,

(1)

Для любой -й страны общая сумма полученных денег равна

,

(2)

Выражение (2) является условием сбалансированной бездефицитной торговли, модель которой представлена во многих учебниках, например, в [14].
Систему уравнений (2) можно представить в матричном виде:

(3)

из которого следует, что вектор-столбец  является собственным вектором структурной матрицы   с собственным значением . Таким образом, при заданной матрицы перехода между состояниями  можно найти распределение бюджетов стран после значительного количества шагов-переходов между состояниями этой торговой системы.
Применение теории цепей Маркова дает возможность получения динамических характеристик системы на пути к состоянию, когда распределение бюджетов между странами не меняется при дальнейшем развитии торгового процесса.
Рассмотрим матрицу  , для которой выполняется условие (1):

(4)

Для транспонированной матрицы  ее элементы удовлетворяют условиям:

, ,

(5)

соответствующие определению элементов стохастической матрицы. Поэтому матрица  определяет матрицу перехода (за один шаг) из состояния  в состояние  цепи Маркова [15-17]. Таким образом, элементы  можно рассматривать как условные вероятности переходов из состояния  в состояние

Для полного определения цепей Маркова еще необходимо задать начальное распределение :

(6)

Цепь Маркова называется эргодической, если с каждого состояния можно попасть в любой другой состояние.
Регулярной называется цепь Маркова, если какая-либо степень матрицы вероятностного перехода не имеет нулевых элементов, то есть в некоторый момент времени можно оказаться в любом из состояний этой цепи независимо от начального состояния процесса. Регулярная цепь Маркова всегда эргодическая.
Для цепей Маркова можно найти вероятность перехода из состояния  в состояние  за  шагов . Эта вероятность определяется величиной , где  является элементом матрицы , которая равна произведению  матриц , при этом вероятностный вектор  (распределение бюджетов стран через  шаг) является решением уравнения:

(7)

Матрица  регулярной цепи Маркова сходится  к некоторой матрицы , то есть ее элементы стремятся к соответствующим элементам матрицы . Строки матрицы  создают одинаковый вероятностный вектор , все составляющие которого положительные. Этот вектор является единственным вектором, который удовлетворяет уравнению:

(8)

Система (8) является однородной и дает решение с точностью до константы. эта неопределенность ликвидируется за счет нормирования: 
Таким образом, для больших значений  долгосрочный прогноз распределения бюджетов стран (вероятностный вектор  ) может быть определенным и неизменны. При этом он не зависит от начального распределения бюджетов.
Для изучения поведения цепи Маркова до перехода в предельное состояние воспользуемся z- преобразованием [18].
Пусть последовательность , которая не растет с ростом  быстрее геометрическая прогрессия, тогда - преобразования  последовательности  определим следующим образом:

То есть, и ее преобразования  связаны между собой взаимно-однозначное соответствие.

Например, найдем z- преобразования для следующих последовательностей:
  
  
  


Заметим, что если последовательность  с преобразованием  сдвигается вправо на единицу, то

Используем - преобразования уравнению (7) положив :

После преобразований получим

(9)

где  - единичная матрица.
Пусть  является обратное преобразование к матрице , которая является обратной к матрице , тогда из уравнения (9) имеем аналитическое решение нашей задачи:

(10)

Результаты исследований. Рассмотрим предложенную методику на примере. Пусть мы имеем линейную модель международной торговли между тремя странами. Структурная матрица торговли  которой имеет вид:

Транспонированная матрица  является стохастической, а потому эту матрицу можно рассматривать как матрицу перехода цепи Маркова.
Исследуем данную задачу с помощью - преобразования. В нашем случае:

так что  и

Каждый элемент матрицы  представим в виде суммы двух слагаемых со знаменателями  и  :

Поскольку  является обратным преобразованием , тогда

где ,
а 

Относительно матриц  и  можно сделать где несколько замечаний.

Замечание 1. Матрица  для эргодического процесса всегда является стохастической матрицей финальных распределений цепи Маркова. Эту матрицу называют стационарной, так как она не зависит от .

Замечание 2. Матрица  совпадает с матрицей L (8).

Замечание 3. Для эргодического процесса матрица  является бесконечно малой величиной с ростом . Эти матрицы интересны еще и тем, что сумма ее элементов по каждому ряду равна нулю. Матрицы с такими свойствами называют дифференциальными.

Выводы. Таким образом предложенный метод z – преобразований позволяет благодаря установленной аналитический форме без использования компьютерной техники знать распределение общего бюджета между торговыми партнерами на каждом шагу эргодического цепи Маркова и определить время совпадения процесса к стационарному состоянию. Это позволит своевременно контролировать и корректировать процесс торговых отношений.