В тематическом планировании дисциплины «Физика, математика» для студентов лечебного педиатрического и стоматологического факультетов раздел математики «Дифференциальные уравнения» мы включили в первый модуль, так как он востребован при изучении других дисциплин. Краткая теория дифференциальных уравнений, которую мы излагаем в содержании учебного пособия, включает в себя понятие дифференциального уравнения, общее и частные решения дифференциального уравнения. Из уравнений первого порядка рассматриваем уравнение с разделяющимися переменными и однородные уравнения. Алгоритм решения дифференциального уравнения достаточно легко усваивается студентами и не вызывает трудностей, что позволяет уделить больше времени решению профессионально ориентированных задач на составление дифференциального уравнения.

На занятиях преподаватели кафедры акцентируют внимание обучающихся на актуальности изучаемого материала (Ю.В. Морозов), так как приобретенные знания и навыки будут нужны им в дальнейшей учебной и практической деятельности [4]. На занятиях решаются биологические и медицинские задачи, обучающимся демонстрируется применение математических знаний, как в медицинской практике, так и в усвоении знаний по другим разделам физики и смежным дисциплинам. Во втором семестре студенты изучают дисциплину «Биофизика и медицинская аппаратура» и на практическом занятии по теме «Моделирование биофизических процессов» им предстоит решать задачи с помощью дифференциальных уравнений. Студенты объединяются в малые группы, им предлагается исследовать по заданной схеме три различные модели: модель естественного роста численности популяции (модель Мальтуса), модель изменения численности популяции с учетом конкуренции между особями (модель Ферхюльста), модель «хищник-жертва» (модель Вольтерра). Наиболее продвинутые студенты разбирают модель «хищник-жертва», поскольку требуется хорошая математическая подготовка, нужно решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, которую в общем виде аналитически решить нельзя, и задача сводится при определенных условиях к системе алгебраических уравнений [3]. Студент изучает материал, взаимодействуя с другими обучающимися, каждая группа представляет свои модели, интерпретирует полученные результаты, возникает дискуссия по изучаемому материалу. Таким образом, обучающиеся вовлекаются в исследовательский процесс, узнают что-то новое в коллективной работе и в итоге обсуждения. По мнению А.К. Марковой, «проблемное обучение сопровождается ситуациями свободного выбора заданий, атмосферой обсуждений, что увеличивает мотивацию престижности обучения, мотивацию рвения к компетентности» [5].

Самый большой интерес у студентов вызывает разбор фармакокинетической модели, которая предполагается для описания кинетики изменения концентрации введенного в организм лекарственного препарата.  Студенты работают в группах, им предлагается рассмотреть модель для трех случаев: 1) только инъекция; 2) только инфузия, это соответствует случаю, когда пациенту поставили только капельницу; 3) комбинированное введение препарата, это соответствует случаю, когда пациенту сделали укол и одновременно поставили капельницу. Для создания этих моделей студентам дается общая схема постановки задачи и кинетическое уравнение для массы лекарства в крови. Студенты в малых группах составляют и решают дифференциальные уравнения. Затем, идет представление моделей, интерпретация полученных результатов, графиков.

В конце занятия проводится самостоятельная работа, обучающиеся решают задачу для одного из трех способов введения лекарственного препарата, так как для разных способов решение имеет разный уровень сложности.

Задание. Проанализируйте изменение массы лекарственного препарата в крови при одном из трех способов введения (на ваш выбор) и для различных параметров m0, Q и k.

Для этого:

1. Запишите закон изменения m(t) для заданных параметров.

2. Постройте серии графиков m(t).

3. Оцените из графиков характерные величины:

а) Время, когда масса препарата в крови уменьшится в 2 раза, по сравнению с первоначальной при 1-м способе введения.

Сравните с теоретическим значением.

б) Время, когда m = 0,9 mcт  при 2-м способе введения лекарства.

Сравните с теоретическим значением.

В Рабочих тетрадях для внеаудиторной работы студенты самостоятельно решают аналогичные ситуационные задачи.

Данная методика изучения дифференциальных уравнений методом проблемно-развивающего обучения является результативной, практико-ориентированные задания содействуют формированию познавательной активности, положительной мотивации к обучению, эффективному формированию профессиональных компетенций.

