  в формуле (7) может быть рассчитан по формуле

где общий срок реинвестирования средств, выраженный в единицах времени одного заданного срока начисления.

Рассчитаем значение  для представленного выше примера, если , что составляет 36 мес.   Тогда 
В целом для данного примера значение множителя наращения по сложным процентам составит 

В теории оценки стоимости недвижимости формула (7) будет иметь вид
 (8)
где будущая стоимость денежного потока;
ставка дисконтирования денежного потока периода;
 один заданный период дисконтирования денежных потоков (1 год, 1 полугодие, 1 квартал, 1 месяц или определенное число дней в пределах года);
количество временных интервалов (периодов) от дисконтируемого денежного потока до даты оценки. 

На основе данных формулы (8), предлагается усовершенствованная модель оценки стоимости недвижимости методом ДДП 
 (8)
где текущая стоимость, ден. ед.;
наименование временного интервала прогнозного периода; 
количество временных интервалов в прогнозном периоде;
денежный поток го временного интервала прогнозного периода, 
ден. ед.;
ставка дисконтирования денежного потока периода,
1/временной интервал;
 один заданный период дисконтирования денежных потоков, 
временной интервал;
стоимость реверсии недвижимости в конце прогнозного периода, 
ден. ед.

Для практических оценочных расчетов целесообразно в формуле (8) вместо параметра  использовать соотношение прогнозного периода к заданному периоду дисконтирования денежных потоков  Тогда модель оценки стоимости недвижимости методом ДДП будет иметь вид
 (9)
где значение прогнозного периода, ед. времени.

В связи с проведенными исследованиями содержания показателей сложного процента и введения необходимых корректировок в формулы (8,9) дисконтный множитель становится величиной безразмерной. Причем ставка дисконтирования в данном случае являются показателем размерным, а количество периодов дисконтирования денежных потоков – величиной безразмерной.

Выводы и предложения:1. Анализ содержания параметров предложенной в учебной литературе модели оценки стоимости недвижимости методом ДДП показал, что все они не имеют единиц измерения, а некоторые параметры не расшифрованы вообще, что не является правомерным для учебной литературы.
2. В финансовой и оценочной литературе принято процентные ставки и ставки дисконтирования представлять в виде безразмерных величин, т.е. без привязки к временным характеристикам, что не является правомерным.
3. В ходе исследования установлено, что процентные ставки и ставки дисконтирования имеют числовые и временные характеристики, и не являются безразмерными параметрами.
4. Применяемые в финансовых и оценочных расчетах, множитель наращения по сложным процентам  и дисконтный множитель  по сложным процентам не могут быть количественно определены, так как по правилам математики нельзя суммировать единицу со ставкой процента (дисконтирования), имеющей временную единицу измерения.
5. Предложено в формулы множителя наращения по сложным процентам и дисконтного множителя по сложным процентам включать параметр «один заданный период начисления» для корректировки величины и размерности ставки процента (дисконтирования) и приведения их произведения к безразмерной величине. В этой связи становится возможным суммирование единицы с произведением ставки процента (дисконтирования) на один заданный период начисления (дисконтирования), что не приводит к нарушению правил математики.
6. Для практических расчетов в формуле по оценке стоимости недвижимости методом ДДП предложено в дисконтном множителе в качестве показателя степени использовать соотношение величины прогнозного периода к одному заданному периоду дисконтирования.
7. Предложена усовершенствованная модель оценки стоимости недвижимости методом ДДП с полной расшифровкой всех параметров и их единиц измерения.

В зависимости от того, на каком этапе жизненного цикла находится предприятие, используют различные стратегии для максимизации прибыли и стоимости предприятия, поэтому факторы создания стоимости будут различными для каждой компании. [1] Их можно разбить на следующие группы:

1. Внешние факторы. Это факторы, влияющие на развития страны, региона, отрасли. Из них наиболее значимые факторы: ВВП, индекс потребительских цен, темпы инфляции, уровень экспорта/импорта продукции, изменение мировых цен, уровень инвестиций, уровень политической стабильности; стратегические программы правительства, колебания курсов валют, изменение процентных ставок, уровень средней заработной платы, уровень безработицы в стране.
2. Внутренние факторы. Данные факторы отражают деятельность предприятия. К ним относятся факторы, отражающие финансово-хозяйственное состояние предприятия, имидж предприятия и степень его открытости.

