В статье поставлены задачи краткосрочного прогнозирования иностранных инвестиций в экономику региона на основе нейросетевой модели [1-3] и дальнейшего их оптимального распределения по видам экономической деятельности региона на основе аппарата динамического программирования [4-6]. Эмпирической основой для решения этих задач являются статистические временные ряды по иностранным инвестициям в Белгородскую область.

Нейросетевая модель прогнозирования иностранных инвестиций в Белгородскую область.

Цель решения первой задачи состоит в построении нейросетевой модели для прогнозирования временных рядов потребности региона в иностранных инвестициях на заданную перспективу на базе многослойного персептрона, обученного по алгоритму обратного распространения ошибки, а также формализация полной схемы применения данной модели для прогнозирования этих временных рядов на примере Белгородской области. Для нормирования показателей и понижения их размерности целесообразно применять относительные показатели ВРП и иностранных инвестиций на душу населения, а в дальнейшем прогнозные значения этих показателей путем перемножения их на прогнозируемую численность населения региона позволяют определить потребность региона в иностранных инвестициях.

Проиллюстрируем решение поставленной задачи на примере оценки потребности в привлечении иностранных инвестиций в Белгородскую область Российской Федерации.

Построим базу данных фактических рядов динамики численности населения, ВРП, объема иностранных инвестиций (сглаженного по методу скользящих средних с шагом 3) в Белгородской области на душу населения за десять лет (табл. 1).

Таблица 1. Моделируемые выборочные совокупности комплексной базы данных, характеризующие состояние и тенденции притока иностранных инвестиций и развитие экономической системы региона

Рассчитано на основе базы данных Росстата. 

На следующем шаге нам необходимо построить прогноз последующих значений численности населения и ВРП на душу населения на основе предыдущих значений. Понятно, что прогнозирующая нейронная сеть должна иметь всего один выход и столько входов, сколько предыдущих значений мы хотим использовать для прогноза – в нашем случае, 10 предыдущих лет. Проведенные расчеты позволили получить следующие результаты (табл. 2)

Таблица 2. Прогноз численности населения и ВРП на душу населения в Белгородской области.

Прогноз сделан только на три года в связи с тем, что уже на второй прогнозируемый год в его базу исходных данных попадают прогнозные значения за предыдущий год, а на третий год прогнозные данные за предыдущие два года. Поэтому, получается построение прогнозных значений по предыдущим прогнозным данным, что существенно снижает качество прогноза.

Исходя из предположения, что размер ВРП (P) на момент времени t зависит от объемов притока иностранных инвестиций I за десятилетний период Т, рассчитав параметры этой зависимости и преобразовав полученную зависимость в обратную получим следующие прогнозные значения притока иностранных инвестиций на душу населения, долл.

В нашем случае зависимость размера ВРП (P) на момент времени t от объемов притока иностранных инвестиций I за десятилетний период Т имеет следующий вид:

Р(t)= 73,032 + 0,249 I(T)

Соответственно прогнозные значения притока иностранных инвестиций рассчитываются по формуле:

I(t) = [(Р - 73,032) / 0,249]*L,

где L – прогнозное значение численности населения региона.

Таким образом, можем определить прогнозные значения притока иностранных инвестиций в Белгородскую область (табл. 3).

Таблица 3. Прогнозные значения притока иностранных инвестиций в Белгородскую область

Достижение этих значений притока иностранных инвестиций в Белгородскую область позволит реализовать принятый Правительством области комплекс мер по увеличению объема валового регионального продукта в 1,5 раза, в том числе за счет реализации долгосрочной целевой программы «Улучшение инвестиционного климата для привлечения инвестиций в экономику Белгородской области в 2011 – 2015 годах».

Оптимизация распределения потенциальных иностранных инвестиций в развитие региона по видам экономической деятельности

Для решения второй задачи предположим, что иностранные инвесторы выделят средства в размерах, указанных в таблице 2, которые должны быть распределены между видами экономической деятельности региона. Задачей регионального руководства является стимулирование такого распределения этих инвестиций, которое позволит получить максимальный валовый региональный продукт.

Решение поставленной задачи возможно на основе аппарата динамического программирования. Для этого требуется, используя принцип оптимальности Беллмана, построить план распределения инвестиций между видами экономической деятельности региона, обеспечивающий наибольший валовый региональный продукт [4,5].

В данном случае выделено семь видов экономической деятельности, в которые осуществляется иностранное инвестирование в регионах России и предложено разбиение единиц инвестируемых средств в размере 0,1 доли от прогнозируемого объема иностранных инвестиций.

Отсюда модель содержит 7 шагов (i=1, 2, …,7). Каждая отрасль при инвестировании в нее средств x тыс. долл. создает продукции fi(x) млн. руб., параметры зависимостей между объемами инвестиций и производства продукции определены на основе уравнений парной регрессии.