Очевидно, что популярность детерминированного хаоса в области прикладных и фундаментальных исследований в дальнейшем будет только возрастать, однако для оптимизации процесса разработки источников хаотических колебаний с требуемыми характеристиками необходим простой и точный инструмент для моделирования устройств со сложной динамикой на стадии их разработки. В противном случае процесс разработки сведётся к методу последовательных приближений – изготовлению нового экспериментального макета путём исследования и корректировки предыдущего. Однако неизвестно приведёт ли данный метод к какому-либо положительному результату, особенно при разработке СВЧ-генераторов хаоса [1, с. 105]. В любом случае данный метод требует существенных временных и материальных затрат. Таким образом, до этапа макетирования целесообразно провести моделирование будущего генератора хаотических колебаний. В низкочастотной области с моделированием подобных схем проблем не возникает: существует множество простых моделей нелинейных элементов, в том числе биполярных и полевых транзисторов [2, с.1 , 3, с. 867], предоставляемых разработчиками и включенных в широко распространённые системы автоматизированного проектирования (САПР). Однако с переходом в диапазон сверхвысоких частот необходимо кроме основных характеристик компонентов учитывать, их паразитные параметры, а также инерционность обратной связи, и распределённый характер составляющих импеданса активного элемента [1, с. 121, 4, с. 42]. Задача моделирования генератора хаоса на основе СВЧ-диодов осложняется тем, что доступных моделей подобных активных элементов, которая может быть использована при моделировании генератора хаоса в САПР, на данный момент нет.

В то же время доступен другой метод моделирования, состоящий в анализе системы уравнений, составленной на основе принципиальной или эквивалентной схемы [1, с. 203, 5, с. 421, 6, с. 4]. При этом существует возможность учесть основные паразитные параметры и эффекты [7, с. 491, 8, с. 330, 9, с. 53]. Для моделирования динамических систем со сложной и хаотической динамикой, аналитические методы решения дифференциальных уравнений либо полностью неприменимы, либо их использование сопряжено с существенными трудностями, по этой причине для получения практически обозримых результатов используются численные методы решения [10, с. 2, 11, с. 110, 12, с. 128, 13, с. 19].

Однако, применение численных методов для решения систем дифференциальных уравнений, обладающих сложной нерегулярной динамикой, может привести к некорректным результатам [11, с. 112]. Исследуемая система может иметь регулярный, но более сложный аттрактор, витки которого близко расположены, что может приводить к перескокам численной траектории в пределах аттрактора вследствие ошибок в вычислениях, связанных с некорректностью решаемой задачи.  Для проверки достоверности полученного численного решения, необходимо проводить сравнение результатов, полученных при разных шагах интегрирования (при разных величинах допуска ошибки) [11, с. 112]. Если при разных шагах интегрирования полученное численное решение обладает свойствами хаотичности, то можно сделать вывод, что причиной хаотичности решения являются свойства самой динамической системы, а не ошибки численного решения.

В большинстве научных источников система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемую нелинейную систему, решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка [1, с. 53, 12, с. 132, 14, с. 95], однако, в большом количестве работ, посвященных исследованию систем со сложной и хаотической динамикой, метод решения системы дифференциальных уравнений не указан. При этом какое-либо обоснование выбора того или иного метода численного решения систем дифференциальных уравнений полностью отсутствует. Упоминание о точности полученного численного решения при анализе систем со сложной и хаотической динамикой, либо хотя бы грубая его оценка также встречается в научной периодической печати крайне редко, хотя численному исследованию динамических систем с хаотической динамикой посвящено достаточно большое количество работ как в России, так и за рубежом. При этом возникает вопрос, имеющий важное практическое значение: насколько точен и эффективен тот или иной метод численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему со сложной или хаотической динамикой.

При этом анализ точности численного решения различными методами следует проводить на специальной тестовой задаче, к которой в данном случае предъявляются особенные требования, главное из которых состоит в том, что при изменении управляющих параметров системы в ней должны наблюдаться различные динамические режимы, в том числе режим динамического хаоса.