К исследованию были отобраны внешние факторы, которые можно определить, пользуясь статистической информацией, влияющие на рыночную цену акций компаний. На первом этапе исследования было проведено сравнении балансовой и рыночной стоимости компаний.

Под балансовой стоимостью компании понимают стоимость всех её совокупных активов за вычетом её совокупных обязательств. Оценка бизнеса в этом случае ведется по его бухгалтерским документам, в частности, балансовому отчету. Рыночная стоимость рассчитывается путем умножения текущей цены акции на общее количество бумаг в обращении и представляет собой оценку компании участниками фондового рынка.

Чаще всего на практике возникает различие двух этих стоимостей. Это возникает потому что, во-первых, балансовая стоимость не всегда включает в себя все активы и долги компании. Так чаще всего никак не учитывается репутация компании или ноу-хау, которые в значительной мере влияют на заинтересованность клиентов в компании. Во-вторых, активы и обязательства, включенные в официальный баланс фирмы, в большинстве случаев оцениваются не по их текущей рыночной стоимости, а по первоначальной стоимости за вычетом амортизации.

Различие стоимостей породило на рынки следующие ситуации:

• Балансовая стоимость выше рыночной стоимости. Характеризуется такая ситуация тем что фондовый рынок оценивает компанию ниже стоимости её имущества, для компании это плохие времена так как инвесторы не хотят вкладываться в их бизнес полагая что компания не стоит даже того имущества, что у нее есть.
  
• Балансовая стоимость ниже рыночной стоимости. Это ситуация обратная предыдущей. Здесь уже акции компании продаются по более высокой цене, чем реальная стоимость имущества, что позволяет компании привлечь дополнительное финансирование.
• Балансовая стоимость равна рыночной стоимости. Рынок здесь относится к активам компании нейтрально, не желая платить премию за владение бизнесом.

Оценивая данные виды стоимости компании, непременно встает вопрос влияния различных факторов на величину показателей стоимости бизнеса. Несомненно, одним из главных факторов, оказывающих непосредственное влияние на стоимость предприятия, является время. Ввиду динамичности рынка, рыночная стоимость будет изменяться во времени вместе с изменением общей конъюнктуры и отдельных элементов рынка. При этом стоит отметить, что наиболее реальную картину отражает рыночная цена компании, которая в первую очередь учитывает временной фактор, в то время балансовая, как было уже сказано выше, оценивает отдельные элементы и статьи баланса по их первоначальной стоимости, которая не в состоянии отразить реальную цену бизнеса.

Вместе с тем, необходимо учитывать такой фактор, как риск, связанный с некой долей неопределенности на рынке, то есть надо понимать, что ни одно из вложений не может быть полностью безрисковыми, следовательно, риск также будет воздействовать на стоимость компании [2].

В целом следует отметить, что кроме перечисленных выше факторов существует еще ряд обстоятельств, влияющих на изменение стоимости компании. Это как микро-, так и макроэкономические факторы, которые характеризует текущее состояние экономики в стране, а именно соотношение спроса и предложения, темп инфляции, ключевая ставка Центрального Банка, размер внутреннего валового продукта, колебания курсов валют и др.
[3].

Для того, чтобы подробнее понять влияние упомянутых выше факторов, проведем сравнительный анализ компаний нефтегазовой отрасли. Нами будут рассмотрены три компании-представители данной отрасли, а именно ПАО «НК «Роснефть», ПАО «Газпром нефть» и ПАО «ЛУКОЙЛ». По данным компаниям будут рассчитаны балансовая и рыночная стоимость, а также ряд факторов, которые в той или иной степени могут влиять на рыночную цену бизнеса.

Проанализировав отчетность компаний и динамику изменения котировок акций компаний на ММВБ, были получены результаты, представленные в таблице 1 и рисунке 1.