Приведем полученные результаты расчетов параметров уравнений парной регрессии по видам экономической деятельности по Белгородской области в виде таблицы 4.

Таблица 4. Функции прироста продукции (услуг) по видам экономической деятельности от вложения иностранных инвестиций по Белгородской области

Для реализации расчетного алгоритма динамического программирования представим функции прироста продукции (услуг) по видам экономической деятельности от вложения иностранных инвестиций по Белгородской области с шагом 0,1 доли объема иностранных инвестиций в табличной форме (табл. 5).

Таблица 5. Функции прироста продукции (услуг) по видам экономической деятельности от вложения иностранных инвестиций по Белгородской области в табличной форме

Составим математическую модель задачи.

1. Число шагов равно 7.

2. Пусть e – доля имеющихся средств, имеющихся в наличии перед данным шагом, и характеризующих состояние системы на каждом шаге.

3. Управление на i-ом шаге выберем u_i – доля имеющихся средств, инвестируемых в i-ый вид экономической деятельности.

4. Выигрыш f_i(u_i) на i-ом шаге – это объем продукции (услуг), которую производит i-ый вид экономической деятельности при инвестировании в него средств u_i. Если через выигрыш в целом обозначить валовый региональный продукт W, то W = ∑f_i(u_i).

5. Если в наличии имеются средства в количестве e  и в i-ый вид экономической деятельности инвестируется u, то для дальнейшего инвестирования остается (e-u). Таким образом, если на i-ом шаге система находилась в состоянии e и выбрано управление u, то на (i+1)-ом шаге система будет находиться в состоянии (e-u), и, следовательно, функция перехода в новое состояние имеет вид: fi(e, u) = e-u.

6. На последнем (i=7) шаге оптимальное управление соответствует доле имеющихся средств, имеющихся в наличии, а выигрыш равен доходу, приносимым последним видом экономической деятельности: u₇(e)=e, F₇(e)=f₇(e).

7. Согласно принципу оптимальности Беллмана, управление на каждом шаге нужно выбирать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех оставшихся до конца процесса шагах, включая выигрыш на данном шаге. Основное функциональное уравнение примет вид

F_i(e_i) = max(x_i≤ e_i)(f_i(u_i) + F_i+1(e_i-u_i))

Проведем пошаговую оптимизацию (полное решение задачи расчета условий оптимизации распределения иностранных инвестиций по видам экономической деятельности в Белгородской области приведено в Приложении 3). Решение задачи было реализовано на он-лайн-калькуляторе – Динамическое программирование [6]

I этап. Условная оптимизация.

1-ый шаг. k = 7.

Предположим, что все средства в количестве x₇ = 1.0 вложены вид экономической деятельности № 7. В этом случае, максимальный доход составит f₇(u₇) = 16.76, следовательно, F₇(e₇) = f₇(u₇).

2-ый шаг. k = 6.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между видами экономической деятельности № 6, 7. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F₆(e₆) = max(x₆ ≤ e₆)(f₆(u₆) + F₇(e₆-u₆))

3-ый шаг. k = 5.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между видами экономической деятельности № 5, 6, 7. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F₅(e₅) = max(x₅ ≤ e₅)(f₅(u₅) + F₆(e₅-u₅))

4-ый шаг. k = 4.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между видами экономической деятельности № 4, 5, 6, 7. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F₄(e₄) = max(x₄ ≤ e₄)(f₄(u₄) + F₅(e₄-u₄))

5-ый шаг. k = 3.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между видами экономической деятельности № 3, 4, 5, 6, 7. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F₃(e₃) = max(x₃ ≤ e₃)(f₃(u₃) + F₄(e₃-u₃))

6-ый шаг. k = 2.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между видами экономической деятельности № 2, 3, 4, 5, 6, 7. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F₂(e₂) = max(x₂ ≤ e₂)(f₂(u₂) + F₃(e₂-u₂))

7-ый шаг. k = 1.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между видами экономической деятельности № 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F₁(e₁) = max(x₁ ≤ e₁)(f₁(u₁) + F₂(e₁-u₁))

Поясним построение таблиц и последовательность проведения расчетов, которые возникают при использовании он-лайн калькулатора-Динамическое програмирование [6].

Столбцы 1 (вложенные иностранные инвестиции), 2 (вид экономической деятельности) и 3 (остаток иностранных инвестиций) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 7-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).

В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.

Этап II. Безусловная оптимизация.

Из таблицы 7-го шага имеем F*₁(e⁰ = 1.0) = 564.8 млн. руб. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e⁰ = 1.0 равен 564.8 млн. руб.