Одними из наиболее распространенных активных элементов, на основе которых возможна практическая реализация генераторов хаотических колебаний СВЧ- и ММ-диапазона, являются диод Ганна и лавинно-пролётный диод. Что делает целесообразным разработку тестовой системы на основе эквивалентной схемы, включающей указанные активные элементы. Динамические системы на основе указанных активных элементов относятся к классу регенеративных систем, поэтому подобная тестовая система будет описывать не только реальные радиотехнические устройства, в том числе СВЧ-диапазона, включающие лавинно-пролётные диоды или диоды Ганна, но также и все устройства, относящиеся к классу регенеративных системы.

На рис.1 представлена теоретическая модель генератора на диоде Ганна по переменному току.

Рис.1. Эквивалентная схема СВЧ-генератора на диоде Ганна

На рис. 1 использованы следующие обозначения: R, L, C – эквивалентные значения сопротивления потерь, индуктивности и ёмкости резонатора; источник напряжения V_S представляет собой поле внешнего источника в резонаторе; R_d и G_d – активная и реактивная составляющие импеданса активного элемента; R_l – сопротивление нагрузки.

Дифференциальное уравнение, составленное на основе эквивалентной схемы СВЧ-генератора на диоде Ганна и описывающее динамику системы в различных режимах работы, после незначительных логически очевидных преобразований и нормализации имеет следующий вид [15, с. 327]:

       (1)

где dq/dt = i – мгновенное значение тока, τ = ω_rt – нормализованное время, ω_r=(LC)^-1/2 – резонансная частота колебательного контура, q_s и Ω – заряд, эквивалентный амплитуде и нормализованная угловая частота поля внешнего источника, присутствующего в резонаторе. Коэффициенты a, b, c, d – связаны с активной и реактивной частями импеданса диода Ганна и резонатора следующим образом:

Очевидно, что коэффициенты a, b, c, d сложным образом зависят от величины напряжения смещения через параметры β₁, β₃, α₁ и α₃. Так как α₁ и α₃ связаны с параметрами эквивалентной емкости, то их значения определяются резонансной частотой. Параметры β₁ и β₃ связаны с эквивалентным сопротивлением диода Ганна, поэтому они играют большую роль в анализе возникновения колебаний. Кроме того, значение параметра β₃ много меньше по сравнению с величиной β₁, поэтому параметр d принимает значения меньшие величины параметра c [15, с. 328].

Необходимо отметить, что получить решение уравнения (1) весьма затруднительно [15, с. 328], поэтому для упрощения дифференциального уравнения целесообразно ввести новую переменную p = dq/dt. В результате подобного преобразования уравнение примет следующий вид:

    (2)

Традиционно для тестирования численных методов решения дифференциальных уравнений используются тестовые задачи, точное аналитическое решение которых известно, что позволяет сравнить полученное численное решение с точным как для качественного анализа, так и для количественной оценки погрешности численного решения [16,с. 3]. Однако, точное аналитическое решение возможно только в гармоническом режиме работы исследуемой динамической системы. В случае исследования динамической системы в режиме работы, отличном от гармонического, особенно в режим динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [17, с. 2], которое получено путём тех или иных упрощений и допущений в постановке задачи, что не позволяет использовать его в качестве точного решения при оценке численных методов. Таким образом, требование наличия точного аналитического решения тестовой задачи в рассматриваемом случае теряет свою актуальность. В данной ситуации необходимо использовать иные способы оценки точности численного решения.

Таким образом, составленное дифференциальное уравнение (2) описывает динамику широкого спектра динамических систем, относящихся к классу регенеративных систем, в том числе СВЧ-генераторов на основе лавинно-пролётных диодов и диодов Ганна в различных режимах работы, в том числе режиме динамического хаоса [18, с. 41]. Поэтому его целесообразно использовать в качестве тестовой задачи для оценки точности и эффективности численных методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих системы с сложной и хаотической динамикой. Преимущество использования данного уравнения в качестве тестового, кроме того, что оно описывает динамику широкого спектра реальных систем и устройств, состоит в том, что в зависимости от заданного набора значений параметров, возможно получить различные динамические режимы, в том числе автоколебательный режим, многочастотный режим и режим динамического хаоса.

Источники финансирования и выражение признательности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках научного проекта № 16-07-00631 а.