Таблица 1.Балансовая и рыночная стоимость акций ПАО «НК «Роснефть» с 2011 по 2кв. 2016 года.

Для определения балансовой стоимости использовались данные, полученные из финансовой отчетности анализируемых компаний по РСБУ в период за 2011-2016 гг. Балансовая стоимость была получена делением чистых активов на средневзвешенное количество акций в обращении. Рыночная же цена акций компании была получена на основе данных котировок Московской биржи.

Как можно видеть из полученных результатов (см. табл.1 и рис.1), балансовая стоимость акций компании имела положительную динамику, за исключением 2014 года. При этом, рассматривая рыночную цену акций, динамика стоимости более неоднородна, а именно: в целом при возрастающей тенденции наблюдается снижение цены в 2013 и 2015 годах. Вместе с тем итоговый коэффициент корреляции равен 59,32%, что говорит о прямой и достаточно слабой зависимости этих двух показателей, то есть рост одного показателя не обязательно влечет за собой рост другого показателя.

Рисунок 1. Динамика изменения балансовой и рыночной стоимостей обыкновенной акции ПАО «Роснефть»

Кроме полученных значений стоимости акций нами было посчитано отношение рыночной цены одной акции к ее балансовой стоимости. Данный показатель позволяет говорить, насколько компания переоценена или, наоборот, недооценена. При значении показателя меньше 1 можно говорить о том, что компания недооценена. Данная ситуация наблюдается в 2011, 2013 и 2015 годах. Это в свою очередь подтверждают снизившиеся значения рыночной стоимости в аналогичных периодах.

Далее было рассмотрено влияние разных факторов на рыночную стоимость компании. Взаимосвязь изменения стоимости от значения дивидендных выплат на одну акцию показали следующие результаты (см. табл. 2).

Таблица 2. Дивиденды компании ПАО “Роснефть” с 2009 по 2015 года

Корреляционный анализ взаимосвязи каждой из стоимостей в отдельности с показателем дивидендов на одну акцию показал, что балансовая стоимость и размер дивидендов имеют большую тесноту (59,31%), чем связь рыночной стоимости с дивидендными выплатами (43,75%). Соответственно можно сделать вывод, что и в случае с дивидендами связь прямая, но достаточно слабая.

Рисунок 2. Динамика изменения рыночной, балансовой стоимостей в сопоставлении с размером дивидендов на одну акцию

По данным диаграммы (рис.2) видно, при увеличении балансовой стоимости растут и дивиденды, однако при снижении балансовой стоимости не всегда наблюдается снижение дивидендных выплат. Рыночная же стоимость ведет себя адекватно экономическим условиям в стране. Когда наступает сильный провал рынка, она уменьшается, при улучшении ситуации увеличивается. Заметим, что при достаточно стабильных факторах экономического и политического значения, обе стоимости показывают положительный рост.

Кроме анализа зависимости между рыночной стоимостью акций и дивидендными выплатами по ним, был проведен анализ по дополнительной группе факторов, в их числе: ВВП, темп инфляции, ставка рефинансирования, а также изменение курса валют.

В таблице 3 представлены полученные значения данных факторов за рассматриваемый период с 2011 по 2016 г.(2 кв.), а также рассчитан коэффициент корреляции между рыночной стоимостью и каждым из факторов.

Таблица 3. Зависимость рыночной стоимости акций от уровня ВВП, инфляции, учетной ставки и курса доллара за период 2011-2016 (2кв.)

Как видно из полученных выше результатов, разные факторы по-разному влияют на рыночную стоимость акций. Наибольшая корреляция наблюдается между учетной ставкой и рыночной стоимостью, в данном случае связь тесная и прямая, то есть увеличение одного показателя повлечет за собой рост второго. Также прямая, но уже умеренная связь прослеживается между динамикой курса доллара к рублю и изменению рыночной стоимости акций. Вместе с тем два других фактора – ВВП и темп инфляции имеют обратную зависимость по отношению к рыночной цене, что означает следующее: при росте одного фактора, другой наоборот снижается. Причем если влияние ВВП на рыночную стоимость достаточно слабое, то темп инфляции практически не оказывает влияние на изменение стоимости акций.