Из этой же таблицы получаем, что на сельское хозяйство, охоту и лесное хозяйство следует выделить u*₁(e⁰ = 1.0) = 0.1

При этом остаток средств составит:

e¹ = e⁰ – u¹

e¹ = 1.0 – 0.1 = 0.9

Из таблицы 6-го шага имеем F*₂(e¹ = 0.9) = 440.66 млн. руб. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e¹ = 0.9 равен 440.66 млн. руб.

Из этой же таблицы получаем, что на обрабатывающие производства следует выделить u*₂(e¹ = 0.9) = 0.1

При этом остаток средств составит:

e² = e¹ – u²

e² = 0.9 – 0.1 = 0.8

Из таблицы 5-го шага имеем F*₃(e² = 0.8) = 233.85 млн. руб. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e² = 0.8 равен 233.85 млн. руб.

Из этой же таблицы получаем, что на строительство следует выделить u*₃(e² = 0.8) = 0.6

При этом остаток средств составит:

e³ = e² – u³

e³ = 0.8 – 0.6 = 0.2

Из таблицы 4-го шага имеем F*₄(e³ = 0.2) = 0. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e³ = 0.2 равен 0.

Из этой же таблицы получаем, что на оптовую и розничную торговлю следует выделить u*₄(e³ = 0.2) = 0.

При этом остаток средств составит:

e⁴ = e³ – u⁴

e⁴ = 0.2 – 0 = 0.2

Из таблицы 3-го шага имеем F*₅(e⁴ = 0.2) = 0. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e⁴ = 0.2 равен 0.

Из этой же таблицы получаем, что на транспорт и связь следует выделить u*₅(e⁴ = 0.2) = 0.

При этом остаток средств составит:

e⁵ = e⁴ – u⁵

e⁵ = 0.2 – 0 = 0.2

Из таблицы 2-го шага имеем F*₆(e⁵ = 0.2) = 0. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e⁵ = 0.2 равен 0.

Из этой же таблицы получаем, что на финансовую сферу следует выделить u*₆(e⁵ = 0.2) = 0.

При этом остаток средств составит:

e⁶ = e⁵ – u⁶

e⁶ = 0.2 – 0 = 0.2

Последнему виду экономической деятельности – недвижимости достается 0.2.

Итак, иностранные инвестиции в долях от общего их объема необходимо распределить следующим образом (табл. 6).

Таблица 6. Оптимальное относительное распределение иностранных инвестиций по видам экономической деятельности Белгородской области

Полученное распределение иностранных инвестиций по видам экономической деятельности в Белгородской области может обеспечить дополнительный валовый региональный доход, равный 564.8 млн. руб. в 2014 году.

Теперь преобразуем относительные показатели распределения иностранных инвестиций по видам экономической деятельности Белгородской области в абсолютные показатели, по результатам чего заполним таблицу 7.

Таблица 7. Оптимальное распределение иностранных инвестиций по видам экономической деятельности Белгородской области

Таким образом, предложенное распределение иностранных инвестиций по видам экономической деятельности Белгородской области позволит увеличить среднегодовой валовый региональный продукт приблизительно на 10% от ожидаемых объемов.

Заключение

Таким образом, комплекс математических моделей нейросетевого моделирования и динамического программирования может быть использован для краткосрочного прогнозирования иностранных инвестиций в экономику региона и дальнейшего их оптимального распределения по видам экономической деятельности с целью обеспечения дополнительного максимального валового регионального продукта.

В этой связи актуальной становится задача выбора упорядоченного набора M точек визуализации из первоначального упорядоченного набора N точек визуализации.

Критерий выбора упорядоченных точек визуализации

В качестве критерия выбора точек рационально выбрать условие минимизации площади находящейся между линией, построенной по M упорядоченным точкам (линия Lm ), и линии, построенной по N, упорядоченным точкам (линия Ln). Такой критерий эквивалентен интегралу квадрата отклонения точек линии Lm от соответствующих точек линии Ln.

Пример формирования линии. Для примера: N=11, M=6.

Так как узловые точки совпадают, то общая площадь между линиями может быть представлена в виде суммы площадей, заключенных между узловыми точками. При этом критерий оптимизации выбора точек из множества  записывается в виде суммы.

Так как общее число точек множества  равно, то нетрудно заключить, что если первые  M-1 точек последовательностей совпадают, то интервал между последними точками будет содержать N-M  точек множества  и наоборот. Кроме того, общее число точек – N.

Решение задачи минимизации критерия методом дискретного динамического программирования

Представление критерия в виде суммы дает основание использовать принцип метода дискретного динамического программирования [2]. Решение данной оптимизационной задачи удобно представить в виде ограниченного графа на сетке решений. Для примера: красной пунктирной линией отмечены «условно» оптимальные пути, красной линией отмечен оптимальный путь. (рис. 2) [3,4].