Для моделирования систем с хаотической динамикой широко используются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, составленных на основе принципиальной или эквивалентной схемы исследуемой системы [1, с. 205, 2, с. 74]. Однако, применение численных методов в данном случае может привести к некорректным результатам [2, с. 86]. Система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемую нелинейную систему, в большинстве работ решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка, однако, часто метод решения не указывается. При этом какое-либо обоснование выбора численного метода полностью отсутствует, также, как и хотя бы грубая оценка точности решения. При этом возникает вопрос, имеющий важное практическое значение: насколько точен и эффективен тот или иной метод численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему с хаотической динамикой?

Постановка задачи

Для тестирования численных методов обычно используются задачи, точное аналитическое решение которых известно [3, с. 2]. В случае исследования динамической системы в режиме динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [4, с. 5], которое получено путём существенных упрощений, что не позволяет использовать его при оценке точности численных методов.

В работе для тестирования численных методов использована система дифференциальных уравнений [5, с. 327], составленная на основе эквивалентной схемы СВЧ-генератора на диоде Ганна, подходящая также для моделирования широкого класса регенеративных динамических систем [6, с. 329, 7, с. 41, 8, с. 124], которая имеет вид:

где dq/dt = i – мгновенное значение тока, τ = ω_rt – нормализованное время, ω_r=(LC)^-1/2  – резонансная частота колебательного контура, q_s и Ω – заряд, эквивалентный амплитуде и нормализованная угловая частота поля внешнего источника, a, b, c, d – коэффициенты, связанные с импедансом диода Ганна и резонатора, p = dq/dt – переменная, введенная для упрощения уравнения. Хаотичность решения подтверждается результатами спектрального и бифуркационного анализа, а также значениями старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности [5, с. 328].

В MATLAB для численного решения систем дифференциальных уравнений предлагается несколько алгоритмов: одношаговый явный метод Рунге-Кутта 4/5 порядка (ode45), одношаговый явный метод Рунге-Кутта 2/3 порядка (ode23), многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка (ode113), многошаговый метод переменного порядка, основанный на формулах численного дифференцирования (ode15s), одношаговый метод, использующий модификацию формулы Розенброка 2-го порядка (ode23s), неявный метод трапеций с интерполяцией (ode23t), реализация метода TR-BDF2 (ode23tb).

За исключением некоторых общих рекомендаций, выбор того или иного численного метода возлагается на конечного пользователя. При этом неправильный выбор численного метода может привести к существенному увеличению времени решения, а также получению качественно и количественно неверного результата, либо сбою программы.

Основными критериями эффективности численных методов являются их вычислительная сложность и точность получаемых решений [3, с. 3]. Оценка точности численного метода при анализе системы с хаотической динамикой может быть получена при сравнении с более точным численным решением [9, с. 343]. При этом анализируется текущая фактическая погрешность, то есть разность во всех точках вывода между полученным численным решением и более точным численным решением. Оценивались также значения глобальной и среднеквадратичной ошибки численного решения. Кроме того, так как в качестве тестовой задачи выбрана система уравнений, описывающих реальную радиотехническую систему, то целесообразно провести сравнение оценки основных радиотехнических показателей [3, с. 4, 10, с. 19]: ширины спектра, гистограммы распределения и корреляционной функции выходного хаотического колебания при различных шагах интегрирования.

Динамический режим тестовой системы

Величина заряда q_s, эквивалентного амплитуде поля внешнего источника, равна конечному положительному значению. При этом, значения остальных параметров тестового уравнения подобраны таким образом, чтобы после установления колебаний наблюдался режим динамического хаоса, при этом хаотичность решения подтверждается анализом фазового портрета и спектра решения, которые качественно соответствуют аналогичным характеристикам динамических систем в режиме динамического хаоса, а также результатами бифуркационного анализа данной системы, расчетом старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности, которые приведены в работе [5, с. 328]. Значения управляющих параметров, которые, как и в предыдущем случае, подбирались в соответствии с их возможным диапазоном значений с целью сохранения физической адекватности тестовой системы, соответственно равны: a = 1, b = 1, c = -0,001, d = 0,015, q_s = 0,15, Ω = 1,27. На рис. 1, рис. 2, рис. 3 представлены временная реализация полученного численного решения, его фазовый портрет и спектр, соответственно.