Аналогичный расчет был проведен с двумя другими компаниями ПАО «Газпром нефть» и ПАО «ЛУКОЙЛ».

Результаты расчетов по компании ПАО «Газпром нефть» представлены ниже в таблице 4.

Таблица 4. Балансовая, рыночная стоимость акций и дивиденды на 1 акцию ПАО «Газпром нефть» с 2011 по 2кв. 2016 года.

Далее наглядно представлена зависимость двух видов стоимости акций и размера дивидендных выплат стоит представить в виде диаграммы (рис.3).

Рисунок 3. Динамика изменения балансовой и рыночной стоимостей и размеров дивидендов на одну акцию ПАО «Газпром нефть»

Проанализировав все полученные данные представленные в Таблице 4, можно видеть что значительное снижение балансовой стоимости приходится на 2014 и 2015 год, в то время как рыночная стоимость акций компании меняется на протяжении исследуемого периода несильно, и даже значительно уменьшается в 2014 году. Вместе с тем итоговый коэффициент корреляции равен 0,78%, что говорит о прямой и практически отсутствующей связи.

Таблица 5. Зависимость рыночной стоимости акций Газпром Нефть от уровня ВВП, инфляции, учетной ставки, курса доллара и дивидендов на одну акцию за период 2011-2016 (2 кв.)

В Таблице 5 наглядно прослеживается, что разные факторы, как и в первом случае, влияют по-разному. В большей степени влияет на рыночную стоимость учетная ставка, чуть меньше курс доллара. С остальными показателями связь обратная, из них наибольшее влияние оказывает изменения ВВП, тогда как с дивидендами и инфляцией связь более слабая.

Последняя компания, по которой был проведен аналогичный анализ – это ПАО «ЛУКОЙЛ».

Таблица 6. Балансовая, рыночная стоимость акций и дивиденды на 1 акцию ПАО «Лукойл» с 2011 по 2кв. 2016 года.

Рисунок 4. Динамика изменения балансовой и рыночной стоимостей и размеров дивидендов на одну акцию ПАО «ЛУКОЙЛ»

Данная компания в отличие от двух предыдущих, показывает равномерный рост как балансовой, за исключением понижения её в начале 2016 года, так и рыночной. Стабильный рост рыночной стоимости позволяет компании увеличивать каждый год выплаты по дивидендам, то в свою очередь доказывает грамотное руководство финансовым потенциалом компании. Коэффициент корреляции за анализируемый период равен 90,18%, что объясняется симметричным ростом обеих стоимостей и показывает сильную прямую связь показателей.

Таблица 7. Зависимость рыночной стоимости акций Лукойл от уровня ВВП, инфляции, учетной ставки, курса доллара и дивидендов на одну акцию за период 2011-2016 (2кв.)

Как было указано ранее, увеличение рыночной стоимости акции, ведет к увеличению дивидендов в компании Лукойл в анализируемом периоде. Отсюда и сильная, прямая связь с ними равная 95, 51%. Почти такая же сильная связь и с изменением курса доллара и учетной ставки. В целом не значительная связь с инфляцией. ВВП в свою очередь влияет не сильно, но имеет обратную зависимость с рыночной стоимостью акций.

В целом можно сказать, что единственный показатель, который был выявлен в ходе исследования, который существенно влияет на рыночную стоимость компании, является учетная ставка, разрабатываемая Центральным Банком РФ. И это логично, так как от неё зависит не только по какой цене компания сможет привлечь заемные средства, но и то насколько доступны они доступны для привлечения их инвестором, а, следовательно, определяют его активность на фондовом рынке. Другие же факторы не показали какие-то общие взаимосвязи, которые можно было бы взять за общие для всех компаний отрасли. В заключении авторы пришли к выводу, что рыночная стоимость для каждой компании в отрасли зависит от разных показателей, что связанно с их различной акционерной, финансовой, управленческой политикой и размерами самой компании.