Пример графа решения задачи методом дискретного динамического программирования

По горизонтальной оси откладываются уровни решения задачи, причем число уровней соответствует числу точек множества . По вертикальной оси – точки множества , в которые можно попасть на i-том уровне. Очевидно, в силу ограничений каждый уровень (кроме первого и последнего) содержит N-M+1 точек.

При формировании третьего уровня, в каждую точку  уровня 3 возможно попасть многими путями из точек 2-го уровня (рис. 2). При этом каждому пути  будет соответствовать свое значение суммы площадей. Очевидно, чем больше номер уровня, тем больше путей могут привести в эту точку, и тем больше различных значений площадей будет соответствовать этой точке. Выберем путь в точку , который соответствует минимальной площади. С этой целью для каждой точки ищется такой путь, который обеспечивает минимум критерия. На рисунке 2 в качестве примера оптимальные пути для точек уровня 3 выделены красным цветом. Описанная выше процедура формирования точек уровня 3 повторяется для следующих уровней. Последний уровень M имеет только одну точку , попасть в которую можно из точек предыдущего уровня. Причем, каждому пути будет соответствовать свое значение площади. Теперь возможно найти единственный путь, обеспечивающий минимум критерия и пройти его по оптимальным точкам в обратном направлении.

Перечисленная последовательность и будет оптимальным набором точек множества, обеспечивающих минимум критерия. Зная номера точек множества нетрудно найти оптимальное число точек между узлами , которые в дальнейшем не будут участвовать в процессе описания дорожной сети. Для оценки эффективности предложенного алгоритма проводится оптимизация набора точек визуализации. Особенностью приведенного выше метода является максимальное сохранение степени кривизны исходного линейного объекта при заданных коэффициентах фильтрации.

Пример использования  принципов оптимальной фильтрации точек дорожной сети

Работоспособность предложенного алгоритма была исследована на базе упорядоченной последовательности точек, представленных в OSM [7] в формате WGS84 в виде широты/долготы (WGS84— трёхмерная система координат для позиционирования на Земле, в которой за основу взят эллипсоид с большим радиусом — 6 378 137 м (экваториальный) и меньшим — 6 356 752,3142 м (полярный)). Так как в качестве критерия выбора точек было поставлено условие минимизации площади между линией, построенной по M упорядоченным точкам, и линии, построенной по N упорядоченным точкам (N>M), то возникла необходимость подсчета площадей произвольных многоугольников, лежащих на эллипсоиде и задаваемых точками, геоцентрические координаты которых известны.Для решения этой задачи координаты точек пути переводятся в координаты Меркатора[6].

Как уже отмечалось выше, в качестве критерия выбора точек было поставлено условие минимизации площади между линией, построенной по M упорядоченным точкам визуализации, и линии, построенной по N упорядоченным точкам визуализации (N>M). Таким образом, задача нахождения критерия сводится к задаче нахождения площади произвольного многоугольника, заданного координатами вершин. Для подсчета площади берется произвольная точка О (например, начало координат) и вычисляется площадь многоугольника (рис.3) при обходе вершин в последовательности 1,2,…,N [4].

подсчет площади многоугольника (не самопересекающийся многоугольник)

Для случая самопересекающегося многоугольника для каждой пары отрезков решается задача о пересечении двух прямых. Если точка пересечения существует, то определяется, принадлежит ли она отрезкам, образующим многоугольник. Далее самопересекающийся многоугольник делится в точке пересечения на не самопересекающиеся многоугольники, площадь которых находится изложенным выше методом.

Построенная по полученному оптимальному набору точек кривая представлена на рисунке 4. Ошибка фильтрации точек относительно первоначальной кривой при уровне фильтрации 2  составляет S_ф=1,1у.е

Желаемый набор из M=7 точек визуализации

Для оценки работоспособности разработанного математического и программного обеспечения был проведен тестовый расчет при N=54 при коэффициентах фильтрации 2, 3 и 5. Результаты тестового расчета показали, что кривизна исходного объекта сохраняется даже при уменьшении числа точек с 54 до 10.

Заключение

Как уже отмечалось, приведенный алгоритм может быть применен в информационных системах различного назначения для фильтрации большого объема данных при обработке линейных объектов, в частности, маршрутов (треков), полученных с помощью автоматизированных средств записи перемещения объектов (GPS/ГЛОНАСС-приёмники), для уменьшения времени изображений различных линейных объектов в ГИС.

Кроме того, многие специализированные навигационные устройства позволяют загружать в память пути (треки) с ограниченным количеством точек (например, максимальное количество точек пути, которые можно загрузить в популярные устройства серии FORERUNNER производства компании GARMIN составляет 500 точек) Приведенный метод позволяет осуществлять предварительную обработку данных для загрузки в такие устройства.