Рис.1. Временная реализация численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Рис.2. Фазовый портрет численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Рис.3. Спектр численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Полученные результаты

В качестве основного критерия точности численных методов предлагается использовать так называемую фактическую погрешность, то есть погрешность во всех точках вывода [5, с. 329]. Это позволяет не только сравнить точность методов численного решения, на примере составленной тестовой системы уравнений, в рамках одного динамического режима исследуемой системы, но и в дальнейшем провести сравнение выбранных численных методов в различных динамических режимах, что позволит составить рекомендации по выбору того или иного численного метода в зависимости от специфики поставленной задачи. Кроме того, так как составленная тестовая система дифференциальных уравнений описывает реальную радиотехническую систему – СВЧ-генератор на диоде Ганна, то целесообразно провести сравнение точности оценки основных радиотехнических показателей генератора при использовании различных численных методов. В режиме автоколебаний основными радиотехническими показателями исследуемой системы является амплитуда и частота колебаний СВЧ-генератора [11, 12, с. 866], в многочастотном режиме – частоты гармонических составляющих спектра выходного сигнала и значения решения в точках, соответствующих локальному максимуму решения, в режиме динамического хаоса [13, с. 41] – ширина спектра генерируемого хаотического колебания и значения решения в точках, соответствующих локальному максимуму решения.

Диапазон интегрирования по нормализованному времени τ = ω_rt тестовой системы уравнений во всех динамических режимах составляет [0;700]. Максимальный шаг интегрирования выбран равным h = 0,05. При установке большего значения шага интегрирования возникали существенные сложности с сохранением постоянства шага в течение всего интервала интегрирования, при постоянных значениях параметров RelTol и AbsTol для сохранения равных условий и поддержания чистоты эксперимента, в связи с тем, что в программах численного решения в MATLAB внедрен алгоритм автоматического подбора шага. При анализе численных результатов с переменным шагом невозможно отделить влияние на точность численного решения одних управляющих параметров от других. В качестве более точного численного решения тестовой задачи, с которым производится сравнение всех остальных численных результатов выбрано решение с шагом h = 0,000195. Получить решение с меньшим шагом в течение практически обозримого времени не удалось. Кроме того, при чрезмерном уменьшении шага есть вероятность значительного увеличения вычислительной погрешности, что будет ограничивать точность численного решения с меньшим шагом. При этом для точности того или иного численного метода использовано свое более точное численное решение с шагом h = 0,000195.

Для всех рассмотренных численных методов наблюдается быстрый рост текущей фактической ошибки (рис. 4) на начальном участке интервала интегрирования. Далее на интервале интегрирования наблюдаются резкие скачки фактической ошибки, однако, как диапазон возможных значений, так и максимальные значения фактической ошибки практически постоянны на интервале интегрирования для всех рассмотренных численных методов. Максимальное значение фактической ошибки на интервале интегрирования ограничено размахом колебаний численного решения. Для всех рассмотренных методов численного решения величина фактической ошибки в начале интервала интегрирования снижается с уменьшением шага интегрирования (рис.5а). Наименьшую фактическую ошибку в начале интервала интегрирования продемонстрировал метод ode45, наибольшую – ode15s. Высокую точность в начале интервала интегрирования продемонстрировали также методы ode113 и ode23. На рис. 5 и далее использованы следующие обозначения: (ode45 – “o”; ode23 – “+”; ode113 – “*”; ode15s – “x”; ode23s – “□”; ode23t – “●”; ode23tb – “■”).

Рис.4. Временная зависимость модуля фактической ошибки численного решения для метода ode45 и шагов интегрирования h = 0,05 (а) и h = 0,00039 (б)

Очевидно, что подобный характер изменения текущей фактической ошибки является следствием хаотической динамики тестовой системы. Поэтому при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих системы с хаотической динамикой, получить точную временную реализацию возможно только на весьма ограниченном интервале интегрирования. Следует отметить, что время, за которое текущая фактическая ошибка достигает своего максимального значения, при использовании методов ode23, ode113, ode23s и ode23t увеличивается с уменьшением шага интегрирования. Таким образом, при необходимости получения точной временной реализации численного решения системы дифференциальных уравнений в режиме динамического хаоса, необходимо значительно уменьшать величину шага интегрирования. Для всех исследованных численных методов, кроме ode15s, наблюдается тенденция незначительного снижения среднеквадратичной ошибки с уменьшением шага интегрирования.

Рис. 5. Зависимость минимальной фактической ошибки (а) и ширины спектра выходного хаотического колебания (б) от шага интегрирования

Основными радиотехническими параметрами системы с хаотической динамикой являются спектральные, корреляционные и статистические свойства выходного хаотического колебания. В связи с этим целесообразно при оценке точности численных методов провести анализ именно указанных параметров выходного колебания, полученных при различных значениях управляющих параметров численных методов. В качестве критериев точности численных методов использованы следующие параметры: гистограмма распределения, ширина спектра, ширина нормированной корреляционной функции и уровень боковых лепестков нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания.

В связи с тем, что получить хотя бы приблизительные оценочные значения указанных параметров не представляется возможным оценка точности численных методов осуществлялась путём сравнения значений данных параметров, полученных при различных шагах интегрирования.

Из анализа зависимости ширины спектра выходного хаотического колебания от шага интегрирования (рис.5б) видно, что для всех исследованных численных методов результат оценки ширины спектра численного решения различен. Кроме того, ни для одного исследованного численного метода не наблюдается тенденции асимптотического приближения оценки ширины спектра хаотического колебания к какому-либо значению с уменьшением шага интегрирования. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки ширины спектра выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23t, ode23 и ode15s.

На приведенных гистограммах распределения выходного хаотического колебания (рис.6) отчетливо видны два максимума распределения (рис. 6а), возникающие вследствие того, что хаотический аттрактор имеет две притягивающие области [5, с. 327]. Из анализа гистограмм распределения видно, что изменение шага интегрирования приводит к значительному изменению статистических свойств хаотического колебания. При этом качественные изменения гистограмм распределения выходного хаотического колебания при использовании методов ode23t и ode23tb существенно меньше, чем при использовании остальных рассмотренных численных методов. Следует отметить, что для некоторых значений шага интегрирования при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки статистических характеристик колебания (рис.6б), возникающие вследствие того, что для указанных значений шага на временной реализации наблюдается участок регулярного движения. Следует отметить, что указанное явление имеет место только при использовании одношаговых численных методов решения систем дифференциальных уравнений. При использовании многошаговых методов динамический режим системы оценивается точно при любых использованных значениях шага интегрирования.

Рис.6. Гистограммы распределения выходного хаотического колебания для метода ode45 и шагов интегрирования h = 0,0125 (а) и h = 0,0015625 (б)

Рис. 7. Зависимость ширины нормированной корреляционной функции хаотического колебания от шага интегрирования

Рис. 8. Зависимость уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции хаотического колебания от шага интегрирования

Из анализа зависимости оценки ширины нормированной корреляционной функции от шага интегрирования (рис.7) видно, что для некоторых значений шага при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки указанного параметра, возникающие вследствие неверной оценки динамического режима системы. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки ширины нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23t и ode23tb.

Из анализа зависимости оценки уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции от шага интегрирования (рис.8) видно, что для некоторых значений шага при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки указанного параметра, возникающие также вследствие неверной оценки динамического режима системы. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23tb, ode15s и ode23t.

Из анализа зависимости количества обращений к функции вычисления правых частей видно, что наибольшую эффективность продемонстрировали методы ode23t и ode15s, в то время как наименее эффективными оказались методы ode45 и ode23s. Скорость увеличение количества обращений к функции вычисления правых частей у всех методов приблизительно равна. Быстрее всего численное решение тестовой системы дифференциальных уравнений, описывающей динамическую систему в хаотическом режиме работы, обеспечивается при использовании методов ode23 и ode113. Наибольшее время, для численного решения потребовалось при использовании метода ode23s. Скорость увеличения времени, затрачиваемого на численное решение тестовой системы, приблизительно равна для всех использованных численных методов.

Заключение

Таким образом, для всех рассмотренных численных методов наблюдается быстрый рост фактической ошибки на начальном участке интервала интегрирования. Поэтому при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы с хаотическим поведением, получить точную временную реализацию численного решения возможно только на весьма ограниченном интервале интегрирования. Анализ полученных результатов говорит о том, что вариация шага интегрирования приводит к значительному изменению спектральных, статистических и корреляционных свойств численного решения. Для некоторых значений шага интегрирования при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки радиотехнических параметров колебания, возникающие вследствие неверной оценки динамического режима системы. Следует отметить, что указанное явление имеет место только при использовании указанных одношаговых численных методов решения систем дифференциальных уравнений.

Наибольшую эффективность продемонстрировали методы ode15s и ode23t по количеству обращений к функции вычисления правых частей и методы ode23 и ode113, продемонстрировавшие наименьшее время вычислений.

Источники финансирования и выражение признательности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках научного проекта № 16-07-00631 а.

Целью данной работы является создание, в виде законченного программного продукта модели движения тела в вязкой среде, позволяющей наблюдать за такими характеристиками тела, как скорость, ускорение, кинетическая, потенциальная энергии, работа сил сопротивления в каждый момент времени. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:
- Выбран способ решения получаемых дифференциальных уравнений. По нашему мнению, для данной задачи наиболее прост и удобен метод Эйлера. Он обеспечивает высокую точность вычислений. Суть метода в том, что выделяются промежутки времени, в которых ускорение тела считается постоянным, и другие параметры считаются через него. Переходя к следующему промежутку времени, ускорение пересчитывается, и заново определяются все параметры тела. Так происходит до тех пор, пока происходит движение тела.
- Смоделировать движение тела, максимально приближенно к реальным условиям. В настоящий момент времени закончена работа по моделированию движения шара, как вертикально, так и под углом к горизонту. Сила сопротивления среды задается либо пропорциональной скорости, либо пропорциональной ее квадрату. Предусмотрен вариант задания сопротивления среды с помощью произвольного коэффициента. Это позволяет, в случае надобности, задавать любую вязкость среды. Коэффициент сопротивления движению определяется из закона Стокса для движения шара в вязкой среде. В перспективе предполагается развитие модели для тел с другими геометрическими характеристиками.

- Разработать программный продукт с “дружественным  интерфейсом”, позволяющий решать вышеперечисленные задачи. То есть, создать для пользователя комфортные условия для получения информации об исследуемом объекте. Для этих целей разработан программный продукт, позволяющий получать эту самую информацию в виде таблиц, графиков, диаграмм и отдельно выведенных значение в каждый момент времени.
Моделирование осуществляется в среде Borland C++Builder 6.0.
Программный продукт позволяет отследить движения тела, нашем случае это шар, в трех вариантах:
- Эксперимент первый: опыт, в котором тело падает с небольших высот (до 10 км); наглядно показны изменения энергии, приведен график зависимости скорости от времени. Пользователь программного продукта может задать высоту сброса и массу тела.
- Эксперимент второй: опыт, в котором происходит движения тела, брошенного под углом горизонту с определенной высоты; показана траектория движения тела и графики зависимости скорости, ее горизонтальной и вертикальной составляющих от времени. Пользователь программного продукта может задавать начальную скорость, высоту сброса тела и угол броска.
- Эксперимент третий: показан опыт, в котором тело падает с любых высот; наглядно показаны изменения энергии, приведен график зависимости скорости от времени. Пользователь программного продукта может задавать высоту сброса и массу тела.
Каждый эксперимент имеет три параметра счета: без учета сил сопротивления, с учетом силы сопротивления пропорциональной скорости, с учетом силы сопротивления пропорциональной квадрату скорости.
В разработке следующие возможности: эксперимент первый, третий: падение в средах любой вязкости (жидкости или газ (не воздух)), максимально возможное приближение к реальным условиям. Эксперимент второй: движение тела с учетом силы ветра.
Результаты данной работы могут иметь практическую направленность. Данные эксперимента, в котором происходит моделирование падения тела, могут быть использованы для расчета последствий, к которым приведет падении метеорита, также возможно использовать и для расчета прочности крыши домов, автомобилей, защитных шлемов рабочих и многое другое.
Результаты, получаемые при моделировании движения тел под углом к горизонту, могут быть использованы вооруженными силами, для баллистических расчетов.